1、第6讲三角函数的图象与性质考情分析高考对三角函数的图象的考查有：利用“五点法”作出图象、图象变换、由三角函数的图象研究三角函数的性质、由三角函数的部分图象确定解析式等三角函数的性质是高考的一个重要考点，它既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题，常通过三角变换将其转化为yAsin(x)的形式，再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)热点题型分析热点1三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系1.利用三角函数的定义时应注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关2.应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限的符号，利用同角三角函数的关系化简时要遵循一定的原则，如切
2、化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等3.已知tan的值，求关于sin与cos的齐n次分式的值：分子、分母同除以cosn，转化为关于tan的式子求解1.若tan，则cos22sin2等于()A. B. C1 D.答案A解析tan，则cos22sin2.2.(2017北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sin，则cos()_.答案解析由题意知2k(kZ)，2k(kZ)，sinsin，coscos.又sin，cos()coscossinsincos2sin22sin2121.第1题中易忽略sin2cos21的应用，想不到将所求式子的分母看作“1”，利用代
3、换后转化为“切”，然后求解第2题易错点有二：一是不能把角与角的终边关于y轴对称正确转化出角与角的关系；二是由2k(kZ)不能利用诱导公式正确得出角与角的正余弦之间的关系.热点2三角函数的图象与解析式1.已知函数yAsin(x)(A0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找到第一个零点的位置2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换周期变换只是相对于自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向题型1三角函数的
4、图象与变换(2017全国卷)已知曲线C1：ycosx，C2：ysin，则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2答案D解析解法一：因为C2：ysincoscos，把C1：ycosx图象上各点的横坐标变为原来的，得到ycos2x，
5、再把ycos2x图象上各点的横坐标向左平移个单位得到C2.故选D.解法二：因为C2：ysincoscos，把C1：ycosx图象上各点的横坐标向左平移个单位得到ycos，再把ycos图象上各点的横坐标变为原来的得到C2.故选D.变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数如本题易错点有二：一是不改变函数名直接伸缩，平移而出错；二是解法一中先伸缩后平移的改变量出错.题型2利用三角函数图象求解析式已知函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数yg(x)的图象重合，则()A.g(x)2sin Bg(x)2sinC.g
6、(x)2sin2x Dg(x)2sin答案A解析根据函数f(x)2sin(x)的部分图象，可得T，2，利用f0，可得20，故f(x)2sin，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数yg(x)的图象重合，故g(x)2sin2sin，故选A.本题易错点有二：一是不能由图象得出T的值，从而不能正确得出；二是判断不准零点x对应的是x0还是x，从而影响的正确得出一般地，利用零点时，图象上升时与x轴的交点：x0；图象下降时与x轴的交点：x.如果求出的值不在指定范围内，可以通过加减的整数倍达到目的.热点3三角函数的性质(高频考点)求解函数yAsin(x)的性质问题的三种意识：(1)转化意识
7、：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)Asin(x)的形式(2)整体意识：类比ysinx的性质，只需将yAsin(x)中的“x”看成ysinx中的x，采用整体代换求解令xk(kZ)，可求得对称轴方程；令xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标；将x看作整体，可求得yAsin(x)的单调区间，注意的符号(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A0，A0)若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为_答案解析f(x)f对任意的实数x都成立，fcos1得2k(kZ)，8k(kZ)，0，的最小值为.2.(2017全国卷)函数f(x)sin2xcosx的最大值是_答案1解析f(x)1cos2x
8、cosx21.x，cosx0,1，当cosx时，f(x)取得最大值，最大值为1.第2题易错点有二：一是变换的目标不明确，不能化为“一角一函数”的形式进而求解；二是换元之后忽略新元定义域而导致出错.题型2三角函数的单调性(2019汕头一模)函数f(x)sin(x)在区间内是增函数，则()A.f1 Bf(x)的周期为C.的最大值为4 Df0答案C解析解法一：由题知，又T，即，4，C正确故选C.解法二：当1，0时，函数f(x)sin(x)sinx在区间上单调递增，此时f1，排除A；f(x)的最小正周期为2，排除B；f0，排除D.故选C.本题对yAsin(x)的单调区间求法不熟易导致无从下手.题型3三
9、角函数的奇偶性、周期性、对称性(2019青岛模拟)若函数f(x)sin的图象向左平移个单位后，得到yg(x)的图象，则下列说法错误的是()A.yg(x)的最小正周期为B.yg(x)的图象关于直线x对称C.yg(x)在上单调递增D.yg(x)的图象关于点答案C解析把函数f(x)sin的图象向左平移个单位后，得到yg(x)sin的图象，故g(x)的最小正周期为T，故A正确；令x可得g(x)1，为最大值，故yg(x)的图象关于直线x对称，故B正确；在上2x，故yg(x)在上没有单调性，故C错误；由x，可得g(x)0，故yg(x)的图象关于点对称，故D正确故选C.本题易错点有两个：一是平移规则不熟悉而
