1、第14讲圆锥曲线考情分析圆锥曲线是高考的重点和热点，选择、填空题主要以考查圆锥曲线定义、标准方程和几何性质(特别是离心率)为主，属于中偏上难度.热点题型分析热点1圆锥曲线的定义及标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2ab0；(2)双曲线的标准方程：1，其中a0，b0；(3)抛物线的标准方程：x22py，y22px，其中p0.1.(2019广州测试)已知双曲线C：1(a0)的一条渐近线方程为2x3y0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|7，则|PF2|()A.1 B13C.4或10
2、 D1或13答案D解析由一条渐近线方程为2x3y0和b2可得a3，|F1F2|22，由点P在双曲线C上，则|PF1|PF2|6，可得|PF2|1或13，根据|PF1|7，|PF2|1，|F1F2|2或|PF1|7，|PF2|13，|F1F2|2均能满足三角形成立的条件故选D.2.椭圆1的离心率为，则k的值为()A.21 B21C.或21 D.或21答案C解析若a29，b24k，则c，由，即，得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21.故选C.(1)运用双曲线定义时，容易忽略距离差的“绝对值”这一条件如第1题，忽略此条件可能因为|PF1|7,2a6，而直接根据|PF1|PF2|2a，得出
3、|PF2|1，错选A.因此对于各圆锥曲线的定义，要熟练掌握，特别是双曲线的定义，不要忽略距离差的“绝对值”这一重要信息；除此之外，对于椭圆定义中|PF1|PF2|F1F2|、双曲线定义中|PF1|PF2|0，b0)的渐近线方程为yx，双曲线 1(a0，b0)的渐近线方程为yx；同时注意渐近线斜率与离心率e的关系.1.设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A. B. C. D.答案D解析解法一：如图，在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|，|PF2|2ctan30.|PF1|PF2|2a，即2
4、a，可得ca.e.故选D.解法二：(特殊值法)在RtPF2F1中，令|PF2|1，PF1F230，|PF1|2，|F1F2|.e.故选D.2.(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_.答案解析如图，取MN中点P，连接AP，则APMN，所以MAP30.因为A(a,0)，M，N为yx上的点，则|AP|.在RtPAM中，cosPAM，则，所以e.3.(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则
5、C的离心率为_.答案2解析解法一：由，得A为F1B的中点又O为F1F2的中点，OABF2.又0，F1BF290.OF2OB，OBF2OF2B.又F1OABOF2，F1OAOF2B，BOF2OF2BOBF2，OBF2为等边三角形.如图1所示，不妨设B为.点B在直线yx上，离心率e2.解法二：0，F1BF290.在RtF1BF2中，O为F1F2的中点，|OF2|OB|c.如图2，作BHx轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得，且|BH|2|OH|2|OB|2c2，|BH|b，|OH|a，B(a，b)，F2(c,0).又，A为F1B的中点.OAF2B，F1OAF1F2B，又F1OABOF2，BOF2F
6、1F2B，c2a，离心率e2.(1)双曲线的渐近线方程是yx，还是yx，是最容易混淆出错的点如第2题，如果将MN所在渐近线错写为yx，则|AP| .再根据cosPAM得到关于e的方程3e43e240，从而形成错解因此双曲线渐近线可以根据双曲线方程进行推导，即对于双曲线1，令0，则，即yx，不要死记硬背.(2)解决有关几何性质问题时，既可以使用曲线方程与点坐标有关的代数运算，也可以选择利用平面图形的几何性质求解二者比较起来，代数运算的计算量较大，出错率较高因此求解此类问题时，要根据题目给出的已知条件，准确画出平面图形，并充分挖掘图形中隐含的几何性质，从而简化计算过程.(3)求解离心率的值或范围的
7、问题时，要注意不同圆锥曲线的离心率范围不同.热点3求轨迹问题1.直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)0.2.待定系数法：已知所求曲线的类型，先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.3.定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.4.相关点法：动点P(x，y)依赖于另一个动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在已知曲线上，则可用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得出要求的轨迹.5.参数法：当动点P(x，y)的坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(
8、参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.1.设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为()A.y24x或y28x By22x或y28xC.y24x或y216x Dy22x或y216x答案C解析由题意知，F，抛物线的准线方程为x，则由抛物线的定义知，xM5，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为22，因为圆过点(0,2)，所以yM4，又因为点M在C上，所以162p，解得p2或p8，所以抛物线C的标准方程为y24x或y216x.故选C.2.过椭圆1的左顶点A1作任意弦A1E并延长至F，使|A1E|EF|，A2为椭圆
