1、5.3平面向量的数量积【考试要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题【知识梳理】1向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意
2、义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3.向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论符号表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|【常用结论】1平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.2有关向量夹角的两个结论已知向量a，b.(1)若a与b的夹角为锐角，则ab0；若ab0，
3、则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则ab0；若ab0，则a和b的夹角为锐角()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量()(4)(ab)ca(bc)()【来源题教材】1(2022海南省临高二中模拟)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是()A0a0Babbc，则acCab0a0或b0D(ab)(ab)|a|2|b|2答案D2已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.答案23已知向量a，b满足3|a|2|b|6，且(a2b)(2ab)，则a，b夹角的余弦值为_答案解析设a，b的夹角为，依题意，(a2b)(2ab)0，
4、则2a23ab2b20，故24323cos 2320，则cos .题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2021北京)a(2,1)，b(2，1)，c(0,1)，则(ab)c_；ab_.答案03解析a(2,1)，b(2，1)，c(0,1)，ab(4,0)，(ab)c40010，ab221(1)3.(2)(2022邹城模拟)在平面四边形ABCD中，已知，P为CD上一点，3，|4，|3，与的夹角为，且cos ，则_.答案2解析如图所示，四边形ABCD为平行四边形，3，又|4，|3，cos ，则438，2 289422.【备选】1(2019全国)已知(2,3)，(3，t)，|1，则等于()A3 B
5、2 C2 D3答案C解析因为(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1,0)，所以21302.2在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点若xy，则xy_；_.答案1解析M是BC的中点，D是AM的中点，x，y，xy.ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，AMBC，且BM1，|cosDBM|21.思维升华计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：ab|a|b|cosa，b(2)利用坐标运算，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义跟踪训练1(1)(2021新高考全国)已知向量abc0，|a|1，|b|c|2
6、，abbcca_.答案解析由已知可得(abc)2a2b2c22(abbcca)92(abbcca)0，因此abbcca.(2)(2020北京)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足()，则|_；_.答案1解析建立如图所示的平面直角坐标系，()，P为BC的中点点P的坐标为(2,1)，点D的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，|，(0，1)，(2,1)，1.题型二平面向量数量积的应用命题点1向量的模例2已知向量a，b满足|a|6，|b|4，且a与b的夹角为60，则|ab|_，|a3b|_.答案26解析因为|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，所以ab|a|b|cosa，b6412，(ab)
7、2a22abb236241676，(a3b)2a26ab9b23672144108，所以|ab|2，|a3b|6.命题点2向量的夹角例3(2020全国)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab等于()A B C. D.答案D解析|ab|2(ab)2a22abb225123649，|ab|7，cosa，ab.命题点3向量的垂直例4 (2021全国乙卷)已知向量a(1,3)，b(3,4)，若(ab)b，则_.答案解析方法一ab(13，34)，(ab)b，(ab)b0，即(13，34)(3,4)0，3912160，解得.方法二由(ab)b可知，(ab)b0，即abb20，从而.
