1、复旦大学附属中学2020学年第二学期高一年级数学期中考试试卷考试时间120分钟满分150分所有答案均写在答题纸上一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1函数的最小正周期为_2为第三象限角，且，则在第_象限3已知扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为_4函数的定义域为_5方程在内的解为_（用反三角函数表示）6已知奇函数的一个周期为2，当时，则_7已知角满足，则_8函数的单调递增区间为_9函数在上的值域是_10已知向右平移个单位后为奇函数，则_11我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；
2、周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为_12已知定义在上的奇函数，满足，当时，若函数，在区间上有2021个零点，则m的取值范围是_二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项13已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ）条件A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件14在中，则的形状为（ ）A正三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形15设定义在上的函数则（ ）A在区间上是增函数 B在区间上是减函数C在区间上是增函数 D在区间上是减函数16设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有
3、3个零点，则的取值范围是（ ）A B C D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在平面直角坐标系中，角的始边为x轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P（1）若点P的横坐标为，求的值（2）若将射线绕点O逆时针旋转，得到角，若，求的值18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数的部分图像如图所示（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中长a千米，现要在空地上围出一块正
4、三角形区域建文化景观区，其中分别在上设（1）若，求的边长；（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知数的相邻两对称轴间的距离为（1）求的解析式；（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域（3）对于第（2）问中的函数，记方程在，上的根从小到依次为，试确定n的值，并求的值21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题第（）问满分6分，第2小题第（）问满分8分）在非直角三角形中，角的对边分别为（1）若，且，判断三角形的形状；（2）若，（）证明：；（可能运
5、用的公式有）（）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由复旦大学附属中学2020学年第二学期高一年级数学期中考试试卷考试时间120分钟 满分150分 所有答案均写在答题纸上一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1【答案】：【解析】：函数的最小正周期2【解析】：因为以为第三象限角，所以，所以又因为，所以，所以在第二象限3【答案】：【解析】：设扇形半径为r，弧长为l，所以，解得或，所以（舍）或所以扇形的圆心角的弧度数为4【答案】：【解析】：根据题意得，即，所以所以函数的定义
6、域5【答案】：6【答案】：【解析】：根据题意得，7【答案】：【解析】：8【答案】：【解析】：，所以，解得，所以单调递增区间为9【解析】：令，则，所以所以，所以，所以函数在上的值域是10【答案】：【解析】：由根据题意可得，函数，其中因为向右平移个单位后，可得，又由为奇函数，所以，即，又因为，所以，所以11【答案】：【解析】：是偶函数，周期为当时，所以，所以值域为12【解析】：由题意，函数为上奇函数，所以，且，又，可得，可得函数的图像关于点对称，联立可得，所以是以2为周期的周期函数，又由函数的周期为2，且关于点对称，因为当时，由图像可知，函数和的图像在上存在四个零点，即一个周期内有4个零点，要使得
7、函数，在区间上有2021个零点，其中都是函数的零点，即函数在上有2017个零点，如果m是第207个零点，则，如果m是第2018个零点，则，即二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项13【答案】：A【解析】：当时，为偶函数，当为偶函数时，综上所述，是为偶函数的充分不必要条件，故选：A14【答案】：B【解析】：，即，所以，所以，所以，因为，所以，所以是直角数学卷，故选B15【答案】：4【解析】：图像如图，可知的周期为，严格单调递增区间是所以的严格单调递增区间是，令，易知A正确16【答案】：B【解析】：令，则，令，则则问题转化为在区间上至少有两个，至多有三个t，使得
8、，作出和的图像，观察交点个数，可知使得的最短区间长度为，最长长度为，由题意列不等式的：解得：，故选B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17【答案】：见解析【解析】：（1）因为P在单位圆上，且点P的横坐标为，可求得纵坐标为，所以，所以（2）由题知，则则18【答案】：见解析【解析】：（1）由图可得，则，又，解得，；（3），则当时，取得最小值为0，当时，取得最大值为，的取值范围为19【答案】：见解析【解析】：（1）设的边长为x千米由，得在中，为等边三角，得，解得所以的边长等于千米（2）设的边长为x千米则，在中，解得，当，时，所以当时，的边长取得最
9、小值为千米20【答案】：见解析【解析】：（1）由题意，函数因为函数图像的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得（2）将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图像当时，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最小值为，故函数的值域（3）由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图像，可得方程在区间有5个解，即，其中，即解得所以21【答案】：见解析【解析】：（1）由余弦定理得，将代入得到，所以为等边三角形（2）（）由及正弦定理得，所以，因为，所以，有，由两角和、差的余弦公式可得，整理得，故（）由及半角正切公式可得，展开整理得，即，即，即，与原三角式作比较可知存在且
