1、第二章函数第一节函数的概念及其表示学习要求:1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数的有关概念函数的定义设A,B是非空的 实数集 ,如果对于集合A中 任意一个数x ,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应,那么就称f: AB 为从集合A到集合B的一个函数函数的记法 y=f(x) ,xA定义域x叫做自变量,x的 取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域提醒判断两个函数
2、是否相同,要抓住以下两点:定义域是否相同;对应关系是否相同,当解析式可以化简时,要注意化简过程的等价性.2.同一个函数的概念如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和列表法.4.分段函数在函数的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的 对应关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义区间端点应不重不漏.知识拓展1.常见的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0
3、.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=ax(a0且a1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=logax(a0且a1)的定义域为x|x0.(6)y=tan x的定义域为xxR且xk+2,kZ.(7)函数f(x)=x0的定义域为x|xR,且x0.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a0)的值域:当a0时,值域为4ac-b24a,+,当a0且a1)的值域是(0,+).(5)y=logax(a0且a1)的值域是R.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数y=f(
4、x)的图象与直线x=a最多有2个交点.()(2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一个函数.()(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.()(4)分段函数是由两个或几个函数组成的.()(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教A版必修第一册P73T11改编)若函数y=f(x)的定义域为M=x|-2x2,值域为N=y|0y2,则函数y=f(x)的图象可能是()答案B3.(新教材人教A版必修第一册P67T3改编)下列函数中,与函数y=x+1是同一个函数的是()A.y=(x+1)2B.y=3
5、x3+1C.y=x2x+1D.y=x2+1答案B4.(新教材人教A版必修第一册P72T1改编)函数f(x)=2x-1+1x-2的定义域为()A.0,2)B.(2,+)C.0,2)(2,+)D.(-,2)(2,+)答案C5.(易错题)已知f(x)=x-1,则f(x)=.答案x2-1(x0)【易错点分析】解答本题容易出现的错误是在应用换元法求函数的解析式时,忽视自变量的取值范围.求函数的定义域1.(2020四川树德中学高三二模)函数f(x)=12-x+ln(x+1)的定义域是() A.(2,+)B.(-1,2)(2,+)C.(-1,2)D.(-1,2答案C函数的定义域应满足2-x0,1+x0,解得
6、-1x0,x0,lnx0,解得1x0且1-x1,解得x0且a1)的定义域为.答案(0,2解析由1-|x-1|0,ax-10,解得00,3x,x0,则ff14的值是()A.9B.-9C.19D.-19答案C140,f14=log214=-2,又-20,ff14=f(-2)=3-2=19.角度二根据分段函数求参数的值典例3已知f(x)=2x-2,x0,-x2+3,x0,若f(a)=2,则a的取值为()A.-1或2B.1或2C.-1 D.2答案Af(a)=2,当a0时,2a-2=2,解得a=2;当a0时,-a2+3=2,解得a=-1.综上,a的取值为-1或2.角度三根据分段函数解不等式典例4(202
7、0甘肃武威第六中学高三模拟)设函数f(x)=log2(x+1),x0,-x,x0,则满足f(x+1)2的x的取值范围是()A.(-4,3)B.(-5,2)C.(-3,4)D.(-,-3)(4,+)答案B因为f(x)=log2(x+1),x0,-x,x0,所以f(x+1)=log2(x+2),x-1,-(x+1),x-1.当x-1时,f(x+1)2即log2(x+2)2,解得x2,所以-1x2;当x-1时,f(x+1)2即-(x+1)-5,所以-5x-1.综上,当f(x+1)0,ax+b,x0,且f(0)=3,f(-1)=4,则f(f(-3)=()A.-1B.-lg 3C.0 D.1答案A由f(
8、x)=-lgx,x0,ax+b,x0,且f(0)=3,f(-1)=4,得a0+b=1+b=3,a-1+b=4,解得a=12,b=2,则f(-3)=12-3+2=10,则f(f(-3)=f(10)=-lg 10=-1.2.设函数f(x)=3x-b,x1,2x,x1.若ff56=4,则b=()A.1B.78C.34D.12答案Df56=356-b=52 -b,若52-b32,则ff56=f52-b=352-b-b=4,解得b=78,不符合题意,舍去.若52 -b1,即b32,则252-b=4,解得b=12.3.已知函数f(x)=log13x,x0,2x,x0,若f(a)12,则实数a的取值范围是.
