1、第三章 空间向量与立体几何本章小结专题一 空间向量的线性运算选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需的向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求例 1 如图所示，平行六面体 A1B1C1D1-ABCD，M 分AC 成的比为12，N 分A1D 成的比为 2，设ABa，AD b，AA1 c，试用 a、b、c 表示MN.【分析】要用 a、b、c 表示MN，只需结合图形，充分运用空间向量加法和数乘向量的运算律即可【解】如上图，连接
2、AN，则MN MA AN，由已知四边形 ABCD 是平行四边形，故AC ABAD ab，又MA 13AC 13(ab)由已知，N 分A1D 成的比为 2，故AN AD DNAD ND AD 13A1D 13(c2b)于是MN MA AN 13(ab)13(c2b)13(abc)【点评】用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键专题二 空间向量与线面位置关系证明平行问题，除了应用传统的线面平行的判定定理外，还可以利用向量共线及平面的法向量进行证明证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定定理外，还可利用向量数量积进行判断，是非常有效的方法【例 2】如图，在矩形 ABCD 中
3、 AB2BC，P、Q 分别为线段 AB、CD 的中点，EP平面 ABCD.(1)求证：AQ平面 CEP；(2)求证：平面 AEQ平面 DEP.【分析】证明线面平行问题，可以利用与平面内的直线平行进行判定，也可以利用直线与平面的法向量垂直，也可用传统方法求证面面垂直可以利用面面垂直的判定定理求证，也可用向量法求证同时，也可用两平面的法向量垂直求证【证法一】(1)EP矩形 ABCD 所在的平面，且 P、Q均为 AB，DC 的中点，PQAB，故以 P 为坐标原点，以 PA，PQ，PE 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建系如右图所示令 AB2，PEa，则A(1,0,0)，Q(0,1,0)，E(0,0，a
4、)，C(1,1,0)AQ(1,1,0)，PC(1,1,0)，AQ PC，AQ PC，AQPC.AQ平面 EPC，PC平面 EPC，AQ平面 EPC.(2)D(1,1,0)，E(0,0，a)PD(1,1,0)，PE(0,0，a)，AQ PD(1,1,0)(1,1,0)110，AQ PE(1,1,0)(0,0，a)0.AQ PD，AQ PE，即 AQPD，AQPE，AQ平面 EPD，AQ平面 AEQ，平面 AEQ平面 DEP.【证法二】传统法(1)在矩形 ABCD 中，APPB，DQQC，AP 綊 QC，四边形 AQCP 为平行四边形，CPAQ.CP平面 CEP，AQ平面 CEP，AQ平面 CEP
5、.(2)EP平面 ABCD，AQ平面 ABCD，AQEP.AB2BC，P 为 AB 中点，APAD.连接 PQ，则 ADQP 为正方形，AQDP.EPDPP，AQ平面 DEP.AQ平面 AEQ，平面 AEQ平面 DEP.专题三 空间向量与空间角1纵观近几年高考发现，对于空间角的考查，每年都有不论在选择，还是填空中均有考查，而解答题中更是考查重点，因此空间角必是高考的一个生长点2.对于空间角中线线角、线面角及二面角，一是利用传统解法，如平移法，利用定义求解等，但向量法求解更能体现解题的优越性【例 3】如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB5，AD8，AA14，M 为 B1C1 上
6、一点且 B1M2，点 N 在线段 A1D上，A1DAN.(1)求 cosA1D，AM；(2)求直线 AD 与平面 ANM 所成角的正弦值【解】(1)建立空间直角坐标系(如图)AM(5,2,4)，A1D(0,8，4)AM A1D 016160，AM A1D.cosA1D，AM 0.(2)A1DAM，A1DAN，A1D平面 AMN，A1D(0,8，4)是平面 ANM 的一个法向量又AD(0,8,0)，|A1D|4 5，|AD|8，A1D AD 64，cosA1D，AD 644 58 252 55.AD 与平面 AMN 所成角的正弦值为2 55.【例 4】如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，
