1、第三章3.7正多边形与圆练习题一、选择题1. 边长为2的正六边形的边心距为()A. 1B. 2C. 3D. 232. 一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则AOB的度数是()A. 83B. 84C. 85D. 943. 下列说法正确的是()A. 若点C是线段AB的黄金分割点，AB=2，则AC=5-1B. 平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积C. 两个正六边形一定位似D. 菱形的两条对角线互相垂直且相等4. 正六边形的周长为6，则它的外接圆半径为()A. 1B. 2C. 3D. 65. 下列图形为正多边形的是()A. B. C.
2、D. 6. 正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是()A. 互余B. 互补C. 互余或互补D. 不能确定7. 半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是()A. abcB. bacC. acbD. cbBC时，AC=5-1，当ACBC时，AC=3-5，本选项说法错误；B、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；C、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；D、菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，本选项说法错误；故选：B根据黄金分割、中心对称图形、位似变换、菱形的性质判断即可本题考查的是黄金分割、中心对称图形
3、、位似变换、菱形的性质，掌握相关的概念和性质定理是解题的关键4.【答案】A【解析】解：正六边形的周长是6，其边长=66=1正六边形的边长与其外接圆半径恰好组成等边三角形，它的外接圆半径是1故选：A根据正六边形的周长是6求出其边长，再根据等边三角形的性质即可得出结论本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键5.【答案】D【解析】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，故选：D根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义6.【答案】B【解析】解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360n，正多边形
4、的一个外角等于360n，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补故选B根据正多边形的中心角的定义可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆掌握正多边形的有关概念7.【答案】D【解析】解：设圆的半径为R，则正三角形的边心距为a=Rcos60=12R
5、.四边形的边心距为b=Rcos45=22R，正六边形的边心距为c=Rcos30=32R.12R22R32R，cba，故选：D根据三角函数即可求解此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决8.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称的性质、正多边形的性质、全等三角形等知识解答即可本题考查了轴对称的性质、正多边形的性质、全等三角形；会利用以上知识综合解题是关键【解答】解：五边形ABCDE为正五边形BA=BC，ABC=BAE=AED=5-21805=108，BAC为等腰三角形BAC=180-ABC2=
6、36.故正确EAC=BAE-BAC=108-36=72CAE+AED=180AC/ED又lEDlACABF和CBF为直角三角形在和中AB=CBBF=BFABFCBFHLAF=CFl是线段AC的垂直平分线.故正确正五边形ABCDE有五条对称轴，正确；综上所述都正确故选D9.【答案】A【解析】解：正三角形一条边所对的圆心角是3603=120，正方形一条边所对的圆心角是3604=90，正五边形一条边所对的圆心角是3605=72，正六边形一条边所对的圆心角是3606=60，一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，故选A根据正多边形的中心角的度数即可得到结论本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的中心
7、角的定义是解题的关键10.【答案】B【解析】【分析】本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定与性质；解题的关键是作辅助线，灵活运用等边三角形的判定与性质来分析、解答如图，作辅助线，由题意可得OA=OB=AB，从而得出OAB是等边三角形，进而求出AOB的度数，问题即可解决【解答】解：如图，连接OA、OB；AB为O的内接正多边形的一边，正多边形的边长与半径相等，OA=OB=AB，OAB是等边三角形，AOB=60，即这个正多边形的中心角为60故选B11.【答案】45【解析】解：正八边形的中心角等于3608=45；故答案为45根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答本题考查了正多边形和圆的知
8、识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法12.【答案】36【解析】解：五边形ABCDE是O的内接正五边形，AB=BC，B=BAE=(5-2)1805=108，ACB=BAC=36，同理EAD=36，CAD=108-36-36=36，故答案为：36根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型13.【答案】66【解析】解：如图，连接GE、OA；则GE必过点O；ABC为O的外切正三角形，OEAB，OAE=OAH=1260=30；四边形EFGH为O的内接正方形，EF=FG=a，EFG=90，由勾股定理得：EG
