1、保分专题(九)圆锥曲线的方程与性质全国卷 3 年考情分析年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2017 卷 双曲线的性质、三角形的面积公式T5 1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考内容，多以选择题的形式考查，常出现在第512题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法，难度中等2.圆锥曲线与直线的综合问题多以解答题的形式考查，常出现在第20题的位置，一般难度较大卷 双曲线的简单几何性质T5 卷 直线与圆的位置关系、椭圆的离心率T11 双曲线的标准方程、渐近线方程T14 2016 卷 求椭圆的离心率T5 卷 抛物线的基本性质T5 2015 卷 椭圆与抛物线的标准方程和几何性质T5
2、 卷 双曲线的标准方程T15 圆锥曲线的定义与标准方程师生共研悟通圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0，b0)的一条渐近线方程为y52 x，且与椭圆 x212y23 1有公共焦点，则C的方程为()A.x28 y2101 B.x24 y251C.x25 y241 D.x24 y231解析 根据双曲线 C 的渐近线方程为 y 52 x，可知ba 52.又椭圆x212y231 的焦点坐标为(3,0)和(3,0)，所以 a2b29.根据可知 a24，b25，所以 C 的方程为x24 y251.答案 B(2)如图，椭圆x2a2
3、y22 1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，F1PF2120，则a的值为()A2 B3C4 D5解析 因为b22，c a22，所以|F1F2|2 a22.又|PF1|4，|PF1|PF2|2a，|PF2|2a4，由余弦定理得cos 120422a422 a222242a412，解得a3.答案 B 求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0)，双曲线
4、常设为mx2ny21(mn0)类题通法即学即用练通1顶点在原点，经过圆C：x2y22x2 2y0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为_解析：将圆C的一般方程化为标准方程为(x1)2(y2)23，圆心为(1，2)由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点(1，2)设抛物线的标准方程为y22px，因为点(1，2)在抛物线上，所以(2)22p，解得p1，所以所求抛物线的方程为y22x.答案：y22x2若点P在椭圆 x29y21上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且满足PF1PF2t，则实数t的取值范围是_解析：设 P(x，y)，F1(2 2，0)，F2(2 2，0)，PF1(2 2x，y
5、)，PF2(2 2x，y)，PF1PF2(2 2x)(2 2x)(y)2x2y28.P 在椭圆x29 y21 上，y21x29，tPF1PF2x2y2889x27，0 x29，7t1，故实数 t 的取值范围为7,1答案：7,1圆锥曲线的几何性质师生共研悟通1椭圆、双曲线中，a，b，c及e之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为eca1ba2；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为eca1ba2.2双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为ybax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系典例(1)(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已
6、知|AB|42，|DE|2 5，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析 设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4 2，|DE|2 5，抛物线的准线方程为xp2，不妨设A4p，2 2，Dp2，5.答案 B 点A4p，2 2，Dp2，5 在圆x2y2r2上，16p28r2，p24 5r2，16p28p24 5，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.(2)(2017全国卷)已知双曲线C：x2a2 y2b21(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_解析 双曲线的右顶点为
7、 A(a,0)，一条渐近线的方程为 ybax，即 bxay0，则圆心 A 到此渐近线的距离 d|baa0|b2a2 abc.又因为MAN60，圆的半径为 b，所以 bsin 60abc，即 3b2 abc，所以 e 232 33.答案 2 33类题通法1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得ba或ab的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程即学即用练通1(2017长沙一模)已
8、知双曲线C1：x2a2y2b21(a0，b0)经过抛物线C2：y22px(p0)的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是()A.2 B.3 C.32D.2 33解析：依题意得，曲线C2的焦点就是曲线C1的右顶点，故曲线C2的准线方程为xa，将xa代入曲线C1的渐近线方程y ba x得，该等边三角形的边长为2b、高为a，于是有a3b，双曲线C1的离心率e1ba22 33.答案：D2(2017天津高考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为()A
9、.x24 y2121 B.x212y241C.x23 y21D.x2y231解析：由OAF是边长为2的等边三角形可知，c2，batan 60 3.又c2a2b2，联立可得a1，b 3，双曲线的方程为x2y231.答案：D 3(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.解析：法一：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a1，b22，所以N(0,4 2)，|FN|4326.法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线
10、交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|12|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.答案：64(2017贵阳模拟)椭圆C：x2a2 y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，若以线段F1F2为直径的圆与椭圆有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是_解析：由题意可知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y2c2，将其代入椭圆方程，消去y得(a2b2)x2a2b2a2c20，因为圆与椭圆有交点，所以04(a2b2)(
