1、第三讲三角恒等变换1.2021贵阳市四校第二次联考将函数f(x)=sin(2x-3)的图象向左平移a(a0)个单位长度得到函数g(x)=cos 2x的图象,则a的最小值为()A.3B.512C.23D.2.2021南昌市高三测试已知函数f(x)=sin(x+)(0, |0,|0)的最小正周期为,则=()A.32B.2 C.1 D.126.条件创新图4-3-2函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0,02)的部分图象如图4-3-3所示,该图象与y轴相交于点F(0,1),与x轴相交于点B,C,点M为图象最高点,且三角形MBC的面积为,则y=f(x)图象的一个对称中心是.(写出一个符合题意的即
2、可)8.2019浙江,14分设函数f(x)=sin x,xR.(1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值;(2)求函数y=f(x+12)2+f(x+4)2的值域.图4-3-39.2021四省八校联考若是ABC的一个内角,且cos -13,则下列结论错误的是()A.sin -22C.cos 2-79D.sin 20)的图象向右平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(0)=-1,则下列说法正确的是()A.g(x)为奇函数B.g(-2)=0C.当=5时,g(x)在(0,)上有4个零点D.若g(x)在0,5上单调递增,则的最大值为6 12.2020武汉市部分学校质量监测已知函数f(x)
3、=2sin(x+)+1(0,|0,0),对于任意的x1,x2R,都有f(x1)+f(x2)-230,若f(x)在0,上的值域为32,3,则实数的取值范围为()A.13,12 B.13,23C.14,23 D.14,12图4-3-414.2021重庆七校联考多选题函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数,A0,0)的部分图象如图4-3-4所示,则A.f(x)=2cos(6-2x)B.f(x)=2sin(2x+3)C.f(x)的图象的对称轴方程为x=k+12(kZ)D.f(x)的单调递减区间为k-512,k+12(kZ)15.多选题已知函数f(x)=tan(x+)(0,00,|0),若f(x)在
4、0,2上恰有3个极值点,则的取值范围是.18.设问创新已知函数f(x)=asinx-cosx(a0,0)的最大值为2,则a=,若函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=m,mN.则当取最小整数值时,函数f(x)在(0,10)之间取得最大值的次数为.19.2021江苏省部分学校调考在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(2sin(x-A),sin A),n=(cos x,1),f(x)=mn,且对任意xR,都有f(x)f(512).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若a=23,sin B+sin C=62,求ABC的面积.20.2020合肥市三检已知函数f(x)=cosx
5、(sin x+3cos x)(0).(1)求函数f(x)的值域;(2)若方程f(x)=32在区间0,上恰有两个实数解,求的取值范围.21.2021荆、荆、襄、宜四地七校联考多选题已知函数f(x)=cos(2x+)(|0,-120)的函数关系式,并求当t(0,2时,y的取值范围.图4-3-6答 案第二讲三角恒等变换1.B将函数f(x)=sin(2x-3)的图象向左平移a(a0)个单位长度,可得函数y=sin2(x+a)-3=sin2x+(2a-3)的图象,所以y=sin2x+(2a-3)的图象与g(x)=cos 2x的图象重合.因为g(x)=cos 2x=sin(2x+2),所以2a-3=2k+
6、2,kZ,即a=k+512,kZ,当k=0时,可得amin=512,故选B.2.C由于f(2)=f(23),所以直线x=2+232=712是函数f(x)图象的对称轴.设f(x)的最小正周期为T,由图可知34T=712-(-6)=34,所以T=,=2T=2,故f(x)=sin(2x+).由于f(-6)=sin(-62+)=sin(-3)=0,且|2,所以=3.故选C.3.B由最小正周期T=2=,可得=2,f(x)的图象向左平移6个单位长度后为偶函数y=2sin(2x+3+)的图象,故3+=k+2,kZ,=k+6,kZ.|0),f(x)的最小正周期T=22=,=1.6.B由题中图象可知A=2,且B
7、OC为直角三角形,所以|OC|=(332)2-(52)2=2,则f(0)=-2,则sin =-22,又|2,所以=-4,所以f(x)=2sin(x-4).又点B(52,0)为“五点作图法”中的第三个点,所以52-4=,所以=2,于是f(x)=2sin(2x-4).由2x-4=k+2(kZ),得x=2k+32(kZ),所以函数y=f(x)的图象在(0,3)内的对称轴为直线x=32,则由题意知x1+x2=3,所以f(x1+x2)=f(3)=2sin(32-4)=-2cos4=-2,故选B.7.(-76,0)(答案不唯一)由已知得SMBC=122BC=BC=,所以最小正周期T=2=2,=1.由f(0
