1、32 立体几何中的向量方法第1课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题内 容 标 准学 科 素 养1.理解直线的方向向量与平面的法向量2.掌握用待定系数法求平面法向量的方法3.掌握利用向量证明空间中的平行关系的基本方法.利用直观想象发展逻辑推理提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 直线的方向向量与平面的法向量预习教材P102，思考并完成以下问题为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来，那么如何用向量表示空间中的点、直线、平面的位置呢？(1)取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P
2、的位置就可以用向量OP 来表示(2)空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向确定点 A 是直线 l 上一点，向量 a 表示直线 l 的方向(方向向量)在直线 l 上取AB a，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使得APtAB.这样，点 A 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置，还可以具体表示出 l 上的任意一点(3)空间中平面 的位置可以由 内两条相交直线来确定设这两条直线相交于点 O，它们的方向向量分别为 a 和 b，P 为平面 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得OP xayb.这样，点 O 与向量 a，b
3、 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 内的任意一点另外也可以用平面的法向量表示空间中平面的位置 知识梳理 直线的方向向量与平面的法向量(1)用向量表示直线的位置直线 l 上一点 A条件表示直线 l 方向的向量 a(即直线的)形式在直线 l 上取AB a，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使得AP定位置点 A 和向量 a 可以确定直线 l 的作用定点可以具体表示出 l 上的任意方向向量tAB位置一点(2)用向量表示平面的位置通过平面 上的一个定点 O 和两个向量 a 和 b 来确定：条件平面 内两条相交直线的方向向量 a，b 和交点 O形式对于平面 上任意一点 P，存在
4、有序实数对(x，y)使得OP xayb通过平面 上的一个定点 A 和法向量来确定：平面的法向量直线 l，直线 l 的，叫做平面 的法向量确定平面位置过点 A，以向量 a 为法向量的平面是完全确定的方向向量(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的向量 a，叫做直线 l的一个方向向量平面的法向量直线 l，取直线 l 的，叫做平面 的法向量非零方向向量n注意：平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：(1)设平面的法向量为 n(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个相交的向量 a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；(3)根据法向量的定义
5、建立关于 x，y，z 的方程组na0，nb0；(4)解方程组，取其中的一个 n 的坐标，即得平面的一个法向量知识点二 用空间向量处理平行关系知识梳理 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb(kR)线面平行laa0面面平行vkv(kR)自我检测1若两条直线的方向向量分别是 a(2,4，5)，b(6，x，y)，且两条直线平行，则 x_，y_.答案：12 152已知直线 l 的方向向量为 a(1,2,0)，平面 的法向量为 n(2,1，1)，则()Al BlClDl 或 l答案：D3已知 A(1,2,3)，B(0,1,2)，C(1,3,2)，则平
6、面 ABC 的一个法向量为()A.23，13，1B.23，13，1C.23，13，1D.23，13，1答案：A探究一 利用方向向量和法向量判定线线、线面、面面的位置关系教材 P104练习 2设 u，v 分别是平面，的法向量，根据下列条件判断平面，的位置关系：(1)u(2,2,5)，v(6，4,4)；(2)u(1,2，2)，v(2，4,4)；(3)u(2，3,5)，v(3,1，4)解析：(1)uv0，uv，.(2)uv，或 与 重合(3)u 与 v 不垂直，也不平行，与 相交例 1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线 l1 与 l2 的方向向量分别是 a(2,3，1)，b(6，9
7、,3)；(2)直线 l1 与 l2 的方向向量分别是 a(2,1,4)，b(6,3,3)；(3)平面 与 的法向量分别是 u(1，1,2)，v3，2，12；(4)平面 与 的法向量分别是 u(2，3,4)，v(4，2,1)；(5)直线 l 的方向向量、平面 的法向量分别是 a(0，8,12)，u(0,2，3)解析(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，a13b，ab，即 l1l2.(2)a(2,1,4)，b(6,3,3)，ab0 且 akb(kR)，a，b 既不共线也不垂直，即 l1 与 l2 相交或异面(3)u(1，1,2)，v3，2，12，uv3210，uv，即.(4)u(2，3,4)，
8、v(4，2,1)，uv0 且 ukv(kR)，u 与 v 既不共线也不垂直，即 和 相交但不垂直(5)a(0，8,12)，u(0,2，3)，u14a，ua，即 l.方法技巧(1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行或重合(垂直)；否则两平面相交但不垂直跟踪探究 1.设平面 的法向量为(1,3，2)，平面 的法向量为(2，6，k)，若，则 k_.解析：，(1,3，2)(2，6，k)，21
9、，k2，12，k4.答案：4探究二 求平面的法向量例 2 已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面 ABC 的一个法向量解析 设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，AB(2,1,3)，BC(1，1,0)则有nAB 0，nBC 0，即2xy3z0，xy0，解得x3z，xy.令 z1，则 xy3.故平面 ABC 的一个法向量为 n(3,3,1)方法技巧 求平面法向量的方法与步骤(1)求平面 ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC，AB；(2)设平面的法向量为 n(x
