1、1 数据链接 真题试做 2 数据聚焦 考点梳理 a3 数据剖析 题型突破 第30讲 图形的相似与位似 目 录 数据链接 真题试做 命题点 1 相似三角形的判定与计算 命题点 2 相似三角形与图形变换相结合 命题点 3 与位似有关的计算与证明 相似三角形的判定与计算 命题点11.(2021河北,8)如图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图2所示,此时液面AB=()A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm返回子目录 C数据链接 真题试做 1 2.(2017河北,7)若ABC的每条边长增加各自的10 得ABC,则B的度数与其对应角B的度数相比()A.增加了10 B.减
2、少了10 C.增加了(1+10)D.没有改变返回子目录 D3.(2016河北,15)如图,ABC中,A=78,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()C4.(2014河北,13)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:返回子目录 乙:将邻边为3和5的矩形按图的方式向外扩张,得到新矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似对于两人的观点,下列说法正确的是()A甲:将边长为3,4,5的三角形按图的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距均为1,则新三角形与原三角形相似.A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对图图相似三
3、角形与图形变换相结合 命题点2返回子目录 5.(2011河北,9)如图,在ABC中,C=90,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将ABC沿DE折叠,使点A落在点A处,若A为CE的中点,则折痕DE的长为()BA.B.2 C.3 D.4与位似有关的计算与证明 命题点3返回子目录 6.(2020河北,8)在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是()AA.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR返回子目录 7.(2011河北,20)如图,在68网格图中,每个小正方形的边长均为1,点O和ABC的顶点均为小正方形的顶点.(1)以O为位似中心,在网格图中
4、作ABC,使ABC和ABC位似,且位似比为12;(2)连接(1)中的AA,求四边形AACC的周长(结果保留根号).返回子目录 解:(1)如图所示,ABC即为所求;(2)连接AA,OA.AA=CC=2,在RtOAC中,OA=OC=2,得AC=2,同理AC=4.四边形AACC的周长=AC+AA+AC+CC=4+2+2+2=4+6.返回子目录 8.(2012河北,23)如图,点E是线段BC的中点,分别以B,C为直角顶点的EAB和EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同侧.(1)AE和ED的数量关系为 ,AE和ED的位置关系为 .(2)在图中,以点E为位似中心,作EGF与EAB位似,点H是BC所在直线上
5、的一点,连接GH,HD,分别得到了图和图.在图中,点F在BE上,EGF与EAB的相似比是12,H是EC的中点.求证:GH=HD,GHHD.在图中,点F在BE的延长线上,EGF与EAB的相似比是k1,若BC=2,请直接写出CH的长为多少时,恰好使得GH=HD且GHHD(用含k的代数式表示).AEEDAE=ED返回子目录(2)证明:由题意可知,B=C=90,AB=BE=EC=DC.EGF与EAB的相似比是12,GFE=B=90,GF=AB,EF=EB.GFE=C.EH=HC=EC,GF=HC,FH=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD.HGFDHC(SAS).GH=HD,GHF=HDC.又HD
6、C+DHC=90,GHF+DHC=90.GHD=90.GHHD.CH的长为k.数据聚焦 考点梳理 考点 1 平行线分线段成比例 考点 2 比例的相关概念及性质 考点 3 相似三角形的判定及性质 考点 4 相似多边形 考点 4 位似图形 5平行线分线段成比例 考点1返回子目录 1.基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图,两条直线AC,DF被三条互相平行的直线l1,l2,l3所截,则=.数据聚集 考点梳理 2 返回子目录 2.结论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图,因为DEBC,所以=,也可以说=,还可以说=.比例的相关概念及性
7、质 考点2返回子目录 1.线段的比:两条线段的比是两条线段的长度之比.2.比例中项:如果=,即b2=,我们就把b叫做a,c的比例中项.ac性质1=bc(a,b,c,d0)性质2如果=,那么=性质3如果=(b+d+n0),则+=返回子目录 ad3.比例的性质4.黄金分割:如果点C把线段AB分成两条线段,使=,那么点C叫做线段AB的黄金分割点,AC是BC与AB的比例中项,AC与AB的比叫做黄金比.相似三角形的判定及性质 考点3返回子目录 2.性质(1)相似三角形的对应角 ;(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线);(3)相似三角形的周长比等于 ,面积比等于 .1.定义:三个角分别相等,