8、)=2sin =1,得sin =12.因为02,所以=6.所以f(x)=2sin(x+6).令x+6=k,得x=k-6,kZ.故y=f(x)图象的对称中心是(k-6,0),kZ.不妨取k=-1,则y=f(x)图象的一个对称中心是(-76,0).(本题答案不唯一,填(-76,0),(-6,0),(56,0),均可)8.(1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+),即sin xcos+cosxsin =-sin xcos+cosxsin ,故2sin xcos =0,所以cos =0.又0,2),因此=2或32.(2)y=f(x+12)2+f
9、(x+4)2=sin2(x+12)+sin2(x+4)=1-cos(2x+6)2+1-cos(2x+2)2=1-12(32cos 2x-32sin 2x)=1-32cos(2x+3).因此,函数的值域是1-32,1+32.9.D因为是ABC的一个内角,且cos -13,所以2.设cos =-13(2),则sin =223,tan =sincos=-22.因为函数y=cos x在(2,)上单调递减,所以由cos -13=cos ,得2.对于A,因为函数y=sin x在(2,)上单调递减,所以sin sin ,即sin tan ,即tan -22,故B正确;对于C,因为cos 19,所以cos 2
10、=2cos2-1219-1=-79,故C正确;对于D,sin 2=2sin cos ,当cos =-223时,sin =13,sin 2=213(-223)=-429,故D不正确.综上,选D.10.D解法一由题意可知h(x)=2sin(2x+3),所以-2h(x)2,因为h(x1)h(x2)=-4,所以h(x1)=2,h(x2)=-2或h(x1)=-2,h(x2)=2.当h(x1)=2,h(x2)=-2时,2x1+3=2k1+2(k1Z),即x1=k1+12(k1Z),2x2+3=2k2-2(k2Z),即x2=k2-512(k2Z),因为x1,x2-,所以x1=-1112或x1=12,x2=-
11、512或x2=712,所以当x1=-1112,x2=712时,|x1-x2|取得最大值,最大值是32.同理,当h(x1)=-2,h(x2)=2时,|x1-x2|的最大值也是32.故选D.解法二由题意可知h(x)=2sin(2x+3),所以-2h(x)2,因为h(x1)h(x2)=-4,所以h(x1)=2,h(x2)=-2或h(x1)=-2,h(x2)=2.因为函数h(x)的最小正周期T=,当x-,时,h(x)有两个周期,即出现两次最大值和最小值,所以|x1-x2|的最大值为32T=32.故选D.11.B由题意得f(x)=cos(x-2)=sin x,则g(x)=sin (x-2),g(0)=s
12、in(-2)=-1,即sin2=1,cos2=0.对于A项,g(x)=sin(x-2)=sin xcos2-cos xsin2=-cos x,又g(x)的定义域为R,故g(x)为偶函数,A错误.对于B项,g(-2)=-cos2=0,B正确.对于C项,当=5时,g(x)=-cos 5x,由5x=2+k,kZ,得x=10+k5,kZ,因为x(0,),所以x可以取10,310,2,710,910,即当=5时,g(x)在(0,)上有5个零点,C错误;对于D项,由2kx2k+,kZ,得2kx2k+,kZ,则函数g(x)在区间2k,2k+(kZ)上单调递增,因为g(x)在0,5上单调递增,所以5,解得05
13、,即的最大值为5,故D不正确.故选B.12.A因为f(x)-1,3,所以(3,1)为函数的一个对称中心,x=4为其一条对称轴,要使最小,则周期最大,此时(3,1)与x=4为相邻对称轴与对称中心,所以3-4=14T=142,所以=6,f(4)=2sin(64+)+1=2sin(32+)+1=-1,因为|2,所以=0,f(x)=2sin 6x+1.令2k+26x2k+32,kZ,则k3+12xk3+4,kZ,所以f(x)的单调递减区间为k3+12,k3+4,kZ,故选A.13.B f(x)=asinx+cos(x-6)=asin x+cos xcos 6+sin xsin 6=(12+a)sin
14、x+32cos x=(12+a)2+(32)2sin(x+),其中tan =3212+a.对于任意的x1,x2R,都有f(x1)+f(x2)-230,即f(x1)+f(x2)23,当且仅当f(x1)=f(x2)=f(x)max时取等号,故2(12+a)2+(32)2=23,解得a=1或a=-2(舍去),故f(x)=32sin x+32cos x=3sin(x+6).因为0x,所以6x+6+6.又f(x)在0,上的值域为32,3,所以2+656,解得1323,选B.14.AB根据图象的最低点,得A=2,设函数的最小正周期为T,则T4=712-3=4,所以T=2,所以=2,f(x)=2sin(2x
