1、1椭圆的概念平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 ab0)y2a2x2b21(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1
2、B2 的长为 2b焦距|F1F2|2c 离心率eca(0,1)a，b，c的关系a2b2c2【知识拓展】点 P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点 P(x0，y0)在椭圆内x20a2y20b21.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成PF1F2 的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆()(4)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(5)y2a2x2b21(ab)表示
3、焦点在 y 轴上的椭圆()(6)x2a2y2b21(ab0)与y2a2x2b21(ab0)的焦距相等()1(教材改编)椭圆x210m y2m21 的焦距为 4，则 m 等于()A4B8C4 或 8D12答案 C解析 由题意知10mm20，10mm24 或m210m0，m210m4，解得 m4 或 m8.2(2015广东)已知椭圆x225y2m21(m0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m 等于()A2B3C4D9答案 B解析 由题意知 25m216，解得 m29，又 m0，所以 m3.3(2016全国乙卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭
4、圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案 B解析 如图，由题意得，|BF|a，|OF|c，|OB|b，|OD|142b12b.在 RtFOB 中，|OF|OB|BF|OD|，即 cba12b，解得 a2c，故椭圆离心率 eca12，故选 B.4(教材改编)已知点 P 是椭圆x25y241 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_答案 152，1 或152，1解析 设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541，所以 c1，则 F1(1,0)，F2(1,0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y1，把 y1
5、代入x25y241，得 x 152，又 x0，所以 x 152，所以 P 点坐标为152，1 或152，1.题型一 椭圆的定义及标准方程命题点 1 利用定义求轨迹例 1(2016济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆答案 A解析 由条件知|PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆命题点 2 利用待定系数法求椭圆方程例 2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长
6、是短轴长的 3 倍，并且过点 P(3,0)，则椭圆的方程为_(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1(6，1)，P2(3，2)，则椭圆的方程为_答案(1)x29y21 或y281x291(2)x29y231解析(1)若焦点在 x 轴上，设方程为x2a2y2b21(ab0)，椭圆过 P(3,0)，32a202b21，即 a3，又 2a32b，b1，方程为x29y21.若焦点在 y 轴上，设方程为y2a2x2b21(ab0)椭圆过点 P(3,0)02a232b21，即 b3.又 2a32b，a9，方程为y281x291.所求椭圆的方程为x29y21 或y281x291.(2)
7、设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0 且 mn)椭圆经过点 P1，P2，点 P1，P2 的坐标适合椭圆方程则6mn1，3m2n1，两式联立，解得m19，n13.所求椭圆方程为x29y231.命题点 3 利用定义解决“焦点三角形”问题例 3 已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且PF1 PF2.若PF1F2 的面积为 9，则 b_.答案 3解析 设|PF1|r1，|PF2|r2，则r1r22a，r21r224c2，2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2，又21PF FS12r1r2b29，b3.引申探究1在例 3
8、 中增加条件“PF1F2 的周长为 18”，其他条件不变，求该椭圆的方程解 由原题得 b2a2c29，又 2a2c18，所以 ac1，解得 a5，故椭圆方程为x225y291.2在例 3 中条件“PF1 PF2”、“PF1F2 的面积为 9”分别改为“F1PF260”“21PFFS3 3”，结果如何？解|PF1|PF2|2a，又F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2，即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|43b2，又因为21PF FS12|PF1|PF2|sin
9、601243b2 32 33 b23 3，所以 b3.思维升华(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 2a|F1F2|这一条件(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式(3)当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等(1
