1、单元综合测试二(第二章)时间：90 分钟 分值：150 分第卷(选择题，共 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1与椭圆x210y24 1 共焦点且过点(5，2)的双曲线的标准方程是()A.x25 y21 Bx2y251C.x210y28 1 D.y28 x2101A解析：双曲线与椭圆x210y24 1 共焦点，双曲线中 c26，即 a2b26，故设双曲线方程为x2a2 y26a21，把点(5，2)代入双曲线方程得 a25，故所求双曲线的方程为x25 y21.2“1m0，3m0，所以 1m3；但当 1m0，b0)的离心离为 3，则双曲线的渐近线方程为()Ay 22 xBy 2x
2、Cy2xDy12xB解析：由题意得双曲线的离心率 eca 3，故ba 2，故双曲线的渐近线方程为 ybax 2x.4若双曲线 C：x2y2b21(b0)的顶点到渐近线的距离为 22，则双曲线的离心率 e()A2 B.2C3 D.3B解析：由双曲线方程知 a1，c 1b2，一条渐近线方程为 ybx，即 bxy0.|b0|b21 22，解得 b1，c 2，eca 2.5若点 P 到直线 x1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1，则点 P 的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线D解析：设 M(2,0)，由题设可知，把直线 x1 向左平移一个单位即为直线 x2，则点 P 到直线 x2 的距离等于|P
3、M|，所以动点 P 的轨迹为抛物线，故选 D.6已知双曲线与椭圆x216y2641 有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为 xy0，则双曲线的方程为()Ax2y250Bx2y224Cx2y250 Dx2y224D解析：因为双曲线与椭圆x216y2641 有共同的焦点，所以双曲线的焦点在 y 轴上，且焦点坐标为(0，4 3)，(0,4 3)又双曲线的一条渐近线方程为 xy0，所以可设双曲线方程为y2x2(0)，则 248，24，故所求双曲线的方程为 y2x224，即 x2y224.7已知动圆 M 过定点 B(4,0)，且和定圆(x4)2y216相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为()A.x24
4、y2121(x0)B.x24 y2121(x0)C.x24 y2121D.y24 x2121C解析：设动圆 M 的半径为 r，依题意有|MB|r，另设 A(4,0)，则有|MA|r4，即|MA|MB|4，亦即动圆圆心 M 到两定点A、B 的距离之差的绝对值等于常数 4，又 40)与双曲线 C2：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点 A 到抛物线C1 的准线的距离为 p，则双曲线 C2 的离心率等于()A.2B2C.5D4C解析：点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p，Ap2，p 适合 ybax，b2a24，e 5.11如图所示，已知 O 为坐标原点，F 是双
5、曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点 F 作 x 轴的垂线交双曲线于点 P，Q，连接 PB 交 y 轴于点 E，连接 EA 并延长交 QF 于点 M，若 M 是线段 QF 的中点，则双曲线 C 的离心率为()A2 B.52C3 D.72C解析：根据图形可知，|PF|QF|b2a，BOEBFP，所以|OE|PF|OB|BF|，|OE|aacb2a b2ac.又由图形知AOEAFM，所以|AO|AF|OE|FM|，即 acab2acb22a，整理得 c3a，所以双曲线的离心率为 eca3.12已知椭圆 C：x24 y231 的右焦点为 F，过点 F 的
6、两条互相垂直的直线 l1，l2，l1 与椭圆 C 相交于点 A，B，l2 与椭圆 C 相交于点 C，D，则下列叙述不正确的是()A存在直线 l1，l2 使得|AB|CD|的值为 7B存在直线 l1，l2 使得|AB|CD|的值为487C弦长|AB|存在最大值，且最大值为 4D弦长|AB|不存在最小值D解析：当直线 l1，l2 一个斜率为零一个斜率不存在时，则|AB|CD|7，故 A 是正确的；当直线 l1，l2 的斜率都存在时，不妨令直线 l1 的斜率为 k(k0)，由题意知 l1 的直线方程为 yk(x1)，联立得x24y23 1，ykx1，消去 y 得(34k2)x28k2x4k2120，
7、设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理知 x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2，所以|AB|1k2|x1x2|121k234k2，同理|CD|121k23k24，特别地，当 k21 时，|AB|CD|247，即|AB|CD|487，故 B 正确；由于|AB|121k234k2 3334k2，故当 k0 时，|AB|取到最大值 4，故 C 正确；由于|AB|3334k23，但当弦 AB 的斜率不存在时，|AB|3，故|AB|存在最小值 3，故 D 选项不正确第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13双曲线x216y2m1 的离心率为5
8、4，则 m 等于_.9解析：a216b2me22516251616m16m9.14设 F1，F2 为曲线 C1：x26y22 1 的焦点，P 是曲线 C2：x23y21 与 C1 的一个交点，则PF1F2 的面积为_.2解析：由题意知|F1F2|2 624，设 P 点坐标为(x，y)由x26 y221，x23 y21，得x3 22，y 22.则 SPF1F212|F1F2|y|124 22 2.15设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2y2b21(0b0，b0)的两个焦点，P 是 C 上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2 的最小内角为 30，则 C 的离心率为_.3解析：依题意及双曲线的