10、导致g(x)解析式错求为g(x)sin2x；二是不会利用yAsin(x)性质的整体代换意识解决此类问题.真题自检感悟1.(2019全国卷)已知，2sin2cos21，则sin()A. B. C. D.答案B解析由2sin2cos21，得4sincos2cos2.又，tan，sin.故选B.2.(2018全国卷)若f(x)cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D答案A解析f(x)cosxsinxcos，由2kx2k(kZ)得2kx2k(kZ)，a，a，aa，a，a，0a，从而a的最大值为，故选A.3.(2017全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()A
11、.f(x)的一个周期为2B.yf(x)的图象关于直线x对称C.f(x)的一个零点为xD.f(x)在单调递减答案D解析A项，因为f(x)cos的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确B项，因为f(x)cos图象的对称轴为直线xk(kZ)，所以yf(x)的图象关于直线x对称，B项正确C项，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，当k1时，x，所以f(x)的一个零点为x，C项正确D项，因为f(x)cos的递减区间为(kZ)，递增区间为(kZ)，所以是减区间，是增区间，D项错误故选D.4.(2018江苏高考)已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，则的值是_答案解析由题意可得s
12、in1，所以k，k(kZ)，因为0)两个相邻的极值点，则()A.2 B. C1 D.答案A解析由题意及函数ysinx的图象与性质可知，T，T，2.故选A.5.(2019全国卷)函数f(x)2sinxsin2x在0,2的零点个数为()A.2 B3 C4 D5答案B解析令f(x)0，得2sinxsin2x0，即2sinx2sinxcosx0，2sinx(1cosx)0，sinx0或cosx1.又x0,2，由sinx0得x0，或2，由cosx1得x0或2.故函数f(x)的零点为0，2，共3个故选B.6.(2019衡水联考)将函数f(x)2sin的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍
13、，得到函数yg(x)的图象，则下列关于函数yg(x)的说法错误的是()A.最小正周期为B.图象关于直线x对称C.图象关于点对称D.初相为答案C解析易求得g(x)2sin，其最小正周期为，初相为，即A，D正确，而g2sin2.故函数yg(x)的图象关于直线x对称，即B正确，C错误故选C.7.(2019天津高考)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，将yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)若g(x)的最小正周期为2，且g，则f()A.2 B C. D2答案C解析因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)Asin0，所
14、以sin0.又|，所以0.由题意得g(x)Asin，且g(x)最小正周期为2，所以1，即2.所以g(x)Asinx，所以gAsinA，所以A2.所以f(x)2sin2x，所以f.故选C.8.(2017天津高考)设函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，|.若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，则()A.， B，C.， D，答案A解析f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期为43，f(x)2sin.2sin2，得2k，kZ.又|，取k0，得.故选A.9.(2019长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图象的对称中心
15、为()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)答案C解析T2，2，因此f(x)sin(2x)由五点作图法知A是第二点，得2，22k(kZ)，2k(kZ)，又|0)，已知f(x)在0,2有且仅有5个零点，下述四个结论：f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点；f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点；f(x)在单调递增；的取值范围是.其中所有正确结论的编号是()A. B C. D答案D解析已知f(x)sin(0)在0,2有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在a，b)上，此时f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0,2)可能有2或3个极小值点，所以正确，不正
16、确；当x0,2时，x，由f(x)在0,2有且仅有5个零点可得526，得的取值范围是，所以正确；当x时，x，所以f(x)在单调递增，所以正确故选D.二、填空题11.已知sincos，且0，则sin_，cos_.答案解析由诱导公式得sincoscos(sin)，即sincos.又00)的图象向左平移个单位，所得的部分函数图象如图所示，则的值为_答案解析由题图知，T2，2，f(x)2cos2x，f(x)2cos(2x2)，则由图象知，f2cos2.22k(kZ)，则k(kZ)又0，所以.13.(2019枣庄模拟)已知f(x)sinxcosx，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属
17、于区间(，2)，则的取值范围是_(结果用区间表示)答案解析f(x)sinxcosxsin，函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(，2)，则2，1，1.令xk(kZ)，解得x(kZ)且2(kZ)，k且(kZ)，k0.此时，且.综上，.14.(2019广东省际名校联考)将函数f(x)12cos2x(sinxcosx)2的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，若x，则函数g(x)的单调递增区间是_答案解析f(x)12cos2x(sinxcosx)2sin2xcos2x2sin，g(x)2sin2sin，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，x，函数g(x)在上的单调递增区间是.