8、【备选】1已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案B解析设a与b的夹角为，(ab)b，(ab)b0，abb2，|a|b|cos |b|2，又|a|2|b|，cos ，0，.2已知e1，e2是两个单位向量，且|e1e2|，则|e1e2|_.答案1解析由|e1e2|，两边平方，得e2e1e2e3.又e1，e2是单位向量，所以2e1e21，所以|e1e2|2e2e1e2e1，所以|e1e2|1.思维升华(1)求平面向量的模的方法公式法：利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；几何法：利用向量的几何意义，
9、即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解(2)求平面向量的夹角的方法定义法：cos ，求解时应求出ab，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；坐标法(3)两个向量垂直的充要条件abab0|ab|ab|(其中a0，b0)跟踪训练2(1)已知单位向量a，b满足ab0，若向量cab，则sina，c等于()A. B. C. D.答案B解析方法一设a(1,0)，b(0,1)，则c(，)，cosa，c，sina，c.方法二aca(ab)a2ab，|c|3，cosa，c，sina，c.(2)(2021新高考全国改编)已知O为坐标原点，点P1(cos ，sin
10、 )，P2(cos ，sin )，P3(cos()，sin()，A(1,0)，则|；|；.以上结论正确的有_(填序号)答案解析由题意可知，|1，|1，所以|，故正确；取，则P1，取，则P2，则|，故错误；因为cos()，cos cos sin sin cos()，所以，故正确；因为cos ，cos cos()sin sin()cos(2)，取，则，cos，所以，故错误题型三平面向量的实际应用例5(2022东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|F2|，且F1与F2的夹角为，则以下结论不正确的是(
11、)A|F1|的最小值为|G| B的范围为0，C当时，|F1|G| D当时，|F1|G|答案B解析由题意知，F1F2G0，可得F1F2G，两边同时平方得|G|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 2|F1|22|F1|2cos ，所以|F1|2.当0时，|F1|min|G|；当时，|F1|G|；当时，|F1|G|，故A，C，D正确；当时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以0，)，故B错误【备选】若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|1 N，|F2| N，F1与F2的夹角为45，求：(1)F3的大小；(2)F3与F1夹角的大小解(1)三个力平衡，F
12、1F2F30，|F3|F1F2|1.(2)方法一设F3与F1的夹角为，则|F2|，即，解得cos ，0，.方法二设F3与F1的夹角为，由余弦定理得cos()，0，.思维升华用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3(2022沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|1|10 km/h，水流速度的大小为|2|6 km/h.设1与2的夹角为120，北岸的点A在码头A的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应()A在A东侧 B在A西侧C恰好与A重合 D无法确定答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得1(5，5)，2(6,0
13、)，所以12(1,5)，说明游船有x轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A东侧极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则有恒等式ab.如图所示(1)在平行四边形ABDC中，a，b，则ab(|2|2)(2)在ABC中，a，b，AM为中线，则ab|2|2.例1在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.答案16解析如图所示，由极化恒等式，易得22325216.例2已知AB为圆x2y21的一条直径，点P为直线xy20上任意一点，则的最小值是_答案1解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直于直线xy20时，有最小值，即22()2121.例3已知a，b是平面内两个互相垂直的
14、单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B2 C. D.答案C解析如图所示，设，记a，b，c，M为AB的中点，由极化恒等式有(ac)(bc)|20，|2，可知是有固定起点，固定模长的动向量点C的轨迹是以AB为直径的圆，且点O也在此圆上，所以|c|的最大值为圆的直径长，即为.课时精练1(2020全国)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是()Aa2b B2ab Ca2b D2ab答案D解析由题意得|a|b|1，设a，b的夹角为60，故ab|a|b|cos .对A项，(a2b)bab2b220；对B项，(2ab)b2abb22120；对C项，(a
15、2b)bab2b220；对D项，(2ab)b2abb2210.2(2022四川乐山第一中学模拟)已知向量a(2，2)，b(2,1)，bc，ac4，则|c|等于()A2 B4C5 D4答案A解析因为bc，所以cb(2，)(R)，又ac4224，所以2，c(4,2)，|c|2.3(2022宜昌模拟)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则ab与b的夹角为()A. B. C. D.答案D解析|ab|ab|2|a|，等号左右同时平方，得|ab|2|ab|24|a|2，即|a|2|b|22ab|a|2|b|22ab4|a|2，所以ab0且|b|23|a|2，所以|ab|b|，所以cosab，b
