1、专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分（A卷）一、选择题（每题5分，共50分）1、（2015海南省高考模拟测试题3）若函数的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是（）A. 4B. C. 2 D. 2.（2015河北省唐山市高三第三次模拟考试12）3(2015哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试12)定义在上的单调函数，则方程的解所在区间是（ ）A.B.C. D. 4(2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试10)若函数=的图像关于直线=2对称，则的最大值是（）ABCD5（2015开封市高三数学（理）冲刺模拟考试10）已知函数f（x）=exmx+1的图象为曲线C，
2、若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（ ）AB （，+）C D 6（2015佛山市普通高中高三教学质量检测（二）4）不可能为直线作为切线的曲线是（ ）ABC D7. (2015海淀区高三年级第二学期期末练习7)已知是定义域为的偶函数，当时，.那么函数的极值点的个数是（ ）（A）5（B）4（C）3（D）28(2015丰台区学期统一练习二3）直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）(A) (B) (C) (D) 9（2015合肥市高三第三次教学质量检测10）定义在上的函数满足:且,其中是的导函数,则不等式的解集为（）ABCD10. (2015.怀化市高三第二次模考9) 定义在
3、上的函数满足：，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）ABCD二、非选择题（50分）11. (2015济南市高三教学质量调研考试14)已知正方形ABCD,M是DC的中点，由确定的值，计算定积分_.12. （2015青岛市高三自主诊断试题14）若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；13函数在区间上存在极值点，则实数的取值范围为 14（2015苏锡常镇四市高三数学调研（二模）14）已知a，bR，a0，曲线y=，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间3，4上至少有一个公共点，则a2+b2的最小值为 15.（2015.山师附中第七次模拟11）由所围成的封闭图形的面积为_.1
4、6. （2015山东省实验中学高三第三次诊断考试20.）（本题满分12分）已知函数.（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间上不是单调函数，求实数t的取值范围；（III）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.17. （2015扬州中学第二学期开学检测20）（本小题满分13分）已知函数，（1）记,求在的最大值；（2）记，令，当时，若函数的3个极值点为，（）求证：；（）讨论函数的单调区间（用表示单调区间）专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分（A卷）答案与解析1.【答案】D【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义，直线与圆的位置关系，基本不等式【解析】由于f（x）=eax，故k=f（
5、0）=，又f（0）=，则对应的切线方程为y+=x，即ax+by+1=0，而切线与圆x2+y2=1相切，则有d=r=1，即a2+b2=1，故有a+b=，当且仅当a=b=时等号成立2.【答案】C 【命题立意】本题重点考查图象的对称性，利用导数研究函数的单调性，难度较大.【解析】由题意知，将代入其方程，其表达式不变，所以曲线关于原点和直线以及轴对称，所以正确，错误，根据对称性，因为曲线与两坐标轴交点处的四条线段长为，而曲线是两坐标轴交点处弧长，所以，故正确，曲线到原点的距离的平方为，由，得，所以，设则，当时，当时，所以当时，得.3.【答案】C【命题立意】本题旨在考查导数，函数零点存在性定理。【解析】
6、根据题意，对任意的 ，都有 ，又由f（x）是定义在上的单调函数，则为定值，设 ，则 ，又由f（t）=3，即log 2 t+t=3，解可得，t=2；则 ， 。因为 ，所以即 ，令 ，因为 ， ，所以 的零点在区间 ，即方程 的解所在的区间是 。4.【答案】D【命题立意】本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出a，b的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强，难度较大.【解析】f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，f（1）=f（3），f（-1）=f（5），即，解得a=-8，b=15，即f（x）=（1-x2）（x2-8x+15）=-x4+8x3-1
