1、9.2.3 向量的数量积第1课时 向量的数量积(1)基础认知自主学习1向量的数量积条件两个_向量a与b,它们的夹角是结论把数量_叫作向量a和b的数量积(或内积)记法记作ab,即ab_规定零向量与任一向量的数量积为_|a|b|cos|a|b|cos 0非零2.投影与投影向量(1)变换:变换图示设 a,b 是两个非零向量,AB a,CDb,过AB的起点 A 和终点 B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为 A1,B1,得到11A B(2)结论:称上述变换为向量a向向量b投影,_叫作向量a在向量b上的投影向量(3)计算:设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为,则向量a在向量b上的投影向量为_1
2、1A B|a|cose3向量数量积的性质(1)条件:设a,b是非零向量,它们的夹角是,e是与b方向相同的单位向量(2)性质:aeea_ab_当a与b同向时,ab_;当a与b反向时,ab_特别地,aa_或_|ab|_.a a|a|cos ab0|a|b|a|b|a|2|a|a|b|4向量数量积的运算律(1)ab_(2)(a)b(ab)_(3)(ab)c_baa(b)acbc1若 ab0,则 a 与 b 的夹角 的取值范围是()A0,2 B2,C2,D2,【解析】选 A.因为 ab0,所以 cos 0.又 0,所以 02.2已知正方形 ABCD 的边长为 2,则AB(AC AD)()A2 2 B3
3、 C4 D3 3【解析】选 C.因为四边形 ABCD 为正方形,所以AB AC ADAB AC AB AD|AB|AC|cos 4522 2 224.3已知向量 a,b 满足 ab,|a|1,|b|1,则|a2b|_.【解析】因为 ab,所以 ab0,所以|a2b|2a24ab4b25,所以|a2b|5.答案:54已知向量 a,b 满足(a2b)(ab)6,且|a|1,|b|2,则 a 与 b 的夹角为_【解析】设 a 与 b 的夹角为,依题意有(a2b)(ab)a2ab2b272cos 6,所以 cos 12,因为 0,故 3.答案:35已知|a 3,e 为单位向量,当向量 a,e 的夹角
4、分别等于 60,90,120时,求向量 a 在向量 e 上的投影向量【解析】当 60时,向量 a 在向量 e 上的投影向量为|a cos e3cos 60e32 e.当 90时,向量 a 在向量 e 上的投影向量为|a cos e 3cos 90e0.当 120时,向量 a 在向量 e 上的投影向量为|a cos e 3cos 120e32 e.学情诊断课时测评一、单选题1已知单位向量 a,b 满足|b2a|3,则 ab()A12 B2 C12 D2【解析】选 C.因为|a|b|1,|b2a|3,两边同时平方得,b24a24ab3,故 ab12.2已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60
5、,那么|3ab|()A 7 B 10 C 13 D13【解析】选 C.根据题意,a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60,则 ab12,则|3ab|9a26abb2 13.3若向量 a,b 满足|a|2,(a2b)a6,则 b 在 a 方向上的投影为()A1 B12 C12 D1【解析】选 B.因为|a|2,所以(a2b)aa22ab42ab6,所以 ab1,所以 b 在 a 方向上的投影为ab|a12.4等边三角形 ABC 中,AB 与BC 的夹角为()A60 B60 C120 D150【解析】选 C.延长 AB 到 D,则CBD 为AB 与BC 的夹角,所以AB 与BC 的夹角为 120.
6、5对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是()A(ab)2|ab|2B(ab)(ab)a2b2C|ab|a|b|D|ab|a|b|【解析】选 D.因为 a2|a|2,所以(ab)2|ab|2 正确,所以 A 正确不符合题意;(ab)(ab)a2b2,满足向量的运算法则,所以 B 正确不符合题意;|ab|a|b|cos a,b|a|b|,所以 C 正确不符合题意;如果两个向量是相反向量,|ab|a|b|不正确,所以 D 不正确,符合题意6已知 m0,向量 a(m,n),b(2,m),若|ab|ab|,则实数 n()A 2 B 2 C2 D2【解析】选 D.因为|ab|ab|,所以(ab)2(
7、ab)2,化简得 ab0,所以2mmn0,因为 m0,所以 n2.二、填空题7设 e1,e2 为单位向量,且 e1,e2 的夹角为3,若 ae13e2,b2e1,记向量 a在向量 b 上的投影向量为 xe1ye2,则 x_,y_【解析】由投影向量的定义可知:向量 a 在向量 b 上的投影向量与向量 b 共线,故 y0,又 ab(e13e2)2e12e126e1e22612 5,故 x|a|cos a,bab|b|51252.答案:52 08四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且 OB2OD,AC2,过点D 作 DEAC,垂足为 E,若DE DB 6,则四边形 ABCD
8、 的面积为_【解析】因为 OB2OD,所以DB 3DO,则DE DB DE 3DO 6,所以DE DO 2,又因为 DEAC,所以|DE|22,得|DE|2,所以 SDAC12 ACDE12 2 2 2,又 SBAC2SDAC2 2,所以四边形 ABCD 的面积为 2 2 2 3 2.答案:3 29在等腰直角ABC 中,C90,AB 2,则AB AC _;AB BC _【解析】由题意知 ACBC1,AB AC|AB|AC|cos 45 2 1 221;AB BC|AB|BC|cos 135 2 1 221.答案:1 110.如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1,记AB a,从点 A,B,