8、三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比叫做相似比.相等相似比成比例相似比的平方返回子目录 3.判定(1)对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且 相等,两三角形相似;(3)三边 ,两三角形相似;(4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.两角夹角对应成比例相似多边形 考点4返回子目录 2.性质(1)相似多边形的对应边 ;(2)相似多边形的对应角 ;(3)相似多边形周长的比 相似比,相似多边形面积的比等于 .1.定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比.相等等于成比
9、例相似比的平方位似图形 考点5返回子目录 2.性质(1)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k;(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 .1.定义:如果一个图形上的点A,B,P,和另一个图形上的点A,B,P,分别对应,并且它们的连线AA,BB,PP,都经过同一点O,=,那么这两个图形叫做位似图形,点O是位似中心,相似比叫做位似比.位似比返回子目录 3.找位似中心的方法:将两个图形的各组对应点连接起来,若它们所在的直线相交于一点,则该点就是位似中心.4.画位似图形的步骤(1)确定位似中心;(2)确定原图形的关键点;(3
10、)确定位似比;(4)作出原图形中各关键点的对应点;(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.【易错提示】两个位似图形的位似中心可能在图形内部,也可在图形外部、边上或顶点上.数据剖析 题型突破 考向 1 相似三角形的判定及性质 考向 2 位似图形 相似三角形的判定及性质（5年考2次）考向1A.只有相似B.只有相似C.都相似D.都不相似返回子目录 1.(2021石家庄质检)已知图中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图中AB,CD交于点O,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的是()C数据剖析 题型突破 3 返回子目录 2.(2021唐山模拟)如图,点P在ABC的边AC上,要判断
11、ABPACB,添加一个条件,不正确的是()DA.ABP=CB.APB=ABCC.=D.=返回子目录 3.(2021衡水模拟)如图,在ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DEBC,若AD=5,BD=10,DE=4,则BC的长为()CA.8 B.10C.12D.16返回子目录 4.(2021唐山模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E为CD上一点,DEEC=2 3,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,则DF BF等于()AA.2 5B.2 3C.3 5D.3 2返回子目录 5.(2021河北模拟)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点,且AED=4
12、5.(1)求证:ABEECD;(2)若AB=4,BE=,求CD的长.返回子目录 解:(1)证明:在RtABC中,BAC=90,AB=AC,B=C=45.AEC=B+BAE=AED+CED,AED=45,BAE=CED.ABEECD.(2)在RtABC中,BAC=90,AB=AC=4,BC=4.BE=,EC=3.ABEECD,=,即=,CD=.返回子目录 判定两个三角形相似的四种方法:(1)当图形中有平行线时,多用两角对应相等判定;(2)当已知两个三角形的一组角相等时,可以再找一组角,尝试证明相等,或是证明这组角的对应边成比例;(3)当已知两个三角形中三边的长度时,可以用三组边的比相等来证明两个
13、三角形相似;(4)当条件中给出比例式时,可考虑证三边对应成比例,或者用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明.位似图形（5年考1次）考向2返回子目录 1.(2021邢台模拟)如图,若ABC与DEF是位似图形,则位似中心可能是()AA.O1B.O2C.O3D.O42.(2021石家庄42中模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(6,0),B(0,8),以某点为位似中心,作出与AOB的位似比为k的位似CDE,则位似中心的坐标和k的值分别为()返回子目录 BA.(0,0),2 B.(2,2),C.(2,2),2 D.(1,1),返回子目录 3.(2021石家庄质检)如图,点O是
14、五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心,若OA OA1=1 3,则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是()A.1 2B.1 3C.1 4D.1 9D返回子目录 4.(2021河北模拟)如图,等腰RtABC与等腰RtCDE是以点O为位似中心的位似图形,且位似比为k=1 3,ACB=90,BC=4,则点D的坐标是()AA.(18,12)B.(16,12)C.(12,18)D.(12,16)返回子目录 5.如图,ABC在方格纸中(1)请在方格纸中建立平面直角坐标系,使A(2,3),C(6,2),并求出B点坐标;(2)以原点O为位似中心,相似比为2,在第一象限内将ABC放大,画出放大后的图形ABC;(3)计算ABC的面积S.返回子目录 解:(1)画出如图所示的平面直角坐标系,点B的坐标是(2,1);(2)画出的ABC如图所示;(3)SABC=84=16.返回子目录 一把两个位似图形中的两对对应点分别连接,两条线段(或其延长线)的交点就是位似中心;在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