15、+).根据点(712,-2)在f(x)的图象上,得=2k+3(kZ),所以f(x)=2sin(2x+3).又f(x)=2sin(2x+3)=2cos(2-2x-3)=2cos(6-2x),因此A,B正确.对于C选项,令2x+3=2+k(kZ),得x=k2+12(kZ),所以f(x)的图象的对称轴方程为x=k2+12(kZ),因此C错误.对于D选项,令2k+22x+32k+32(kZ),得k+12xk+712(kZ),所以f(x)的单调递减区间为k+12,k+712(kZ),D错误.15.ACD对于A,根据与直线y=a的两个相邻交点间的距离可知最小正周期T=2,所以A正确;对于B,T=2=2,又
16、(6,0)为图象的一个对称中心,所以26+=k2(kZ),得=-3+k2(kZ),因为02,所以=6,f(x)=tan(2x+6),令2x+6=k2(kZ),得x=-12+k4(kZ),所以函数f(x)图象的对称中心为(-12+k4,0)(kZ),B错误;对于C,f(x)=tan(2x+6)=tan 2(x+12),则f(x)的图象可由函数y=tan 2x的图象向左平移12个单位长度得到,C正确;对于D,令-2+k2x+62+k(kZ),得-3+k2x6+k2(kZ),D正确.16.AD解法一由题意可知y=f(t)的最小正周期T=120,所以2=120,即=60.如图D 4-3-6,由题意原问
17、题可转化为P从A出发,沿圆周按逆时针方向匀速运动,A(3,-33),AOx(0,2),所以tanAOx=|-333|=3,所以AOx=3,且R=6,连接OP,则xOP=t-3=60t-3.根据三角函数的定义可得yR=sinxOP=sin(60t-3),即y=Rsin(60t-3)=6sin(60t-3),(题眼)所以=-3,故选项A正确;当0t60时,-360t-323,所以函数y=f(t)=6sin(60t-3)在t0,60时不单调递增,故选项B错误;当0t60时,-360t-323,所以当60t-3=2,即t=50时函数y=f(t)=6sin(60t-3)取得最大值6,所以|f(t)|的最
18、大值为6,故选项C错误;当t=100时,y=6sin(53-3)=6sin43=-33,此时x=6cos43=-3,即P(-3,-33),所以|PA|=6,故选项D正确.综上可知,选AD.图D 4-3-6解法二因为|0,t4,2+4,又f(x)在0,2上恰有3个极值点,结合y=sin t的图象得522+472,解得9810.从而f(x)在(0,10)之间有3次取得最大值.19.(1)由题意可得,f(x)=mn=2sin(x-A)cosx+sin A=2(sin xcos A-cosxsin A)cosx+sin A=2sin xcosxcos A-2cos2xsin A+sin A=2sin
19、xcosxcos A-(2cos2x-1)sin A=sin 2xcos A-cos 2xsin A=sin(2x-A),则f(512)=sin(56-A)=1,所以56-A=2k+2(kZ),因为A(0,),所以56-A(-6,56),所以56-A=2,即A=3,所以f(x)=sin(2x-3),令2k-22x-32k+2(kZ),解得k-12xk+512(kZ),所以f(x)的单调递增区间为k-12,k+512(kZ).(2)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得b+c=asinA(sin B+sin C)=26,所以b2+c2+2bc=24,由余弦定理得b2+c2-
20、a2=2bccos A,得b2+c2-bc=12,由解得bc=4,所以ABC的面积为12bcsin A=12432=3.20.(1)f(x)=cosx(sin x+3cos x)=12sin 2x+32(1+cos 2x)=sin(2x+3)+32.由-1sin(2x+3)1,得f(x)的值域是32-1,32+1.(2)0x,0,32x+32+3,由正弦函数的图象可知,要使f(x)=32在区间0,上恰有两个实数解,必须22+33,解得5643.21.BC因为f(x)=cos(2x+),所以f (x)=-2sin(2x+),所以F(x)=f(x)+32f (x)=cos(2x+)-3sin(2x
21、+)=2cos(2x+3),又F(x)为奇函数,所以F(0)=0,即cos(+3)=0,令+3=k+2,kZ,得=6+k,kZ,又|0且a的最小值为6,故B正确;对于C,F(x)=2cos(2x+6+3)=-2sin 2x,当x(4,34)时,2x(2,32),则F(x)在(4,34)上单调递增,故C正确;对于D,由f (x)=-2sin(2x+6)=0,x(0,2),可得x=512,当x(0,512)时,f (x)0,所以f(x)在(0,512)上单调递减,在(512,2)上单调递增,所以f(x)在(0,2)上存在一个极小值点x=512,没有极大值点,故D错误.故选BC.22.或(写出一个即可)根据f(x)的最小正周期为,可得=2,函数f(x)=sin(2x+).再由函数f(x)的图象关于直线x=12对称,可得212+=2+k,kZ,=3+k,又-120), 当t(0,2时,2t+3(3,43,所以cos(2t+3)-1,12),故当t(0,2时,y-3,32).