9、答案-1,33解析当a0时,由2a12,解得-10时,由log13a12,解得0a33.综上,a的取值范围是-1,33.数学抽象函数中的新定义问题1.具有f 1x=-f(x)性质的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数:f(x)=x-1x;f(x)=ln1-x1+x;f(x)=x,0x1.其中满足“倒负”变换的函数是() A.B.C.D.答案B对于, f(x)=x-1x,f 1x=1x-x=-f(x),满足“倒负”变换;对于,f(x)=ln1-x1+x,f 1x=lnx-1x+1-f(x),不满足“倒负”变换;对于,f1x=1x,01x1=1x,x1,0,x=1,-x,0x1,f(
10、x)=x2-2x+2在13,m2-m+2上的最小值为f(1)=1.令f(x)=x2-2x+2=2,解得x=0或x=2,m2-m+22,0m1.A组基础达标1.下列各组函数中,表示同一个函数的是()A.f(x)=eln x,g(x)=xB.f(x)=x2-4x+2,g(x)=x-2C.f(x)=sin2x2cosx,g(x)=sin xD.f(x)=|x|,g(x)=x2答案D2.如图所示的是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是()答案D3.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的
11、是()A.y=x B.y=lg x C.y=2xD.y=1x答案D4.(多选题)下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是()A. f(x)=|x|B. f(x)=x-|x|C. f(x)=x+1D. f(x)=-x答案ABD5.(2020天津南开中学高三月考)设函数f(x)=1+log2(2-x),x1,2x-1,x1,则f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12答案C6.(2020天津南开中学高三月考)函数f(x)=4-|x|+lgx2-5x+6x-3的定义域为()A.(2,3)B.(2,4C.(2,3)(3,4D.(-1,3)(3,6答案C7.(2020陕西吴起高级中
12、学高三月考)若函数f(x)的定义域是0,2,则函数f(x+1)+f(2x-1)的定义域是()A.-1,1B.12,1C.12,32D.0,12答案B8.(2020江西南昌二模)已知函数f(x)是单调函数,且对任意x(0,+),都有f f(x)+2x=-1,则f(1)=()A.-4B.-3C.-1D.0答案C设f(x)+2x=k(k是一个常数),ff(x)+2x=f(k)=-1,f(x)=k-2x,f(k)=k-2k=-1,x(0,+),k=1,f(x)=1-2x,f(1)=1-21=-1.9.(2020山东潍坊一模)函数f(x)=x+1,-1x0.当0a1时, f(a)=f(a-1)即2a=a
13、,解得a=14,所以 f1a=f(4)=8;当a1时, f(a)=f(a-1)即2a=2(a-1),无解.综上, f1a=8.10.下列四个结论中,正确命题的序号是.f(x)=|x|x与g(x)=1,x0,-1,x0表示同一个函数;函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一个函数;若f(x)=|x-1|-|x|,则ff12=0.答案解析对于,因为函数f(x)=|x|x的定义域为x|xR且x0,而函数g(x)=1,x0,-1,x0的定义域是R,所以二者不是同一个函数;对于,若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f
14、(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定义域内的值,则由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于, f(x)与g(t)的定义域和对应关系分别对应相同,所以f(x)与g(t)表示同一个函数;对于,因为f12=12-1-12=0,所以ff12=f(0)=1.B组能力拔高11.(2020河南郑州模拟)设函数f(x)=-x+,x1(R),2x,x1,若对任意的aR都有ff(a)=2f(a)成立,则的取值范围是()A.(0,2 B.0,2C.2,+)D.(-,2)答案C当a1时,2a2,f f(a)=f(2a)=22a=2f(
15、a),R;当a0恒成立,则f(x)的解析式不可能是()A.f(x)=2 019xB.f(x)=exC.f(x)=x2D.f(x)=lg1+x2答案ACD对于A,f(f(x)=f2 019x=x(x0)恒成立,所以f(f(x)-x0不恒成立,A正确;对于B,因为exx,所以eexexx,所以f(f(x)=eexx恒成立,B错误;对于C, f(f(x)=x4=x,此方程有x=0和x=1两个根,所以f(f(x)-x0不恒成立,C正确;对于D,仅当x=0时, f(f(x)=x成立,所以f(f(x)-x0不恒成立,D正确.13.(2020甘肃武威高三期末)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有
16、“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名了“高斯函数”.其定义为“设xR,用x表示不超过x的最大整数,则y=x称为高斯函数”,例如:-3.5=-4,2.1=2,已知函数f(x)=ex1+ex-12,则函数y=f(x)的值域是.答案-1,0解析依题意, f(x)=ex+1-11+ex-12=12-11+ex,由于1+ex1,故-1212-11+ex12,即f(x)的值域为-12,12,所以函数y=f(x)的值域是-1,0.14.已知函数f(x)满足对任意的xR,都有f(1+x)+f(1-x)=4成立,则f18+f28+f38+f158=.答案30解析由f(1+x)
17、+f(1-x)=4,得f18+f158=4, f28+f148=4, f78+f98=4,又f88=2,f18+f28+f38+f158=47+2=30.C组思维拓展15.已知x表示不超过实数x的最大整数(xR),如:-1.3=-2,0.8=0,3.4=3.定义x=x-x,则12 018+22 018+2 0182 018=()A.2 017B.2 0172C.1 008D.2 016答案B由题意知,12 018=12 018,22 018=22 018,2 0172 018=2 0172 018,2 0182 018=0,所以原式=12 018+22 018+2 0172 018=2 017
18、2.16.若函数f(x)满足在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列三个函数:f(x)=1x;f(x)=2x;f(x)=lg(x2+2).其中是“1的饱和函数”的所有序号为()A.B.C.D.答案B对于,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则1x0+1=1x0+1,所以x02+x0+1=0(x00,且x0-1),显然该方程无实根,因此不是“1的饱和函数”;对于,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则2x0+1=2x0+2,解得x0=1,因此是“1的饱和函数”;对于,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则lg(x0+1)2+2=lg(x02+2)+lg(12+2),化简得2x02-2x0+3=0,显然该方程无实根,因此不是“1的饱和函数”.