9、2=EF2+FG2=2a2，EG=2a，EO=2a2；在直角AOE中，tan30=OEAE，AE=62a；同理可求BE=62a，AB=6a，即该圆外切正三角形边长为6a，ab=66，故答案为：66如图，作辅助线；根据勾股定理首先求出EG的长度，进而得到EO的长度；根据直角三角形的边角关系求出AE的长度，即可解决问题该题主要考查了正多边形与圆，正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键14.【答案】3【解析】解：如图，连接AC，过点B作BDAC于D，由正六边形，得ABC=120，AB=BC=a，BCD=BAC=30由AC=3，得CD=1.5cosBCD=CDBC=
10、32，即1.5a=32，解得a=3，故答案为：3根据正六边形的性质，可得ABC=120，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题的关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数，15.【答案】2【解析】解：设多边形的边数为n因为正多边形内角和为(n-2)180，正多边形外角和为360，根据题意得：(n-2)180=3602，n-2=22，n=6故正多边形为6边形边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2，故答案为：2先判断出多边形的边数，再求多边形的半径本题考查学
11、生对正多边形的概念掌握和计算的能力，要注意利用特殊角的正多边形，以简化计算16.【答案】0120 0360n【解析】解：(1)由题意图1中，ABC是等边三角形，O是中心，AOB=120的取值范围是：0120，图3中，ABCDEF是正n边形，O是中心，BOC=360n，的取值范围是：0360n，故答案为：0120，0360n(2)如图1中，作OEBC于E，OFBC于F，连接OOOEB=OFC=90，OB=OCOBE=C，OBEOCF(AAS)，OE=OF，BE=CFOO=OO，RtOOERtOOF(HL)，OE=OF，BO=OC(3)如图2中，总点O光源BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接E
12、B交BC于点P，连接OP，此时OP+BP的值最小，即BP+OP有最小值BOB=135，BOC=90，OCB=BOC=45，OB/BC，OKBC，OB=OC，BK=CK=2，OB=22，KP/OB，OK=KE，EP=PB，KP=12OB=2，BP=2+2，在RtOEB中，EB=OB2+OE2=42+(2)2=32OP=OP，BP+OP有最小值，最小值为32，C此时BP=2+2(4)如图3中，OCBC，OB=OC，COB=12COB=30，BCO=60，=30(1)根据正多边形的中心角的定义即可解决问题；(2)如图1中，作OEBC于E，OFBC于F，连接OO.利用全等三角形的性质分别证明：BE=C
13、F，EO=FO即可解决问题；(3)如图2中，总点O光源BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接EB交BC于点P，连接OP，此时OP+BP的值最小，即BP+OP有最小值(4)利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；本题属于四边形综合题，考查了正多边形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题17.【答案】90 108【解析】解：(1)AOQ=60在ABP和BCQ中，AB=BCABC=CPB=CQABPBCQ(SAS)BAP=CBQAOQ=ABO+BAP=ABO+CBQ=ABC=60；(2)理由同(1)：正方形AOQ=90，正
14、五边形AOQ=108，(3)正n边形AOQ=180(n-2)n故答案为：90，108(1)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论；(2)方法同(1)；(3)由(2)的结论即可得到结果本题综合考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质、等边三角形和正多边形的有关知识注意对三角形全等性质的运用及学会对问题的拓展18.【答案】解：连接AC，作AEPB于E，如图所示：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，ABC=D=BCD=90，ACB=45，AC是O的直径，ABC是等腰直角三角形，APC=90，AC=2AB，AC=AP2+PC2=12+32=10，AB=AC2=5，APB
15、=ACB=45，AEPB，APE是等腰直角三角形，PE=AE=22AP=22，BE=AE2+AB2=(2)2+(5)2=7，PB=PE+BE=22+7【解析】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键连接AC，作AEPB于E，由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，ABC=D=BCD=90，ACB=45，由圆周角定理得出AC是O的直径，ABC是等腰直角三角形，得出APC=90，AC=2AB，由勾股定理得出AC=AP2+PC2=10，得出AB=5，由圆周角定理得出APB=ACB=45，证出APE是等腰直角三角形，得出PE=AE=22AP=22，再由勾股定理得出BE=AE2+AB2=7，即可得出PB的长
