1、四川省成都市新都一中2019-2020学年高二数学下学期零诊考试理科试题（含解析）一、单选题1.已知复数，则在复平面内对应点所在象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】对复数进行化简，从而得到，再得到在复平面内对应点所在的象限.【详解】，则，在复平面内对应点为，在第二象限故选B.【点睛】本题考查复数的计算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.2.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求,再求出得解.【详解】集合，则或而，则.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，
2、属于基础题.3.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据和之间能否推出的关系，得到答案.【详解】由可得，由，得到或，不能得到，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.4.在等比数列中，则（ ）A. 16B. 16或16C. 32D. 32或32【答案】A【解析】在等比数列中，,所以.=16，故选A.5.若，满足约束条件则的最大值为（ ）A. -2B. C. 4D. 5【答案】C【解析】分析：由题意作出其平面区域，当x，y都取到最大值时z有最大值，代入即可详解
3、：由题意作出其平面区域，由解得A（1，2），因为z=2x+y，所以y=-2x+z,所以直线y=-2x+z经过可行域A时，纵截距z最大，z取得最大值，此时x=1，y=2，z=2x+y有最大值21+2=4，故答案为：C点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对线性规划等基础知识的掌握能力. (2)解答线性规划时，要理解，不是纵截距最小，z最小，要看函数的解析式，如：y=2x-z,直线的纵截距为-z,所以纵截距-z最小时，z最大.6.如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】从所给算法流程可以看出当时仍在运算，当时运算
4、就结束了【详解】由题意可知由加到需要进行即当时运算就结束了故选C.【点睛】本题考查了算法流程图的识读和理解，能够读懂流程图并能进行判定.7.函数f（x）的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断.【详解】因为f（x）f（x），所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除选项A，C，又f（2），因为，所以，所以f（2）0，排除选项D.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.8.方程表示双曲线，则实数的取值范围是（
5、 ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线标准方程特征，得到不等式，解不等式即可求出实数的取值范围.【详解】因为方程表示双曲线，所以有，解得.故选：A【点睛】本题考查了已知方程表示双曲线求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.9.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.【详解】因为满足，所以，所以函数是以8为周期的周期函数，则.由是定义在上的奇函数，且满足，得.因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，所以在区间上是增函数，所以，即.【点睛
6、】在比较，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小10.从区间上任取两个实数，则满足条件的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意转化为几何概型概率的求解，分别求出全部区域与满足要求的区域的面积，利用几何概型概率公式即可得解.【详解】设点，由题意，表示的区域为边长为4的正方形（包含边界），如图所示：该正方体的面积,表示以为圆心，半径为1的圆的外部（包含边界），如图阴影部分所示，阴影部分的面积，故所求概率.故选：D【点睛】本题考查了几何概型概率公式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，解题的关键是
7、把所求概率转化为面积的比，属于基础题.11.一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先利用基本不等式求出的范围，再设出，的坐标，根据，的纵坐标相等得到，从而得到，再根据圆柱的体积公式得到，最后利用基本不等式即可得到体积的最大值.【详解】，因，所以当且仅当时取等号，即.所以.因为矩形绕轴旋转一周旋转得到一个圆柱，设点的坐标为，点的坐标为，如图所示： 则圆柱的底面圆的半径为，高为，因为，即，因为，所以.所以，所以，所以圆柱得体积为，因为，当且仅当时取等号，所以所以矩形绕轴旋转而成的几
8、何体的体积的最大值是.故选：A.【点睛】本题主要考查圆柱的体积计算，同时考查了利用基本不等式求最值，属于难题.12.函数恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意有恰有两个整数解，令，求导得到函数的单调性从而得，即可得解.【详解】函数恰有两个整数解，即恰有两个整数解，令，得，令，易知为减函数.当,，单调递增；当,，单调递减.由题意可得：，所以.故选D.【点睛】本题主要考查了函数的导数的应用，利用导数分析函数的单调性，考查了学生的转化与化归的能力，属于难题.二、填空题13.若函数，则的值为_【答案】24【解析】【分析】求得函数的导数，令，求
9、得，得到，代入，即可求解.【详解】由题意，函数，则，令，可得，解得，所以，则.故答案为：.【点睛】本题主要考查了导数的运算，以及导数值的计算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14.设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，有下列命题：2是函数的周期；函数在上是增函数；函数的最大值是1，最小值是0；直线是函数图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】对于任意的恒有，所以，即2是函数的周期；当时，作出函数的部分图象即可判断.【详解】用换中的，得，所以是以2为周期的周期函数，故正确；又函数是定义在上的偶函数且时，作出函数的部分图
10、象如图所示由图知，函数在上是增函数，故正确；函数的最大值是1，最小值是，故错误；直线是函数图象的一条对称轴，故正确.故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性以及函数的最值，同时考查了分析问题的能力，是中档题15.已知，取值如表，画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则_.【答案】【解析】【分析】利用回归直线方程过样本中心点列方程，解方程求得的值.【详解】计算=（0+1+3+5+6）=3，=（1+m+3m+5.6+7.4）=，这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，=13+1，解得m=.故答案为：.【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样