7、平面 A1BC侧面 A1ABB1.(1)求证：ABBC；(2)若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为，二面角 A1-BC-A的大小为，试判断 与 的大小关系，并予以证明【解】(1)如下图，过点 A 在平面 A1ABB1 内作 ADA1B于 D，则由平面 A1BC侧面 A1ABB1，且平面 A1BC侧面 A1ABB1A1B，得 AD平面 A1BC.又 BC平面 A1BC，ADBC.三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，则 AA1底面 ABC，AA1BC.又 AA1ADA，从而 BC侧面 A1ABB1.又 AB侧面 A1ABB1，故 ABBC.(2)由(1)知，ABBC.在直三棱柱 ABC
8、-A1B1C1 中，BB1平面 ABC，BA，BC平面 ABC，BB1BA，BB1BC.以点 B 为坐标原点，以 BC，BA，BB1 所在的直线分别为 x轴、y 轴、z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，设 AA1a，ACb，ABc，则 B(0,0,0)，A(0，c,0)，C(b2c2，0,0)，A1(0，c，a)，B1(0,0，a)，于是BC(b2c2，0,0)，AB1(0，c，a)，AC(b2c2，c,0)，AA1(0,0，a)设平面 A1BC 的一个法向量为 n(x，y，z)，则由nBA1 0，nBC 0，得cyaz0，b2c2x0，可取 n(0，a，c)，于是 nAC ac0，则AC
9、 与 n 的夹角 为锐角，则 与 互为余角，sincos nAC|n|AC|acb a2c2.BC平面 A1ABB1，BCA1B，又 BCAB，A1BA 即为二面角 A1-BC-A 的平面角，即A1BA.cos BA1 BA|BA1|BA|ca2c2，sinaa2c2.cb，acb a2c2aa2c2，即 sinsin，又，(0，2)，.【点评】要建立空间直角坐标系，先要有三条互相垂直且交于一点的直线专题四 利用空间向量解决探索存在性问题存在性问题要在一定条件下论证会不会出现某个结论这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定
10、存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推导出合理的结论，则存在性也随之解决；若推导出矛盾，则否定了存在性【例 5】如图，四棱锥 P-ABCD 中，ABDC，ADC2，ABAD12CD2，PDPB 6，PDBC.(1)求证：平面 PBD平面 PBC；(2)在线段 PC 上是否存在点 M，使得平面 ABM 与平面 PBD所成锐二面角为3？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由【解】(1)证明：因为四边形 ABCD 为直角梯形，且 ABDC，ABAD2，ADC2，所以 BD2 2，又因为 CD4，BDC4.根据余弦定理得 BC2 2，所以 CD2BD2BC2，故 BCB
11、D.又因为 BCPD，PDBDD，且 BD，PD平面 PBD，所以 BC平面 PBD，又因为 BC平面 PBC，所以平面 PBC平面 PBD.(2)由(1)得平面 ABCD平面 PBD，设 E 为 BD 的中点，连接 PE，因为 PBPD 6，所以 PEBD，PE2，又平面 ABCD平面 PBD，平面 ABCD平面 PBDBD，所以 PE平面 ABCD.如图，以 A 为原点分别以AD，AB和垂直平面 ABCD 的方向为 x，y，z 轴正方向，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，P(1,1,2)，假设存在 M(a，b，c)满足要求，设CMCP(01)，即CMCP，所以 M(2，43，2)，易得平面 PBD 的一个法向量为BC(2,2,0)设 n(x，y，z)为平面 ABM 的一个法向量，AB(0,2,0)，AM(2，43，2)由 nAB0nAM 0得2y02x43y2z0，不妨取 n(2，0，2)因为平面 PBD 与平面 ABM 所成的锐二面角为3，所以|4|2 2 422212，解得 23，2(不合题意舍去)故存在 M 点满足条件，且CMCP23.温示提馨请 做：单元综合测试三PPT文稿（点击进入）
