1、第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系1.2020石家庄市重点高中高三摸底测试如图8-2-1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB =AC =AA1 =2,BC =2,点D为BC的中点,则异面直线AD与A1C所成的角为()图8-2-1A.2B.3C.4D.62.2019广东省汕头市联考给出下列命题:(1)若直线a与平面不平行,则a与平面内的所有直线都不平行;(2)若直线a与平面不垂直,则a与平面内的所有直线都不垂直;(3)若异面直线a,b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直;(4)若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.43.2019昆明
2、市高考模拟已知直线l平面,直线m平面,若,则下列结论正确的是()A.l 或lB.l m C.mD.lm4.2019贵州贵阳适应性考试设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下面四个命题:若,则 ;若,m,n,则mn;若m,n,则mn;若, =m, =n,则mn.其中是真命题的序号为()A.B.C.D.5.2019湖南重点中学联考正四面体SABC中,D是AB的中点,E是SB的中点,则异面直线AE与CD所成角的余弦值是()A.16B.14C.13D.126.2020陕西省部分学校摸底检测将正方形ABCD中的ACD沿对角线AC折起,使得平面ABC垂直于平面ACD,则异面直线AB与CD所成的角
3、为()A.90B.60C.45D.307.2020广东七校第二次联考如图8-2-2,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和B1C上的动点,且满足AP =B1Q,图8-2-2则下列命题错误的是()A.存在P,Q运动到某一位置,使ABPQB.BPQ的面积为定值C.当点P不与点A重合时,直线PB1与AQ是异面直线D.无论P,Q运动到什么位置,均有BCPQ8.2019湖南师大附中模拟图8-2-3是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F 分别为P4A,P1D的中点,图8-2-3在此几何体中,给出下面4个结论:直线BE与直线CF 异面;直线BE与直线AF 异
4、面;直线EF 平面PBC;平面BCE平面PAD.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个9.2019福建五校第二次联考已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于B,C两点),点N为线段CC1的中点.若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长度的取值范围为()A.(0,13B.(0,12C.23,1)D.12,1)10.交汇题设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,且直线m平面,直线n平面,给出下列说法:“mn”是“n”的必要条件;“mn”是“m”的必要条件;“mn”是“”的充要条件;“mn”是“”的充分条件.其中所
5、有正确说法的序号是.11.2019安徽蚌埠模拟已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F 分别为AA1,AB的中点,点M是正方形ABB1A1内的动点,若C1M平面CD1EF ,则点M的轨迹长度为.第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系1.B解法一取B1C1的中点D1,连接A1D1,D1C.易证A1D1AD,故A1D1,A1C所成的角就是AD,A1C所成的角.AB=AC=2,BC=2,D为BC的中点,ADBC,AD=AB2 - BD2=(2)2 - 12=1,A1D1=AD=1,又A1C=AA12+AC2=(2)2+(2)2=2,D1C=D1C12+C1C2=12+(2)2=3,A1
6、D12+D1C2=A1C2,A1D1C为直角三角形,cosD1A1C=12,即异面直线AD与A1C所成的角为3,故选B.解法二易知AB,AC,AA1两两垂直,以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图D 8 - 2 - 9所示的空间直角坐标系,图D 8 - 2 - 9则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(22,22,0),AD=(22,22,0),A1C=(0,2, - 2),cos=ADA1C|AD|A1C|=12,即异面直线AD与A1C所成的角为3.故选B.2.C对于(1),若直线a在平面内,此时直线a和平面不平行,但
7、是平面内有直线和a是平行的,故(1)错误.对于(2),若直线a在平面内,这时直线a和平面不垂直,但是平面内有直线和a是垂直的,故(2)错误.对于(3),根据线面垂直的定义可知,(3)是正确的.对于(4),a,c有可能是异面直线,故(4)错误.综上所述,有3个命题是错误命题,故选C.3.A因为l,所以l或l,A正确;因为l,m,且,则lm或l与m相交或l与m异面,B,D错误;因为m,且,则m或m或m与相交,C错误.故选A.4.D对于,垂直于同一个平面的两个平面可能平行,也可能相交,故命题是假命题;对于,分别在两个互相垂直的平面内的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,故命题是假命题;对于,直线