11、本中心点，属于基础题.16.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上的点到直线的距离的最大值为_【答案】【解析】【分析】先根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.【详解】曲线上的点到直线的距离为故答案为：【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题17.已知函数，其中.（1）当时，求在上最大值;（2）若时，函数的最大值为，求函数的表达式;【答案】（1）; （2）.【解析】【详解】试题分析：（1）当，对函数求导，求出函数的单调区间，由单调性可求函数在区间上的最大值；（2）由导数的符号先得到函数的单
12、调递增区间为，单调递减区间为，可知，然后与区间的关系分类讨论可求出函数的解析式.试题解析：（1）.（1）当，时，时，所以在上单调递减，最大值为.（2）因为，所以在上单调递增，在上单调递减.当，即时，解得符合题意;当，即时，解得（舍去）;当，即时，解得（舍去）.综上，.考点:导数与函数单调性、最值，分类讨论数学思想.18.空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300为严重污染.一环保人士记录了某地2020年某月1
13、0天的AQI的茎叶图如图所示.（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI100)的天数；(按这个月总共有30天计算)（2）若从样本中的空气质量不佳(AQI100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.【答案】（1）12（2）【解析】【分析】（1）由茎叶图数据得出样本中空气质量优良的频率，利用频率估计本月空气质量优良的天数；（2）利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可.【详解】解(1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3故该样本中空气质量优良的频率为，估计该月空气质量优良的概率为从而估计该月空气质量优良的天数为3
14、012.(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a1，a2，a3，a4；为中度污染的共1天，记为b；为重度污染的共1天，记为c.从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共15个.其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共9个.所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为.
15、【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用，用频率估计概率，属于中档题.19.如图，直三棱柱的所有棱长都是2，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得，证得，即可求解；（2）由（1）得到，即为平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；（3）求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，由直三棱柱的所有棱长都是2，是中点，又平面平面，平面平面
16、，平面，所以平面，由分别为的中点，可得,可得，两两垂直.以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，可得，又，平面. （2）由（1）可得平面，则，即为平面的一个法向量，又由，设直线与平面所成角为，可得，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）设平面的法向量，因为，可得 ，即，不妨取，得.设二面角的平面角为，由，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及利用空间向量求解线面角与二面角，着重考查了推理与运算能力.20.已知椭圆过点，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的下顶点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于另一点
17、，过点的直线与椭圆交于另一点，直线与的斜率的乘积为，关于轴对称，求直线的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可知，点代入方程即可求解；（2）设直线的方程为，联立椭圆即可求M，由与的斜率的乘积为可求的斜率，联立与椭圆可得N，根据M、N关于y轴对称即可求出k.【详解】（1）因为，即，又椭圆过点，所以，解得，椭圆方程为.（2）设直线的方程为，则得，解得，所以.因为直线的斜率乘积为，所以直线的方程为，同理可得.因为M，N关于y轴对称，所以，即，解得.所以直线的斜率为【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，考查了运算能力，属于中档题.21.已知函数. （1）
18、若是偶函数，求的值；（2）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求的范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）若是偶函数，则有恒成立，化简整理表达式求解恒等式即可（2），都在上单调递减，所以函数在上单调递减，且，转化为求解 在区间上恰有两个不同的交点，即是在，有两解【详解】（1）若是偶函数，则有恒成立，即，可化为，化简得，则.（2），都在上单调递减，所以函数在上单调递减，且，则可化为.又单调递减，得，在有两解，则.令，作出与的简图知，又，故.【点睛】复合函数的单调性遵循同增异减的原则，y=f(g(x),y=g(x),y=f(x)三个函数的单调性知二得一，相互转化解复合函数的零
19、点问题由外到里，去掉外层函数讨论里层函数的性质22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数).（1）求曲线的直角坐标系方程和直线的普通方程；（2）点在曲线上，且到直线的距离为，求符合条件的点的直角坐标.【答案】(1),;(2), ,.【解析】【分析】(1) 两边同时乘以,结合 即可求解;对于直线,消除参数即可得普通方程.(2)由题意求出曲线的参数方程为,由到直线的距离为,可知,整理后可求出 的值,从而可得答案.【详解】解:(1)由曲线的极坐标方程为,则即,得其标准方程为.直线参数方程为(为参数),则其普通方程为.(2)由(1)得曲线为圆心为,半径为5的圆,曲线的参数方程为(为参数),则,化简为可得或.当时,注意到,联立方程组得或,此时对应的点坐标为.当时,同理可得或,即点坐标为.综上,符合条件的点坐标为.【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的转化,考查了参数方程与普通方程的转化,考查了参数的应用.极坐标方程向普通方程转化时,代入公式;反之,由普通方程转化为极坐标方程时,代入公式;参数方程转化为普通方程时,关键是消参.