16、，因为ab，b0，所以ab，b.4已知a(2,1)，b(k，3)，c(1,2)，若(a2b)c，则与b共线的单位向量为()A.或B.或C.D.答案A解析由题意得a2b(22k,7)，(a2b)c，(a2b)c0，即(22k,7)(1,2)0，22k140，解得k6，b(6，3)，e.5(2022盐城模拟)下列关于向量a，b，c的运算，不一定成立的是()A(ab)cacbcB(ab)ca(bc)Cab|a|b|D|ab|a|b|答案B解析根据数量积的分配律可知A正确；选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；根据数量积的定义，可知ab|a|b|cosa，b|a|b|，故C正确
17、；|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a|b|cosa，b|a|2|b|22|a|b|(|a|b|)2，故|ab|a|b|，故D正确6已知向量a(2,1)，b(1，1)，c(m2，n)，其中m，n均为正数，且(ab)c，则下列说法正确的是()Aa与b的夹角为钝角B向量a在b上的投影为C2mn4Dmn的最小值为2答案C解析对于A，向量a(2,1)，b(1，1)，则ab2110，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，设向量a，b的夹角为，则cos ，所以向量a在b上的投影为|a|cos ，故B错误；对于C，ab(1,2)，若(ab)c，则n2(m2)，变形可得2
18、mn4，故C正确；对于D，由2mn4，且m，n均为正数，得mn(2mn)22，当且仅当m1，n2时，等号成立，即mn的最大值为2，故D错误7(2021全国甲卷)已知向量a(3,1)，b(1,0)，cakb.若ac，则k_.答案解析c(3,1)(k,0)(3k,1)，ac3(3k)11103k0，得k.8(2020全国)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab|_.答案解析将|ab|1两边平方，得a22abb21.a2b21，12ab11，即2ab1.|ab|.9(2022长沙模拟)在ABC中，BC的中点为D，设向量a，b.(1)用a，b表示向量；(2)若向量a，b满足|a|3，|b|2，a，
19、b60，求的值解(1)()ab，所以ab.(2)aa2ab3232cos 606，所以6.10(2022南昌模拟)已知向量m(sin x，cos x1)，n(cos x，cos x1)，若f(x)mn.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在RtABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A90，f(C)0，c，CD为BCA的角平分线，E为CD的中点，求BE的长解(1)f(x)mnsin xcos xcos2x1sin 2xcos 2xsin.令2x(kZ)，则x(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)f(C)sin0，sin，又C，所以C.在ACD中，CD，在BCE中，
20、BE.11(2022恩施质检)圆内接四边形ABCD中，AD2，CD4，BD是圆的直径，则等于()A12 B12C20 D20答案B解析如图所示，由题知BADBCD90，AD2，CD4，()|cosBDA|cosBDC|2|241612.12在ABC中，已知0，且，则ABC为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D三边均不相等的三角形答案A解析，分别为与，方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量所在的直线为BAC的角平分线因为0，所以BAC的角平分线垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以cosBAC，BAC60.所以ABC为等边三角形13.(2022潍坊模拟)如图所示，一个物体被两
21、根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45，|F1|F2|10 N，则物体的重力大小为_ N.答案20解析如图所示，|F1|F2|10 N，|F1F2|1020 N，物体的重力大小为20 N.14(2021天津)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB且交AB于点E，DFAB且交AC于点F，则|2|的值为_；()的最小值为_答案1解析设BEx，x，ABC为边长为1的等边三角形，DEAB，BDE30，BD2x，DEx，DC12x，DFAB，DFC为边长为12x的等边三角形，DEDF，(2)242424x24x(12x)
22、cos 0(12x)21，|2|1，()()()2(x)2(12x)(1x)5x23x152，当x时，()的最小值为.15定义一种向量运算“”：ab(a，b是任意的两个向量)对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，正确的是()AabbaB(ab)(a)b(R)C(ab)cacbcD若e是单位向量，则|ae|a|1答案A解析当a，b共线时，ab|ab|ba|ba，当a，b不共线时，ababbaba，故A正确；当0，b0时，(ab)0，(a)b|0b|0，故B错误；当ab与c共线时，则存在a，b与c不共线，(ab)c|abc|，acbcacbc，显然|abc|acbc，故C错误；当e与a
23、不共线时，|ae|ae|a|e|a|1，当e与a共线时，设aue，uR，|ae|ae|uee|u1|u|1，故D错误16已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且()18，求c.解(1)mnsin Acos Bsin Bcos Asin(AB)，在ABC中，ABC,0C，所以sin(AB)sin C，所以mnsin C，又mnsin 2C，所以sin 2Csin C，cos C，又因为C(0，)，故C.(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin Csin Asin B，由正弦定理得2cab.因为()18，所以18，即abcos C18，ab36.由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab，所以c24c2336，c236，所以c6.