9、对称性，不妨设 F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，求得|PF1|4a，|PF2|2a.而|F1F2|2c，所以在PF1F2 中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cosPF1F2，所以 4a216a24c224a2ccos30，即 3a22 3acc20，所以 3ac0，故双曲线 C 的离心率为 3.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70 分)17(10 分)求与椭圆x29 y241 有公共焦点，并且离心率为 52的双曲线方程解：由椭圆方程
10、x29 y241，知长半轴 a13，短半轴 b12，焦距的一半 c1 a21b21 5，焦点是 F1(5，0)，F2(5，0)，因此双曲线的焦点也是 F1(5，0)，F2(5，0)，设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由题设条件及双曲线的性质，得c 5，c2a2b2，ca 52，解得a2，b1.故所求双曲线的方程为x24 y21.18(12 分)已知点 A(3，0)和 B(3，0)，动点 C 到 A，B两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 yx2 交于D，E 两点，求线段 DE 的长解：设点 C(x，y)，则|CA|CB|2.根据双曲线定义，可知点 C 的轨迹为双曲线
11、，设其方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由2a2,2c|AB|2 3，得 a1，c 3，则 b22，故点 C 的轨迹方程为 x2y221.由 x2y221，yx2，得 x24x60，0，直线与双曲线有两个交点，设 D(x1，y1)，E(x2，y2)，则 x1x24，x1x26，故|DE|11|x1x2|2 x1x224x1x24 5.19(12 分)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，且过点(2，3)(1)求双曲线 C 的标准方程和焦点坐标；(2)已知点 P 在双曲线 C 上，且F1PF290，求点 P 到 x轴的距离解：(1)e2c2a21b2a22，a2b
12、2.双曲线 C 方程为：x2a2y2a21.又该双曲线过点(2，3)，将点(2，3)代入x2a2y2a21 得 a21.双曲线 C 的方程为 x2y21，焦点坐标为 F1(2，0)，F2(2，0)(2)由已知得|F1P|2|F2P|28，|F1P|F2P|2，|F1P|F2P|2.点 P 到 x 轴的距离为|F1P|F2P|F1F2|22 2 22.20(12 分)已知椭圆 C1：x24 y21，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率(1)求椭圆 C2 的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，OB 2OA，求直线 AB 的方程解：(
13、1)由已知可设椭圆 C2 的方程为y2a2x24 1(a2)，其离心率为 32，故 a24a 32，则 a4，故椭圆 C2 的方程为y216x241.(2)A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB 2OA及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可以设直线 AB 的方程为 ykx.将 ykx 代入x24y21 中，得(14k2)x24，所以 x2A414k2，将 ykx 代入y216x24 1 中，得(4k2)x216，所以 x2B164k2.由OB 2OA，得 x2B4x2A，即 164k21614k2，解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx
14、 或 yx.21(12 分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：x24y23 1 交于A，B 两点线段 AB 的中点为 M(1，m)(m0)(1)求证 k12；(2)设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且FPFAFB0，求证 2|FP|FA|FB|.证明：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214 y2131，x224 y223 1.两式相减，并由y1y2x1x2k 得x1x24y1y23k0.又x1x221，y1y22m，所以 k 34m.由题意得 0m32，故 k12.(2)由题意得 F(1,0)设 P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，
15、y2)(0,0)由(1)及题设得 x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0)上点T(3，t)到焦点 F 的距离为 4.(1)求 t，p 的值(2)如图所示，设 A，B 是抛物线上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且OA OB 5(其中 O 为坐标原点)求证直线 AB 必过定点，并求出该定点 P 的坐标；过点 P 作 AB 的垂线与抛物线交于 C，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值解：(1)由已知得 3p24，p2，抛物线的方程为 y24x，代入点 T 坐标可解得 t2 3.(2)设直线 AB 的方程为 xmyn，Ay214，y1，By224，y2.由xmyn，y24x，得 y24my4n0，则 y1y24m，y1y24n.由OA OB 5，得y1y2216 y1y25，y1y220 或 y1y24(舍去)即4n20，n5，直线 AB 过定点(5,0)由得|AB|1m2|y2y1|1m2 16m280，同理得|CD|1 1m216m280，则四边形 ACBD 的面积 S12|AB|CD|12 1m2 16m2801 1m216m28082m2 1m2 265m2 1m2，令 m2 1m2(2)，则 S8 523652，是关于 的增函数，故 Smin96.当且仅当 m1 时取到最小值 96.