11、a2b2a2c2)0，所以a2c2(a22c2)0，所以a22c2，即ec2a2 22，又椭圆的离心率e1，所以 22 e0)的过焦点F p2，0的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2p24，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.典例(2017全国卷)设 A，B 为曲线 C：yx24 上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且AMBM，求直线 AB 的方程解答示范(一)搭桥找突破口第(1)问：欲求直线 AB 的斜率，应设 A，B 两点坐标，通过两点满足方程作差，结合已知条件点 A
12、与点 B 的横坐标之和，再用斜率公式求解；(一)搭桥找突破口第(2)问：欲求 AB 的直线方程，应借助(1)的结论，设出直线 AB 的方程，结合给出的条件求设出的参数，即可求得直线的方程(二)建桥寻关键点ABM为直角三角形及其性质：直角三角形的中线等于斜边的一半 信息：AMBM 导数的几何意义，利用平行直线斜率相等可得M的坐标 信息：切线平行直线AB(1)利用两点的斜率公式时，两点的横坐标应不相等(2)直线与曲线交于两点，联立方程消元后得到的一元二次方程的判别式大于0 设两点坐标，作两点坐标满足方程的差，结合斜率公式和横坐标的之和来求解 信息：曲线y上两点A，B的横坐标之和为4 注意什么 想到
13、什么 有什么 解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1x214，y2x224，x1x24，于是直线AB的斜率ky1y2x1x2x1x241.(2)由yx24，得yx2.设M(x3，y3)，由题设知x32 1，解得x32，于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入yx24，得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1,222 m1.从而|AB|2|x1x2|4 2m1.由题设知|AB|2|MN|，即4 2m12(m1)，解得m7(m1舍去)所以直线AB的方程为xy70.1求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意
14、事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解类题通法2处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，y1y2x1x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：
15、联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解类题通法即学即用练通1在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一条直线，与抛物线yx2相交于A，B两点，若 OA OB2，则c的值为()A1 B2C3 D4解析：设过点C的直线为ykxc(c0)，代入yx2，整理得x2kxc0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2k，x1x2c.因为 OA OB2，所以x1x2y1y22，即x1x2(kx1c)(kx2c)2，即x1x2k2x1x2kc(x1x2)c22，所以ck2ckckc22，即c2c20，所以c2或c1(舍去)答案：B 2(2017广
16、西三市第一次联考)已知点M2 2，2 33在椭圆G：x2a2 y2b2 1(ab0)上，且点M到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆G的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P(3,2)，求PAB的面积解：(1)2a4 3，a2 3.又点M2 2，2 33在椭圆上，23 43b21，解得b24，椭圆G的方程为x212y241.(2)设直线l的方程为yxm.由yxm，x212y241，得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB的中点为E(x0，y0)，则x0 x1x223m4，y0 x0mm4.
17、AB是等腰PAB的底边，PEAB.PE的斜率k2m433m41，解得m2.此时方程为4x212x0，解得x13，x20，y11，y22，|AB|3 2.此时，点P(3,2)到直线AB：xy20的距离d|322|23 22，PAB的面积S12|AB|d92.创新应用 圆锥曲线与其他知识的交汇问题圆锥曲线是解析几何的核心部分，是高考重点考查的内容，且所占分值较大，近年高考中，圆锥曲线与圆、平面向量、三角函数、不等式、概率、数列等知识交汇，成为命题的热点和难点.典例(1)已知过定点(2,0)的直线与抛物线x2y相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点若x1，x2是方程x2xsin cos 0的两
18、个不相等实数根，则tan 的值是()A12 B12 C2D2解析 设直线方程为yk(x2)，由ykx2，yx2，得x2kx2k0，x1x2k，x1x22k，又x1，x2为x2xsin cos 0的两个不同的根，ksin，2kcos，tan 12.答案 A(2)(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22 y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若 MF1 0，则y0的取值范围是()A.33，33B.36，36C.2 23，2 23D.2 33，2 33解析 由题意知a 2，b1，c 3，F1(3，0)，F2(3，0)，MF1(3x0，y0)，MF1(3x0，y0)MF1MF10，(
19、3x0)(3x0)y200，即x203y200.点M(x0，y0)在双曲线上，x202 y201，即x2022y20，22y203y200，33 y00，b0)的两个焦点，以 F1，F2 为直径的圆与双曲线的一个交点是 P，且F1PF2 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A.2B.3 C2D5解析：根据对称性，不妨令 2|F1P|F2P|F1F2|F2P|2c.又|F1P|F2P|2a，|F1P|2c2a，|F2P|2c4a.又|F1P|2|F2P|2|F1F2|2，(2c2a)2(2c4a)2(2c)2，整理得 e26e50，e1，e5.答案：D 2在区间1,5和2,4内分别取一个数，记为a，b，则方程x2a2y2b21表示焦点在x轴上，且离心率小于 32 的椭圆的概率为_解析：方程x2a2y2b21表示焦点在x轴上且离心率小于 32 的椭圆，故a2b2，eca a2b2ab2，a2b，a2b.又a1,5，b2,4，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为S阴影42 12 1212132154，故所求的概率P S阴影241532.答案：1532 “专题过关检测”见“专题检测(十五)”(单击进入电子文档)