9、C,D,E,F 这六点中任取两点为向量 b 的起点和终点,则 ab 的最大值为_【解析】可看出从点 A,B,C,D,E,F 这六点中任取两点为向量 b 的起点和终点构成的 b 中,cos FC,AB 1 最大,且|FC|2,所以 ab 的最大值为AB FC2.答案:2三、解答题11已知ABC 中,AB a,AC b,当 ab 满足下列哪个条件时,能确定ABC的形状?如能确定,指出三角形的形状,如不能确定,请说明理由ab0;ab0;ab0.【解析】因为 ab|a|b|cos BAC,ab0,可得 cos BAC0,所以BAC90,ABC 的形状能确定,是钝角三角形;ab0,可得 cos BAC0
10、,所以BAC90,ABC 的形状能确定,是直角三角形;ab0,可得 cos BAC0,所以BAC90,但不能确定ABC 的形状12如图所示,已知各单元格都是边长为 1 的正方形,求出以下向量的数量积(1)ba;(2)ca;(3)da.【解析】(1)由题图可知|a|1,|b|2,b,a4,所以 ba|b|a|cos 4 2 1 221.(2)由题图可知,ca0.(3)由题图可知,向量 d 在向量 a 上的投影的数量为1,且 a 为单位向量,因此根据向量数量积的几何意义可知 da1.一、选择题1已知向量 a,b 满足|a|3,|b|2 3,ab3,则 a 与 b 的夹角是()A150 B120 C
11、60 D30【解析】选 B.设 a 与 b 的夹角为,则 cos ab|a|b|332 3 12,因为 0180,所以 120.2已知等边ABC 的边长为 2,则向量AB 在向量CA 方向上的投影向量为()A12 CAB12 CAC2ACD2CA【解析】选 A.在等边ABC 中,因为A60,所以向量AB 在向量AC 方向上的投影向量为12 AC,所以向量AB 在向量CA 方向上的投影向量为12 CA.3若向量 a,b,c 均为单位向量,且 ab,则|abc|的最小值为()A 2 1 B1 C 2 1 D 2【解析】选 A.因为 a,b,c 均为单位向量,且 ab,所以 ab0,所以|ab|(a
12、b)2 a2b22ab 2,所以|abc|ab|c|2 1.4(多选)设 a,b,c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则有()A(ab)c(ca)b0B|a|b|ab|C(bc)a(ca)b 不与 c 垂直D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2【解析】选BD.abR,caR.而a,b,c是非零向量且互不共线,故cb0,A 错;因为|a|b|ab|,B 对;因为(bc)a(ca)bc0,故应为垂直,C 错;根据数量积运算律可判定,D 对二、填空题5如图,在ABC 中,AC,AB 的夹角与CA,AB 的夹角的关系为_【解析】根据向量夹角定义可知向量AB,AC 夹角为BAC,而向量CA,
13、AB 夹角为 BAC,故二者互补答案:互补6已知|a|3,|b|5,且 a 与 b 的夹角 为 45,则向量 a 在向量 b 上的投影向量为_【解析】由已知得向量 a 在向量 b 上的投影向量为(|a|cos)b|b|3 22b5 3 210b.答案:3102 b7已知ABC 中,AB4,BC2,AB BC 4,则向量BC 与CA 的夹角为_,向量AB 与CA 的夹角为_【解析】在ABC 中,因为 AB4,BC2,AB BC 4,设AB,BC 夹角为,所以|AB|BC|cos 4,得 42cos(B)4,所以 cos B12,得 B60.如图,延长 BC 到 D,使 CDBC,则ABD 为等边
14、三角形,所以 ACBC,BAC30,所以向量BC 与CA 的夹角为 90,AB 与CA 的夹角为 150.答案:90 1508如图,AB 是圆 C 的弦,设AB a,AC b,则向量AC 在向量AB 上的投影向量为_(用 a 或 b 表示).【解析】如图所示,过点 C 作 CDAB,垂足为 D,连接 CB,则向量AC 在向量AB上的投影向量为AD.因为 CACB,所以 D 是 AB 的中点,所以AD 12 AB a2.答案:a2三、解答题9已知|a|2|b|2,且向量 a 在向量 b 方向上的投影数量为1.(1)求 a 与 b 的夹角;(2)求(a2b)b;(3)当 为何值时,向量 ab 与向
15、量 a3b 互相垂直?【解析】(1)因为|a|2|b|2,所以|a|2,|b|1.又 a 在 b 方向上的投影数量为|a|cos 1,所以 ab|a|b|cos 1,所以 cos 12,所以 23.(2)(a2b)bab2b2123.(3)因为 ab 与 a3b 互相垂直,所以(ab)(a3b)a23abba3b20,所以 4313740,所以 47.10已知向量 a,b 满足|a|b|1,且|kab|3|akb|(kR),(1)求 ab 关于 k 的解析式 f(k);(2)若 ab 且方向相同,试求 k 的值【解析】(1)因为|a|b|1,且|kab|3|akb|(kR),两边同时平方可得:k2|a22kab|b23|a 22kabk2|b 2,所以 k22kab136kab3k2,8kab2k22,所以 ab2k228k14(k1k),kR,所以 f(k)2k228k14(k1k),kR.(2)因为 ab 且方向相同,|a|b|,所以将 ab 代入 ab14(k1k),可得14 k1k1,解得 k2 3.