10、)(2016盐城模拟)已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为()A.x264y2481B.x248y2641C.x248y2641D.x264y2481(2)(2017大庆质检)设 F1、F2 分别是椭圆x24y21 的左、右焦点，若椭圆上存在一点 P，使(OPOF2)PF2 0(O 为坐标原点)，则F1PF2 的面积是()A4B3C2D1答案(1)D(2)D解析(1)设圆 M 的半径为 r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以 M 的轨迹是以 C1，C2
11、 为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为x264y2481.(2)(OP OF2)PF2(OP F1O)PF2 F1P PF2 0，PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则 mn4，m2n212,2mn4，21F PFS12mn1.题型二 椭圆的几何性质例 4(1)已知点 F1，F2 是椭圆 x22y22 的左，右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF1 PF2|的最小值是()A0B1C2D2 2(2)(2016全国丙卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为椭圆 C 的左，右顶点P 为 C 上一
12、点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案(1)C(2)A解析(1)设 P(x0，y0)，则PF1(1x0，y0)，PF2(1x0，y0)，PF1 PF2(2x0，2y0)，|PF1 PF2|4x204y202 22y20y202 y202.点 P 在椭圆上，0y201，当 y201 时，|PF1 PF2|取最小值 2.故选 C.(2)设 M(c，m)，则 E0，amac，OE 的中点为 D，则 D0，am2ac，又 B，D，M 三点共线，所以m2ac ma
13、c，a3c，e13.思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中 x，y 的范围，离心率的范围等不等关系利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于 a，b，c 的等式或不等式，利用a2b2c2 消去 b，即可求得离心率或离心率的范围(2016江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆x2a2y2b2
14、1(ab0)的右焦点，直线 yb2与椭圆交于 B，C 两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_答案 63解析 联立方程组x2a2y2b21，yb2，解得 B，C 两点坐标为B 32 a，b2，C32 a，b2，又 F(c,0)，则FB 32 ac，b2，FC3a2 c，b2，又由BFC90，可得FBFC0，代入坐标可得c234a2b24 0，又因为 b2a2c2.代入式可化简为c2a223，则椭圆离心率为 eca23 63.题型三 直线与椭圆例 5(2016天津)设椭圆x2a2y231(a 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 1|OF|1|OA|3e|FA|，其中 O 为原点，e 为椭圆的
15、离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H.若 BFHF，且MOAMAO，求直线 l 的斜率解(1)设 F(c,0)，由 1|OF|1|OA|3e|FA|，即1c1a3caac，可得 a2c23c2.又 a2c2b23，所以 c21，因此 a24.所以椭圆的方程为x24y231.(2)设直线 l 的斜率为 k(k0)，则直线 l 的方程为 yk(x2)设 B(xB，yB)，由方程组x24y231，ykx2消去 y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得 x2 或 x8k
16、264k23.由题意得 xB8k264k23，从而 yB12k4k23.由(1)知，F(1,0)，设 H(0，yH)，有FH(1，yH)，BF94k24k23，12k4k23.由 BFHF，得BFFH 0，所以4k294k23 12kyH4k230，解得 yH94k212k.因此直线 MH 的方程为 y1kx94k212k.设 M(xM，yM)，由方程组ykx2，y1kx94k212k消去 y，解得 xM 20k2912k21.在MAO 中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2y2Mx2My2M，化简得 xM1，即 20k2912k211，解得 k 64 或 k 64.所以直线 l 的斜
17、率为 64 或 64.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2x1x224x1x211k2y1y224y1y2(k 为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式(2016温州第一次适应性测试)如图，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)经过点(1，62)，且离心率等于 22.点 A，B 分别为椭圆 C 的左，
18、右顶点，M，N 是椭圆 C 上不同于顶点的两点，且OMN 的面积等于 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 A 作 APOM 交椭圆 C 于点 P，求证：BPON.(1)解 由题意得1a2 62 2b2 1，eca 22，a2b2c2，解得a24，b22.故椭圆 C 的方程为x24y221.(2)证明 方法一 设直线 OM，ON 的方程为 ykOMx，ykONx，联立方程组ykOMx，x24y221，解得 M(212k2OM，2kOM12k2OM)，同理可得 N(212k2ON，2kON12k2ON)，作 MMx 轴，NNx 轴，M，N为垂足，SOMNS 梯形 MMNNSOMMSONN12