8、m与n可能平行,也可能异面,故命题是假命题;对于,由面面平行的性质定理知命题是真命题.故选D.(简解:也可在判断出命题是假命题之后直接排除A,B,C,从而选D)5.A如图D 8 - 2 - 10,设正四面体SABC的棱长为2,取BE的中点F,连接CF,DF,则AEDF,CDF即为AE与CD所成角或其补角,CD=3,DF=32,CF=(12)2+(3)2=132,cosCDF=3+34 - 1342332=160,16即为异面直线AE和CD所成角的余弦值,故选A.图D 8 - 2 - 106.B解法一如图D 8 - 2 - 11,连接BD,取AC,BD,AD的中点分别为O,M,N,连接ON,OM
9、,MN,则由三角形的中位线定理知ON=12CD,MN=12AB,所以所求的角为ONM或其补角.连接BO,OD,因为AB=BC,所以BOAC.因为平面ABC平面ACD,且平面ABC平面ACD=AC,BO平面ABC,所以BO平面ACD,所以BOOD.设原正方形ABCD的边长为2,则BO=OD=2,所以BD=2,所以OM=12BD=1,所以ON=MN=OM=1,所以OMN是等边三角形,所以ONM=60,即异面直线AB与CD所成的角为60,故选B.图D 8 - 2 11 图D 8 - 2 - 12解法二如图D 8 - 2 - 12,设AC的中点为O,连接DO,OB,因为AD=DC,所以DOAC.因为平
10、面ABC平面ACD,且平面ABC平面ACD=AC,DO平面ACD,所以DO平面ABC.延长BO到E,使得EO=BO,连接DE,AE,CE,易证得四边形ABCE为正方形,所以ABEC,所以异面直线AB与CD所成的角为DCE或其补角.设AC=2a,则EC=ED=CD=2a,所以DCE为等边三角形,所以DCE=60,即异面直线AB与CD所成的角为60,故选B.解法三如图D 8 - 2 - 13,设AC的中点为O,连接BO,OD,图D 8 - 2 - 13因为AD=CD,AB=BC,所以DOAC,OBAC.因为平面ABC平面ACD,且平面ABC平面ACD=AC,OD平面ACD,所以OD平面ABC.以O
11、为坐标原点,OA,OB,OD的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.设AC=2a,则D(0,0,a),A(a,0,0),B(0,a,0),C( - a,0,0),所以AB=( - a,a,0),DC=( - a,0, - a),所以cos=ABDC|AB|DC|= - a( - a)+0+02a2a=12,所以异面直线AB与CD所成的角为60,故选B.7.B对于选项A,当P,Q分别是线段AD1和B1C的中点时,ABPQ,故A正确;对于选项B,P在A处时,BPQ的面积为12,P在AD1的中点时,BPQ的面积为24,故BPQ的面积不是定值,故B错误;对于选项C,当点P不与点A重合时
12、,假设直线PB1与AQ是共面直线,则AP与B1Q共面,与题意矛盾,所以直线PB1与AQ是异面直线,故C正确;对于选项D,BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影,由三垂线定理得无论P,Q运动到什么位置,均有BCPQ,故D正确.故选B.8.B将展开图还原为几何体(示意图如图D 8 - 2 - 14所示),连接BE,CF,EF,CE,AF.图D 8 - 2 - 14因为E,F分别为PA,PD的中点,所以EFADBC,即直线BE与CF共面,错误;因为B平面PAD,E平面PAD,EAF,所以BE与AF是异面直线,正确;因为EFADBC,EF平面PBC,BC平面PBC,所以EF平面PBC,正确;易知平面PA
13、D与平面BCE不一定垂直,错误.故选B.9.B易知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1.若M为BC的中点,则MNAD1,所以此时截面为四边形AMND1,所以BM=12符合题意.若0BM12,如图D 8 - 2 - 15(1),作BPMN交CC1于点P,再作PQC1D1交DD1于点Q,连接AQ,易知MNAQ,所以此时截面为四边形AMNQ,所以0BM12符合题意.若12BM1,如图D 8 - 2 - 15(2),作BPMN交B1C1于点P,再作PQC1D1交A1D1于点Q,连接AQ,易知MNAQ,所以点Q在平面AMN内,设平面AMN与直线C1D1交于点E,连接QE,NE,则此时截面为五边
14、形AQENM,显然不符合题意.综上可知,线段BM长度的取值范围为(0,12.故选B.(1) (2)图D 8 - 2 - 1510.对于,由“n”能推出“mn”,但由“mn”不能推出“n”,所以正确.对于,由“m”不能推出“mn”,所以不正确.对于,由“mn”不能推出“”,也可能相交,所以不正确.对于,由“mn”不能推出“”,所以不正确.【素养落地】本题以空间中线面位置关系为载体,考查考生对充分条件和必要条件的理解,考查了逻辑推理核心素养.11.2根据题意作图,如图D 8 - 2 - 16所示,图D 8 - 2 - 16取A1B1的中点H,B1B的中点G,连接GH,C1H,C1G,EG,HF,可得四边形EGC1D1是平行四边形,所以C1GD1E.同理可得C1HCF.因为C1HC1G=C1,直线D1E与CF也相交,所以平面C1GH平面CD1EF.由点M是正方形ABB1A1内的动点可知,要使C1M平面CD1EF,则点M在线段GH上,所以点M的轨迹长度GH=12+12=2.