7、4x2-8x+15，则f（x）=-4x3+24x2-28x-8=-4（x-2）（x2-4x-1），由f（x）=0，解得x=2或x=2+或x=2-，由f（x）0，解得2x2+或x2-，此时函数单调递增，由f（x）0，解得2-x2或x2+，此时函数单调递减，作出对应的函数图象如图：则当x=2+或2+时，函数f（x）取得极大值同时也是最大值，f（2+）=16.5.【答案】B【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义，导数及其应用【解析】由题可得f（x）=exm，由于曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则exm=有解，即m=ex+，而ex0，故m6.【答案】B【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义以及导数
8、的计算【解析】对于B选项：的最大值为1，所以不存在斜率为的切线故选:B7.【答案】C【命题立意】本题考查了函数的奇偶性及利用导数判断函数的单调性.【解析】当时，解，得.因为时，；时，；时，.则在区间上单调递减，在区间上单调递增.又因为是定义域为的偶函数，由其对称性可得，在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以函数在出取得极值.8.【答案】C【命题立意】考查用定积分求面积，考查转化能力，容易题【解析】因为的解为或，所以封闭图形的面积为9.【答案】A【命题立意】本题重点考查对数的运算法则以及利用导数研究函数的单调性，难度较大【解析】因为，所以，即，设，则，因为，所以，在上为单调递增函数，又因为，所
9、以10.【答案】A【命题立意】本题旨在考查函数与导数的关系，不等式的解法【解析】设g（x）=exf（x）-ex，（xR），则g（x）=exf（x）+exf（x）-ex=exf（x）+f（x）-1，f（x）1-f（x），f（x）+f（x）-10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+5，g（x）5，又g（0）=e0f（0）-e0=6-1=5，g（x）g（0），x0，不等式的解集为（0，+）,故选：A 11.【答案】【命题立意】本题旨在考查平面向量的基本运算，定积分的运算【解析】如图，=,12.【答案】【命题立意】本题考查了正弦型函数的图象、定积分的几何意义及曲边梯形的面积
10、.【解析】由图象可知，图中其与轴的交点横坐标为，所以图中的阴影部分的面积为.【易错警示】用定积分计算平面区域的面积，确定被积函数是解决问题的关键.通常，先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限.被积函数一般转化为上方函数与下方函数的差.13.【答案】；【命题立意】本题考查函数的极值，方法是借助函数的导数求出函数的极值点判断出函数的单调区间. 【解析】函数的导数为，令，则或，当时单调递减，当和时单调递增和是函数的极值点，因为函数在区间上存在极值点，所以或或.14.【答案】【命题立意】本题旨在考查点到直线的距离公式、基本不等式、函数的单调性【解析】由=ax+2b+1，整理可
11、得ax2+（2b+1）xa2=0，那么两条曲线在区间3，4上至少有一个公共点可转化为方程ax2+（2b+1）xa2=0在区间3，4上至少有一个实根，进而把等式看成关于a、b的直线方程：（x21）a+2xb+x2=0，而直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即=，那么只要求f（x）=，x3，4时的最小值即可，令u=x2，则u1，2，那么f（u）=，又g（u）=u+1，2上为增函数，则u=1时，即x=3时，f（x）取得最小值，此时a2+b2的最小值为15.【答案】【命题立意】本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义.【解析】由函数图象知，由所围成的封闭图形的面积为=.16.【答
12、案】(I)在上单调递增，在上单调递减（II）（III） 【命题立意】本题考查了利用导数判断函数的单调性、最值，函数恒成立问题.【解析】（1），解，得；解，得；所以在上单调递增，在上单调递减（2）因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得（3）不等式恒成立，即恒成立，令，则令，则，在上单调递增，,从而，所以在上单调递增,且，所以.17.【答案】(1) 当时， 当时， ；（2）略；函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【命题立意】本题考查的是利用导数求函数的最值，证明不等式以及求函数的单调区间.【解析】（1）（） 2分令，得， 3分列表如下：0递减极小值递增 易知而所以当时， 当时， 5分（2）（）， 令，又在上单调减，在上单调增，所以因为函数有3个极值点，所以所以 7分所以当时，从而函数的3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于19分又，所以，即，故 11分（）当时，则，故函数单调减；当时，则，故函数单调增；当时，则，故函数单调减；当时，则，故函数单调减；当时，则，故函数单调增；综上，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.16分（列表说明也可）