19、(yMyN)(xMxN)xMyMxNyN12(xMyNxNyM)12(4kON12k2OM12k2ON4kOM12k2OM12k2ON)2kOMkON12k2OM12k2ON，已知 SOMN 2，化简可得 kOMkON12.设 P(xP，yP)，则 4x2P2y2P，又已知 kAPkOM，所以要证 kBPkON，只要证明 kAPkBP12即可而 kAPkBP yPxP2yPxP2 y2Px2P412，所以可得 BPON.(M，N 在 y 轴同侧同理可得)方法二 设直线 AP 的方程为 ykOM(x2)，代入 x22y24，得(2k2OM1)x28k2OMx8k2OM40，设 P(xP，yP)，
20、则它的两个根为2 和 xP，可得 xP24k2OM2k2OM1，yP 4kOM2k2OM1，从而 kBP4kOM2k2OM124k2OM2k2OM12 12kOM.所以只需证 12kOMkON，即 kOMkON12，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，若直线 MN 的斜率不存在，易得 x1x2 2，从而可得 kOMkON12.若直线 MN 的斜率存在，设直线 MN 的方程为 ykxm，代入x24y221，得(2k21)x24kmx2m240，则 x1x2 4km2k21，x1x22m242k21，8(4k22m2)0，SOMN12|m|x1x2|12|m|84k22m22k21 2，化简得
21、 m4(4k22)m2(2k21)20，得 m22k21，kOMkONy1y2x1x2k2x1x2kmx1x2m2x1x2m24k22m24 2k214k222k21412.所以可得 BPON.7高考中求椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的 b 用 a，c 表示，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法典例 1(2015福建)已
22、知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，1解析 左焦点 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0 为平行四边形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设 M(0，b)，则4b5 45，1b2.离心率 ecac2a2a2b2a24b240，32，故选 A.答案 A典例 2(2016浙江)如图，设椭圆x2a2y21(a1)(1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段
23、长(用 a，k 表示)；(2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围解(1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为 AM，由ykx1，x2a2y21，得(1a2k2)x22a2kx0，3 分故 x10，x2 2a2k1a2k2，因此|AM|1k2|x1x2|2a2|k|1a2k21k2.6 分(2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q，满足|AP|AQ|.记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k10，k20，k1k2.8 分由(1)知|AP|2a2|k1|1k211a2k21，|AQ|2a
24、2|k2|1k221a2k22，故2a2|k1|1k211a2k212a2|k2|1k221a2k22，所以(k21k22)1k21k22a2(2a2)k21k220.10 分由 k1k2，k10，k20 得 1k21k22a2(2a2)k21k220，因此1k211 1k221 1a2(a22)，12 分因为式关于 k1，k2 的方程有解的充要条件是 1a2(a22)1，所以 a 2.因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a 2，由 eca a21a，得 0b0)，由已知可得抛物线的焦点为(1,0)，所以 c1，又离心率 eca12，解得 a2，b2
25、a2c23，所以椭圆方程为x24y231.2已知椭圆x29 y24k1 的离心率为45，则 k 的值为()A21B21C1925或 21D.1925或21答案 D解析 当 94k0，即 4k5 时，a3，c29(4k)5k，5k345，解得 k1925.当 94k，即 kb0)的左，右顶点，P 是椭圆 C上异于 A1，A2 的任意一点，若直线 PA1，PA2 的斜率的乘积为49，则椭圆 C 的离心率为()A.49B.23C.59D.53答案 D解析 设 P(x0，y0)，则 y0 x0a y0 x0a49，化简得x20a2 y204a291，则b2a249，e1ba2149 53，故选 D.4
26、(2016南昌模拟)已知椭圆：y29x21，过点 P(12，12)的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦AB 被点 P 平分，则直线 AB 的方程为()A9xy40B9xy50C2xy20Dxy50答案 B解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 A，B 在椭圆y29x21 上，所以y219x211，y229x221，两式相减得y21y229x21x220，得y1y2y1y29(x1x2)(x1x2)0，又弦 AB 被点 P(12，12)平分，所以 x1x21，y1y21，将其代入上式得y1y29x1x20，得y1y2x1x29，即直线 AB 的斜率为9，所以直线 AB 的方程为y1
27、29(x12)，即 9xy50，故选 B.5(2016贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最小值为()A1B.2C2D2 2答案 D解析 设 a，b，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为 b 时面积最大，所以122cb1，bc1，而 2a2 b2c22 2bc2 2(当且仅当 bc1 时取等号)，故选 D.*6.(2016济南质检)设 A1，A2 为椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于 A1，A2 的点 P，使得PO PA2 0，其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是(