10、，y，z)；(3)联立方程组nAC 0，nAB 0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为 0)便可得到平面的一个法向量跟踪探究 2.如图所示，在四棱锥 S-ABCD 中，底面是直角梯形，ABC90，SA底面 ABCD，且 SAABBC1，AD12，建立适当的空间直角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向量解析：如图，以 A 为原点，以AD，AB，AS分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，D12，0，0，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则DC 12，1，0，DS12，0，1.易知向量AD 1
11、2，0，0 是平面 SAB 的一个法向量设 n(x，y，z)为平面 SDC 的法向量，则nDC 12xy0，nDS12xz0，即y12x，z12x.取 x2，则 y1，z1，平面 SDC 的一个法向量为(2，1,1)探究三 利用空间向量证明线面平行教材 P118复习参考题 A 组 13 题节选如图，点 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)求证：BD平面 EFGH.证明：(1)E，F 分别为 AB，BC 的中点，EF 12AC.同理HG 12AC，EF HC.又E，F，H，G 不共线，E，F，G，H 四点共面
12、(2)E，H 分别为 AB，AD 的中点，HE 12DB，HE DB，DBHE.又HE平面 EFGH，BD平面 EFGH，BD平面 EFGH.例 3(1)在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 是正方形，侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点证明：PA平面 EDB.证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设PDDCa.法一：连接 AC，交 BD 于点 G，连接 EG，依题意得 D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E0，a2，a2.因为四边形 ABCD 是正方形，所以 G 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为a2，a2，0，所以EG
13、a2，0，a2.又PA(a,0，a)，所以PA2EG，这表明 PAEG.而 EG平面 EDB，且 PA平面 EDB，所以 PA平面 EDB.法二：设平面 BDE 的法向量为 n(x，y，z)，又DE 0，a2，a2，EB a，a2，a2，则有nDE 0，nEB 0，即 a2yz0，axy2z2 0，即yz0，2xyz0.令 z1，则x1，y1.所以 n(1，1,1)，又PA(a,0，a)，所以 nPA(1，1,1)(a,0，a)aa0.所以 nPA.又 PA平面 EDB，所以 PA平面 EDB.法三：假设存在实数，使得PADE EB，即(a,0，a)0，a2，a2 a，a2，a2，则有aa，0
14、a2a2a2，aa2a2，解得1，1.所以PADE EB，又 PA平面 EDB，所以 PA平面 EDB.(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求证：平面 A1BD平面 CD1B1.证明 以 D 为原点，分别以向量DA，DC，DD1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为 1，则 A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1D(1,0，1)，A1B(0,1，1)，D1B1(1,1,0)，D1C(0,1，1)设平面 A1BD 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1A
15、1D 0，n1A1B 0 x1z10，y1z10，令 z11，得 x11，y11.平面 A1BD 的一个法向量为 n1(1,1,1)设平面 CD1B1 的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)，则n2D1B1 0，n2D1C 0 x2y20，y2z20，令 y21，得 x21，z21，n2(1,1,1)n1n2，即 n1n2.平面 A1BD平面 CD1B1.方法技巧 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证方法三：先求直线
16、的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直跟踪探究 3.如图，已知在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，且 AD2，AB1，PA平面 ABCD，E，F 分别是线段 AB，BC 的中点判断并说明 PA 上是否存在点 G，使得 EG平面 PFD.解析：PA平面 ABCD，BAD90，AB1，AD2，如图，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)不妨令 P(0,0，t)，PF(1,1，t)，DF(1，1,0)设平面 PFD 的法向量为 n(x，y，z)，由 nPF0，nDF 0，得xytz0，xy0，令
17、 z1，解得 xyt2，nt2，t2，1.设点 G 的坐标为(0,0，m)，又 E12，0，0，则EG 12，0，m.要使 EG平面 PFD，只需EG n0，即12 t20t2m10，即 mt40，解得 m14t，从而满足 AG14AP 的点 G 即为所求课后小结(1)利用向量解决立体几何问题的“三部曲”：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；根据运算结果的几何意义来解释相关问题(2)证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明素养培优忽视直线与平面平行的条件致误若直线 l 的方向向量为 a(3，1,4)，平面 的法向量为 n12，32，34，则直线 l与平面 的位置关系是_易错分析 直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线可能与平面平行，也可能在平面内考查直观想象和逻辑推理的学科素养自我纠正 因为 an(3，1,4)12，32，34 0，所以 an.所以 l 或 l.故填 l 或 l.答案：l 或 l04 课时 跟踪训练