9、的右顶点，连接OF与A2E交于点P，则P的轨迹方程为_.答案1(x2)解析设P(x，y)，E(x0，y0)(x06)，因为A1，A2为椭圆的左、右顶点，所以A1(6，0)，A2(6,0)又因为E是A1F的中点，则F坐标为F(2x06,2y0)又O是A1A2的中点，所以P是A1A2F的重心，则即又因为E是椭圆上任意点，所以1，则P的轨迹为1，整理得1(x2).3.已知椭圆1的左、右焦点是F1，F2，A是椭圆上任一点，过焦点F1向F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程为_.答案x2y24解析如图，延长F1D和F2A交于点B，连接OD.因为AD是F1AB的平分线且ADBF1，所以|
10、AF1|AB|，则ODBF2且|OD|BF2|.又因为|AF1|AF2|4，所以|AB|AF2|BF2|4，所以|OD|2，则D的轨迹为以O为圆心，2为半径的圆，其方程为x2y24.(1)求解轨迹问题时，常因考虑不周引起轨迹的增加或减少，从而导致解答错误如第2题，由于A1E为任意弦，所以E与A1不能重合，故有x06的条件，忽略此问题，答案就会多一个点.(2)不画图分析导致解题过程复杂，或无解题思路如第2题通过画图分析发现P是A1A2F的重心，从而得到点坐标之间的关系；第3题，由F1AB的平分线且ADBF1，得到|AF1|AB|，从而利用定义求得轨迹方程.热点4交汇题型解析几何与其他知识相结合，
11、各种题型均有可能出现，要求较高，其中最常见的是与平面向量和不等式结合考查解决此类问题，关键在于能“透过现象看本质”，从而选择相应方法求解.交汇点一与不等式交汇典例1(2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A.16 B14 C12 D10解析因为F为y24x的焦点，所以F(1,0).由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1).由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)
12、，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2| .同理可得|DE|4(1k2).所以|AB|DE|4(1k2)48484216，当且仅当k2，即k1时，取得等号故选A.答案A解析几何与不等式交汇，主要体现在运用不等式的相关知识，解析或证明几何图形的某些特征交汇点集中在利用不等式的解法求参数范围，或构造函数利用均值不等式求最值等问题上.(2019江西南昌一模)抛物线y28x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1x24|AB|，则AFB的最大值为()A. B. C. D.答案D解析因为x1x24|AB|，|AF|BF|x1x24，所以|AF
13、|BF|AB|，在AFB中，由余弦定理得：cosAFB11，又|AF|BF|AB|2，所以|AF|BF|AB|2，则cosAFB11，所以AFB的最大值为.故选D.交汇点二与向量交汇典例2(2019吉林四平质检)经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于()A.3 BC.或3 D解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan45(x1)，即yx1.代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x.所以两个交点坐标为A(0，1)，B，所以(0，1).同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.故选B.答案B平面向量与解析几何的结
14、合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理解决此类问题基本思想：一是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；二是考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(2)20(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A.4 B3 C2 D1答案D解析(2)2()220，PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212，2mn4，mn2，SF1PF2mn1.真题自检感悟1.(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|
15、AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1答案B解析设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点A是椭圆的短轴端点，如图不妨设A(0，b)，由F2(1,0)，2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B.2.(2019全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A.2sin40 B2cos40 C.
