1、9.2.3 向量的数量积第1课时 向量的数量积(1)基础认知自主学习1向量的数量积条件两个_向量a与b，它们的夹角是结论把数量_叫作向量a和b的数量积(或内积)记法记作ab，即ab_规定零向量与任一向量的数量积为_|a|b|cos|a|b|cos 0非零2.投影与投影向量(1)变换：变换图示设 a，b 是两个非零向量，AB a，CDb，过AB的起点 A 和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到11A B(2)结论：称上述变换为向量a向向量b投影，_叫作向量a在向量b上的投影向量(3)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，则向量a在向量b上的投影向量为_1
2、1A B|a|cose3向量数量积的性质(1)条件：设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量(2)性质：aeea_ab_当a与b同向时，ab_；当a与b反向时，ab_特别地，aa_或_|ab|_.a a|a|cos ab0|a|b|a|b|a|2|a|a|b|4向量数量积的运算律(1)ab_(2)(a)b(ab)_(3)(ab)c_baa(b)acbc1若 ab0，则 a 与 b 的夹角 的取值范围是()A0，2 B2，C2，D2，【解析】选 A.因为 ab0，所以 cos 0.又 0，所以 02.2已知正方形 ABCD 的边长为 2，则AB(AC AD)()A2 2 B3
3、 C4 D3 3【解析】选 C.因为四边形 ABCD 为正方形，所以AB AC ADAB AC AB AD|AB|AC|cos 4522 2 224.3已知向量 a，b 满足 ab，|a|1，|b|1，则|a2b|_.【解析】因为 ab，所以 ab0，所以|a2b|2a24ab4b25，所以|a2b|5.答案：54已知向量 a，b 满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则 a 与 b 的夹角为_【解析】设 a 与 b 的夹角为，依题意有(a2b)(ab)a2ab2b272cos 6，所以 cos 12，因为 0，故 3.答案：35已知|a 3，e 为单位向量，当向量 a，e 的夹角
4、分别等于 60，90，120时，求向量 a 在向量 e 上的投影向量【解析】当 60时，向量 a 在向量 e 上的投影向量为|a cos e3cos 60e32 e.当 90时，向量 a 在向量 e 上的投影向量为|a cos e 3cos 90e0.当 120时，向量 a 在向量 e 上的投影向量为|a cos e 3cos 120e32 e.学情诊断课时测评一、单选题1已知单位向量 a，b 满足|b2a|3，则 ab()A12 B2 C12 D2【解析】选 C.因为|a|b|1，|b2a|3，两边同时平方得，b24a24ab3，故 ab12.2已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60
5、，那么|3ab|()A 7 B 10 C 13 D13【解析】选 C.根据题意，a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60，则 ab12，则|3ab|9a26abb2 13.3若向量 a，b 满足|a|2，(a2b)a6，则 b 在 a 方向上的投影为()A1 B12 C12 D1【解析】选 B.因为|a|2，所以(a2b)aa22ab42ab6，所以 ab1，所以 b 在 a 方向上的投影为ab|a12.4等边三角形 ABC 中，AB 与BC 的夹角为()A60 B60 C120 D150【解析】选 C.延长 AB 到 D，则CBD 为AB 与BC 的夹角，所以AB 与BC 的夹角为 120.
6、5对任意向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是()A(ab)2|ab|2B(ab)(ab)a2b2C|ab|a|b|D|ab|a|b|【解析】选 D.因为 a2|a|2，所以(ab)2|ab|2 正确，所以 A 正确不符合题意；(ab)(ab)a2b2，满足向量的运算法则，所以 B 正确不符合题意；|ab|a|b|cos a，b|a|b|，所以 C 正确不符合题意；如果两个向量是相反向量，|ab|a|b|不正确，所以 D 不正确，符合题意6已知 m0，向量 a(m，n)，b(2，m)，若|ab|ab|，则实数 n()A 2 B 2 C2 D2【解析】选 D.因为|ab|ab|，所以(ab)2(
7、ab)2，化简得 ab0，所以2mmn0，因为 m0，所以 n2.二、填空题7设 e1，e2 为单位向量，且 e1，e2 的夹角为3，若 ae13e2，b2e1，记向量 a在向量 b 上的投影向量为 xe1ye2，则 x_，y_【解析】由投影向量的定义可知：向量 a 在向量 b 上的投影向量与向量 b 共线，故 y0，又 ab(e13e2)2e12e126e1e22612 5，故 x|a|cos a，bab|b|51252.答案：52 08四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 OB2OD，AC2，过点D 作 DEAC，垂足为 E，若DE DB 6，则四边形 ABCD
8、 的面积为_【解析】因为 OB2OD，所以DB 3DO，则DE DB DE 3DO 6，所以DE DO 2，又因为 DEAC，所以|DE|22，得|DE|2，所以 SDAC12 ACDE12 2 2 2，又 SBAC2SDAC2 2，所以四边形 ABCD 的面积为 2 2 2 3 2.答案：3 29在等腰直角ABC 中，C90，AB 2，则AB AC _；AB BC _【解析】由题意知 ACBC1，AB AC|AB|AC|cos 45 2 1 221；AB BC|AB|BC|cos 135 2 1 221.答案：1 110.如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 1，记AB a，从点 A，B，