28、)A(0，12)B(0，22)C(12，1)D(22，1)答案 D解析 A1(a,0)，A2(a,0)，设 P(x，y)，则PO(x，y)，PA2(ax，y)，PO PA2 0，(ax)(x)(y)(y)0，y2axx20，0 xa.将 y2axx2 代入x2a2y2b21，整理得(b2a2)x2a3xa2b20，其在(0，a)上有解，令 f(x)(b2a2)x2a3xa2b2，f(0)a2b20，f(a)0，如图，(a3)24(b2a2)(a2b2)a2(a44a2b24b4)a2(a22b2)20，对称轴满足 0a32b2a2a，即 0a32a2b2a，a22c212.又 0ca1，22
29、ca0，b0)的焦点在 x 轴上，过点(2,1)作圆 x2y24 的切线，切点分别为A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为_答案 x220y2161解析 设切点坐标为(m，n)，则n1m2 nm1，即 m2n2n2m0.m2n24，2mn40，即直线 AB 的方程为 2xy40.直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，2c40，b40，解得 c2，b4，a2b2c220，椭圆方程为x220y2161.8已知 P 为椭圆x225y2161 上的一点，M，N 分别为圆(x3)2y21 和圆(x3)2y24 上的点，则|PM|PN|的最小值为_答案 7解析 由题意知椭圆的两
30、个焦点 F1，F2 分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.9(2016石家庄模拟)椭圆x24y21 的左，右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆上一动点，若F1PF2 为钝角，则点 P 的横坐标的取值范围是_答案(2 63，2 63)解析 设椭圆上一点 P 的坐标为(x，y)，则F1P(x 3，y)，F2P(x 3，y)F1PF2 为钝角，F1P F2P 0，即 x23y20，y21x24，代入得 x231x240，34x22，x283.解得2 63 xb0)的左顶点 A(a，0)作直线 l 交 y 轴于点 P，交椭圆于点 Q，若A
31、OP 是等腰三角形，且PQ 2QA，则椭圆的离心率为_答案 2 55解析 AOP 是等腰三角形，A(a,0)，P(0，a)设 Q(x0，y0)，PQ 2QA，(x0，y0a)2(ax0，y0)x02a2x0，y0a2y0，解得x023a，y0a3，代入椭圆方程化简，可得b2a215，e1b2a22 55.11(2016南京模拟)如图，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，右顶点，上顶点分别为 A，B，且|AB|52|BF|.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若斜率为 2 的直线 l 过点(0,2)，且 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，OPOQ，求直线 l 的方程及椭圆 C 的
32、方程解(1)由已知|AB|52|BF|，即 a2b2 52 a，4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，eca 32.(2)由(1)知 a24b2，椭圆 C：x24b2y2b21.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线 l 的方程为 y22(x0)，即 2xy20.由2xy20，x24b2y2b21消去 y，得 x24(2x2)24b20，即 17x232x164b20.3221617(b24)0，解得 b2 1717.x1x23217，x1x2164b217.OPOQ，OP OQ 0，即 x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40.从而
33、5164b21712817 40，解得 b1，满足 b2 1717.椭圆 C 的方程为x24y21.12(2016湖州调测)已知点 C(x0，y0)是椭圆x22y21 上的动点，以 C 为圆心的圆过点 F(1,0)(1)若圆 C 与 y 轴相切，求实数 x0 的值；(2)若圆 C 与 y 轴相交于 A，B 两点，求|FA|FB|的取值范围解(1)当圆 C 与 y 轴相切时，|x0|x012y20，又因为点 C 在椭圆上，所以x202y201，解得 x022 2，因为 2x0 2，所以 x022 2.(2)圆 C 的方程是(xx0)2(yy0)2(x01)2y20，令 x0，y22y0y2x01
34、0，设 A(0，y1)，B(0，y2)，则 y1y22y0，y1y22x01，由 4y204(2x01)0 及 y20112x20，得22 2x022 2，又由点 C 在椭圆上，得 2x0 2，所以 2x0b0)的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，O为坐标原点，M 为椭圆上任意一点过 F，B，A 三点的圆的圆心坐标为(p，q)(1)当 pq0 时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点 D(b1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF OD)MO 的最小值为72，求椭圆的方程解(1)设椭圆半焦距为 c.由题意 AF，AB 的中垂线方程分别为 xac2，yb2ab(xa2)，
35、于是圆心坐标为(ac2，b2ac2b)所以 pqac2 b2ac2b0，整理得 abbcb2ac0，即(ab)(bc)0，所以 bc，于是 b2c2，即 a2b2c22c2.所以 e2c2a212，即 22 e1.(2)当 e 22 时，a 2b 2c，此时椭圆的方程为 x22c2y2c21，设 M(x，y)，则 2cx 2c，所以(MF OD)MO 12x2xc212(x1)2c212.当 c 22 时，上式的最小值为 c212，即 c21272，得 c2；当 0c 22 时，上式的最小值为12(2c)2 2cc2，即12(2c)2 2cc272，解得 c 2 304，不合题意，舍去综上所述，椭圆的方程为x28y241.