16、 D.答案D解析由题意可得tan130，所以e .故选D.3.(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C2 D.答案A解析设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得22a2，故，即e.故选A.4.(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在
17、过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B. C. D.答案D解析依题意易知|PF2|F1F2|2c，且P在第一象限内，由F1F2P120可得P点的坐标为(2c，c)又因为kAP，即，所以a4c，e，故选D.专题作业一、选择题1.(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e .故选A.2.(20
18、19全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO的面积为()A. B. C2 D3答案A解析双曲线1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为yx，不妨设点P在第一象限，由于|PO|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为，即PFO的底边长为，高为，所以它的面积为.故选A.3.(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由题意可得，c3，又a2b2c2，解得a24，b25，则C的方程为1，故选B.4.(2017全国卷)若双曲线C：1(a0，b0
19、)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A.2 B. C. D.答案A解析设双曲线的一条渐近线方程为yx，因为圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为.根据点到直线的距离公式得，解得b23a2.所以C的离心率e 2.5.(2019长沙市高三一模)A是抛物线y22px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的准线方程是()A.x1 By1 Cx2 Dy2答案A解析如图，过A作ABx轴，AC垂直于准线，因为OFA120，|AF|4，所以AFB60，|BF|2，根据抛物线定义知|AC|4且|AC|B
20、F|p，所以p24即p2.即抛物线的准线方程为x1，故选A.6.(2019河北武邑中学调研)已知直线l：yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k等于()A. B. C. D.答案D解析由消去y得k2x2(4k28)x4k20，(4k28)216k40，又k0，解得0k0，x20，由解得x14，x21，代入得k2，0k0，b0)的渐近线方程为yx，则E的离心率为()A.2 B. C2 D2答案C解析由题意，双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即，所以双曲线的离心率为e2，故选C.8.(2019河北衡水中学模拟)已知双曲线1(a0，b
21、0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2y2a2的切线，交双曲线右支于点M，若F1MF245，则双曲线的渐近线方程为()A.yx ByxC.yx Dy2x答案A解析如图，作OAF1M于点A，F2BF1M于点B.因为F1M与圆x2y2a2相切，F1MF245，所以|OA|a，|F2B|BM|2a，|F2M|2a，|F1B|2b.又点M在双曲线上，所以|F1M|F2M|2a2b2a2a.整理，得ba.所以.所以双曲线的渐近线方程为yx.故选A.9.(2019华南师大附中一模)已知双曲线E：1(a0，b0)，点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF
22、|3|FQ|，若|OP|b，则E的离心率为()A. B. C2 D.答案B解析设双曲线的另一个焦点为F1，连接F1P，F1Q，因为P关于原点的对称点为Q，所以F1PFQ是平行四边形，所以|PF1|FQ|.根据双曲线定义知|PF|PF1|2a，又|PF|3|FQ|3|PF1|，所以|PF1|a，|OP|b，|OF1|c，因为c2a2b2，所以OPF190.又因为|PQ|2b，|QF1|3a，|PF1|a，所以(3a)2a2(2b)2，整理得b22a2即c23a2，所以e，故选B.10.(2019湖北八校二模)设F是抛物线x24y的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|FA|FB|FC|的值
23、为()A.3 B6 C9 D12答案B解析因为0，所以F为ABC的重心，设A，B，C三点的纵坐标分别为y1，y2，y3，则yF1，所以y1y2y33.由抛物线定义可知|FA|y11，|FB|y21，|FC|y31，所以|FA|FB|FC|y1y2y336，故选B.11.(2019郑州第三次质量预测)椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()A. B. C. D.答案C解析设椭圆的右焦点为F1，由椭圆定义知FMN的周长为|MN|MF|NF|MN|(2|MF1|)(2|NF1|)4|MN|MF1|NF1|.因为|MF1|NF1|MN|，所以|MN|M
24、F1|NF1|0，当MN过F1时取等号，即直线xm过椭圆的右焦点时，FMN的周长最大，此时|MN|，|FF1|2，所以SFMN2，故选C.12.(2019汕头市一模)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于ac，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(，1)(1，)B.(1,0)(0,1)C.(，)(，)D.(，0)(0，)答案B解析如图，因为ABBD且BFAD，所以|BF|2|AF|DF|.因为A(a,0)，F(c,0)，所以B，则|DF|.又因为D到直线B
25、C的距离即为|DF|，所以ac，即b4a2(ca)(ac)，整理得b4a2b2，所以k21，解得1k0)，即x21(x0)，故P为双曲线x21右支上一点，且A，B分别为该双曲线的左、右焦点，则|PA|PB|2a2，|PA|224.14.(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.答案6解析如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB
26、|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.15.(2019四省联考诊断)在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当0且1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆1(ab0)，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足2，PAB的面积最大值为，PCD面积的最小值为，则椭圆的离心率为_.答案解析依题意A(a,0)，B(a,0)，设P(x，y)，依题意得|PA|2|PB|，即 2 ，两边平方化简得2y22，故椭圆的圆心为，半径r.所以PAB的最大面积为2aa，解得a2，又因
27、PCD的最小面积为2bb，解得b1.故椭圆的离心率为e.16.(2019广东六校联考)已知直线l：ykxt与圆C1：x2(y1)22相交于A，B两点，且C1AB的面积取得最大值，又直线l与抛物线C2：x22y相交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是_.答案(，4)(0，)解析根据题意得到C1AB的面积为r2sin，当角度为直角时面积最大，此时C1AB为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为d1，根据点到直线的距离公式得到11k2(1t)2k2t22t，直线l与抛物线C2：x22y相交于不同的两点M，N，联立直线和抛物线方程得到x22kx2t0，只需要此方程有两个不等根即可，所以4k28t4t216t0，解得t的取值范围为(，4)(0，).
