1、层级二 专题四 第2讲限时50分钟满分60分解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分)1.(2020泉州模拟)如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA16，且A1A底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上，BQ4.(1)若DPDD1，证明：PQ平面ABB1A1.(2)若P是D1D的中点，证明：AB1平面PBC.证明：(1)在AA1上取一点N，使得ANAA1，因为DPDD1，且A1D13，AD6，所以PNAD，又BQAD，所以PNBQ.所以四边形BQPN为平行四边形，所以PQBN.因为BN平面ABB1A1，PQ平面ABB1A1，所以PQ平面A
2、BB1A1.(2)如图所示，取A1A的中点M，连接PM，BM，PC，因为A1A，D1D是梯形的两腰，P是D1D的中点，所以PMAD，于是由ADBC知，PMBC，所以P，M，B，C四点共面由题设可知，BCAB，BCA1A，ABAA1A，所以BC平面ABB1A1，所以BCAB1，因为tanABMtanA1AB1，所以ABMA1AB1，所以ABMBAB1A1AB1BAB190，所以AB1BM，再BCBMB，知AB1平面PBC.2(2019烟台三模)如图(1)，在正ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BEAF2CF.点P为边BC上的点，将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使平面A1EF平面BE
3、FC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示(1)求证：A1EFP；(2)若BPBE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由(1)证明：在正ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示因为BEAF2CF，所以AFAD，AEDE，而A60，所以ADF为正三角形又AEDE，所以EFAD.所以在题图(2)中，A1EEF，又A1E平面A1EF，平面A1EF平面BEFC，且平面A1EF平面BEFCEF，所以A1E平面BEFC.因为FP平面BEFC，所以A1EFP.(2)解：在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平
4、行理由如下：如题图(1)，在正ABC中，因为BPBE，BEAF，所以BPAF，所以FPAB，所以FPBE.如图所示，取A1P的中点M，连接MK，因为点K为棱A1F的中点，所以MKFP.因为FPBE，所以MKBE.因为MK平面A1BE，BE平面A1BE，所以MK平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行3.如图所示，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为弧AC的中点梯形ACDE中，DEAC，且AC2DE，平面ACDE平面ABC.求证：(1)平面ABE平面ACDE；(2)平面OFD平面ABE.解：(1)因为BC是半圆O的直径，A是半圆周上不
5、同于B，C的点，所以BAC90，即ACAB.因为平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ABCAC，AB平面ABC，所以AB平面ACDE.因为AB平面ABE，所以平面ABE平面ACDE.(2)如图所示，设OFACM，连接DM.因为F为弧AC的中点，所以M为AC的中点因为AC2DE，DEAC，所以DEAM，DEAM.所以四边形AMDE为平行四边形所以DMAE.因为DM平面ABE，AE平面ABE，所以DM平面ABE.因为O为BC的中点，所以OM为ABC的中位线所以OMAB.因为OM平面ABE，AB平面ABE，所以OM平面ABE.因为OM平面OFD，DM平面OFD，OMDMM，所以平面OFD平面AB
6、E.4(2019北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由解析：本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PABD；因为底面ABCD是菱形，所以ACBD；因为PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.(2)证明：因为底面ABCD是菱形且ABC60，所以ACD为正三角形，所以AECD，因为ABCD，
7、所以AEAB；因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以AEPA；因为PAABA所以AE平面PAB，AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)存在点F为PB中点时，满足CF平面PAE；理由如下：分别取PB，PA的中点F，G，连接CF，FG，EG，在三角形PAB中，FGAB且FGAB；在菱形ABCD中，E为CD中点，所以CEAB且CEAB，所以CEFG且CEFG，即四边形CEGF为平行四边形，所以CFEG；又CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.5.(2019青岛三模)已知在三棱柱ABCA1B1C1中，AB2AC2AA14，A1AC，ACBC，平面ACC1A1平面ABC，M
8、为B1C1的中点(1)过点B1作一个平面与平面ACM平行，确定平面，并说明理由；(2)求三棱柱ABCA1B1C1的表面积解析：(1)如图，取AB的中点E，BC的中点F，连接B1E，B1F，EF，则平面B1EF平面ACM.因为平面ACC1A1平面ABC，平面ACC1A1平面ABCAC，ACBC，所以BC平面ACC1A1，BCCC1，因为四边形BCC1B1为平行四边形，所以四边形BCC1B1为矩形，在矩形BCC1B1中，M，F分别是B1C1，BC的中点，所以B1FCM；在ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，所以EFAC.又EFFB1F，ACCMC，所以平面B1EF平面ACM.所以平面即平面B1EF.(2)由题意知AC2，AA12，AB4.因为ACBC，所以BC 2，所以ABC的面积S1ACBC222.在平行四边形ACC1A1中，A1AC，其面积S2AA1ACsinA1AC22sin 2.由(1)知四边形BCC1B1为矩形，故其面积S3BCCC1224.连接A1C，BA1，在AA1C中，ACAA12，A1AC，所以A1C2.由(1)知BC平面ACC1A1，所以BCCA1，所以A1B4.在AA1B中，ABA1B4，AA12，所以AA1B的面积SAA1B2，所以平行四边形ABB1A1的面积S42SAA1B22.故三棱柱ABCA1B1C1的表面积S2S1S2S3S422242102.
