1、第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线23.2 双曲线的简单几何性质第2课时 双曲线简单几何性质的应用目标 1.掌握直线与双曲线位置关系.2.掌握直线与双曲线有关的弦长，中点等问题，会求与双曲线有关的简单的轨迹方程重点 直线与双曲线的位置关系的判定、弦长、中点等问题难点 在处理直线与双曲线位置关系时方程思想的运用及较大的运算量课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点一 直线与双曲线的位置关系填一填一般地，设直线 l：ykxm(m0)，双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)，把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当 b2a2k20，即 kba时，直
2、线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点(2)当 b2a2k20，即 kba时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；0，b0)当bakba时，直线和双曲线的两支相交，有两个交点当bak 或 kba时，直线和双曲线没有交点(2)设过焦点 F(c,0)的直线 yk(xc)，双曲线x2a2y2b21.当 kba时，直线和双曲线相交，有一个交点当bakba时，直线和双曲线两支相交，有两个交点当 kba时，直线和双曲线一支相交，有两个交点2求弦长及中点弦的问题求弦长
3、可采取两种方法一种是求交点坐标，另一种是利用弦长公式中点弦的问题可以采用“点差法”先求其斜率类型一 直线与双曲线位置关系的判定【例 1】已知直线 ykx 与双曲线 4x2y216.当 k 为何值时，直线与双曲线：(1)有两个公共点；(2)有一个公共点；(3)没有公共点【分析】联立直线与双曲线的方程得到方程组 讨论该方程组解的个数 可得k的值【解】由ykx4x2y216 消去 y，得(4k2)x2160.(*)当 4k20，即 k2 时，方程(*)无解当 4k20 时，4(4k2)(16)64(4k2)，当 0，即2k2 时，方程(*)有两解；当 0，即 k2 时，方程(*)无解；当 0，且 4
4、k20 时，不存在这样的 k 值综上所述，(1)当2k0 x1x2 4k1k20 x1x2101k20，解得 153 k42，点(8,4)在双曲线的内部，即以(8,4)为中点的直线是存在的，故直线 l 的方程为 9x8y400.类型三 与双曲线有关的综合问题【例 3】设双曲线 C：x2a2y21(a0)与直线 l：xy1相交于两个不同的点 A、B.(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且PA 512PB，求 a 的值【分析】(1)利用 0 可得 a 的范围，再写出离心率关于a 的表达式，可求出离心率的范围；(2)由韦达定理及向量坐标关系，可得到
5、关于 a 的方程，解出 a 即可【解】(1)将 yx1 代入双曲线x2a2y21 中得(1a2)x22a2x2a20，1a20，4a48a21a20.解得 0a 62 且 e 2.(2)设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题意知 P(0,1)PA 512PB，(x1，y11)512(x2，y21)由此得 x1 512x2，由于 x1、x2 都是方程的根，且 1a20.由根与系数的关系，得1712x2 2a21a2，512x22 2a21a2.消去 x2，得 2a21a228960，由 a0，得 a1713.双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与
6、双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况，如本题，若注意不到 1a20，则会造成离心率范围扩大，另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.已知双曲线 C：x2y21 及直线 l：ykx1.(1)若直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围(2)若直线 l 与双曲线 C 两支交于 A，B 两点，O 是坐标原点，且AOB 的面积为 2，求实数 k 的值解：(1)由x2y21，ykx1，消去 y 整理，得(1k2)x22kx20.由题意知1k20，4k281k20，解得 2k 2且 k1.所以实数 k 的取值范围为(
7、2，1)(1,1)(1，2)(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得 x1x2 2k1k2，x1x221k2.又直线 l 恒过点 D(0，1)，且 x1x20，b0)上任一点 P 引与实轴平行的直线，交两渐近线于 M，N 两点，则PM PN 的值为()Aa2Bb2C2abDa2b2解析：设 P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程为 ybax.令 yy0，得 Maby0，y0，Naby0，y0，则PM PN aby0 x0 aby0 x0 x20a2b2y20a2x20a2y20b2 a2.A3双曲线x216y29 1 的一个焦点到其渐近线的距离是_.解析：双曲线x216y29 1
8、 的左、右焦点坐标分别为(5,0)，(5,0)，渐近线方程为 y34x，焦点(5,0)到渐近线 3x4y0 的距离为|3540|32423.34直线 3xy 30 被双曲线 x2y21 截得的弦 AB 的长为_.解析：应用弦长公式25双曲线x29 y241 与直线 ykx1 只有一个公共点，求 k的值解：直线 ykx1 过(0，1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是 y23x.所以 k23.当直线与双曲线相切时，x29 y241ykx1(49k2)x218kx450.令 0，即(18k)24(49k2)450.解之，得 k 53.综上可知，k23或 k 53.温示提馨请 做：课时作业 16PPT文稿（点击进入）