9、C，D，E，F 这六点中任取两点为向量 b 的起点和终点，则 ab 的最大值为_【解析】可看出从点 A，B，C，D，E，F 这六点中任取两点为向量 b 的起点和终点构成的 b 中，cos FC，AB 1 最大，且|FC|2，所以 ab 的最大值为AB FC2.答案：2三、解答题11已知ABC 中，AB a，AC b，当 ab 满足下列哪个条件时，能确定ABC的形状？如能确定，指出三角形的形状，如不能确定，请说明理由ab0；ab0；ab0.【解析】因为 ab|a|b|cos BAC，ab0，可得 cos BAC0，所以BAC90，ABC 的形状能确定，是钝角三角形；ab0，可得 cos BAC0
10、，所以BAC90，ABC 的形状能确定，是直角三角形；ab0，可得 cos BAC0，所以BAC90，但不能确定ABC 的形状12如图所示，已知各单元格都是边长为 1 的正方形，求出以下向量的数量积(1)ba；(2)ca；(3)da.【解析】(1)由题图可知|a|1，|b|2，b，a4，所以 ba|b|a|cos 4 2 1 221.(2)由题图可知，ca0.(3)由题图可知，向量 d 在向量 a 上的投影的数量为1，且 a 为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知 da1.一、选择题1已知向量 a，b 满足|a|3，|b|2 3，ab3，则 a 与 b 的夹角是()A150 B120 C
11、60 D30【解析】选 B.设 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|332 3 12，因为 0180，所以 120.2已知等边ABC 的边长为 2，则向量AB 在向量CA 方向上的投影向量为()A12 CAB12 CAC2ACD2CA【解析】选 A.在等边ABC 中，因为A60，所以向量AB 在向量AC 方向上的投影向量为12 AC，所以向量AB 在向量CA 方向上的投影向量为12 CA.3若向量 a，b，c 均为单位向量，且 ab，则|abc|的最小值为()A 2 1 B1 C 2 1 D 2【解析】选 A.因为 a，b，c 均为单位向量，且 ab，所以 ab0，所以|ab|（a
12、b）2 a2b22ab 2，所以|abc|ab|c|2 1.4(多选)设 a，b，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则有()A(ab)c(ca)b0B|a|b|ab|C(bc)a(ca)b 不与 c 垂直D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2【解析】选BD.abR，caR.而a，b，c是非零向量且互不共线，故cb0，A 错；因为|a|b|ab|，B 对；因为(bc)a(ca)bc0，故应为垂直，C 错；根据数量积运算律可判定，D 对二、填空题5如图，在ABC 中，AC，AB 的夹角与CA，AB 的夹角的关系为_【解析】根据向量夹角定义可知向量AB，AC 夹角为BAC，而向量CA，
13、AB 夹角为 BAC，故二者互补答案：互补6已知|a|3，|b|5，且 a 与 b 的夹角 为 45，则向量 a 在向量 b 上的投影向量为_【解析】由已知得向量 a 在向量 b 上的投影向量为(|a|cos)b|b|3 22b5 3 210b.答案：3102 b7已知ABC 中，AB4，BC2，AB BC 4，则向量BC 与CA 的夹角为_，向量AB 与CA 的夹角为_【解析】在ABC 中，因为 AB4，BC2，AB BC 4，设AB，BC 夹角为，所以|AB|BC|cos 4，得 42cos(B)4，所以 cos B12，得 B60.如图，延长 BC 到 D，使 CDBC，则ABD 为等边
14、三角形，所以 ACBC，BAC30，所以向量BC 与CA 的夹角为 90，AB 与CA 的夹角为 150.答案：90 1508如图，AB 是圆 C 的弦，设AB a，AC b，则向量AC 在向量AB 上的投影向量为_(用 a 或 b 表示).【解析】如图所示，过点 C 作 CDAB，垂足为 D，连接 CB，则向量AC 在向量AB上的投影向量为AD.因为 CACB，所以 D 是 AB 的中点，所以AD 12 AB a2.答案：a2三、解答题9已知|a|2|b|2，且向量 a 在向量 b 方向上的投影数量为1.(1)求 a 与 b 的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当 为何值时，向量 ab 与向
15、量 a3b 互相垂直？【解析】(1)因为|a|2|b|2，所以|a|2，|b|1.又 a 在 b 方向上的投影数量为|a|cos 1，所以 ab|a|b|cos 1，所以 cos 12，所以 23.(2)(a2b)bab2b2123.(3)因为 ab 与 a3b 互相垂直，所以(ab)(a3b)a23abba3b20，所以 4313740，所以 47.10已知向量 a，b 满足|a|b|1，且|kab|3|akb|(kR)，(1)求 ab 关于 k 的解析式 f(k)；(2)若 ab 且方向相同，试求 k 的值【解析】(1)因为|a|b|1，且|kab|3|akb|(kR)，两边同时平方可得：k2|a22kab|b23|a 22kabk2|b 2，所以 k22kab136kab3k2，8kab2k22，所以 ab2k228k14(k1k)，kR，所以 f(k)2k228k14(k1k)，kR.(2)因为 ab 且方向相同，|a|b|，所以将 ab 代入 ab14(k1k)，可得14 k1k1，解得 k2 3.