1、 1 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)理科数学注意事项:1答题前,先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答:选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。一、单项选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知全集3,Ux xxZ=,1,2M=,2,1,2N=,则()
2、UMN=().A 1B1,2C 2D0,1,22函数()sin2xxf xe=的大致图像是()ABCD3在 ABC 中,D 为 BC 边上一点,若ABD是等边三角形,且4 3AC=,则 ADC的面积的最大值为()A4 3B6 3C8 3D10 34数列 na是各项均为正数的等比数列,数列 nb是等差数列,且56ab=,则()2 A3748aabb+B3748aabb+C3748aabb+D3748aabb+=+5已知2log 0.7a=,0.12b=,ln 2c=,则()Abca B acb Cbac Dabc 6设函数()sin()(0,0)f xx=+的图象关于点(,0)3M 对称,点M
3、到该函数图象的对称轴的距离的最小值为 4,则()A()f x 的周期为2B()f x 的初相6=C()f x 在区间2,33上是单调递减函数D将()f x 的图象向左平移12 个单位长度后与函数cos2yx=图象重合72018 年 6 月 18 日,是我国的传统节日“端午节”.这天,小明的妈妈煮了 5 个粽子,其中两个腊肉馅,三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子,若已知小明取到的两个粽子为同一种馅,则这两个粽子都为腊肉馅的概率为()A 14B 34C 110D 3108若1321xlog ,则函数 f(x)4x2x+1+1 的最小值为()A4B0C5D99已知i 为虚数单位,实数a,b 满足(2
4、)()(8)i abii i=,则ab 的值为()A6B-6C5D-5 510已知10axdx=,120bx dx=,10cxdx=,则a,b,c 的大小关系是()AabcB acbCbacDcab 3 11在 ABC中,角,A B C 的对边分别为,a b c,ABC的面积为S,已知15A=,24 3Sa=,则 bccb+的值为()A2B2 2C6D 2 612已知函数()f x 的定义域为 R,且()26f=,对任意 xR,()2fx,则()22f xx+的解集为()A(),2 B()2,+C()2,2D(),+二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13变量满足约束条
5、件,若的最大值为 2,则实数等于_14已知正数 x,y 满足2xy+=,若2212xyaxy+恒成立,则实数a 的取值范围是_15在三棱锥 PABC中,6,3PBAC=,G 为 PAC的重心,过点 G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线 PB 和 AC,则截面的周长为_.16某人乘车从 A 地到 B 地,所需时间(分钟)服从正态分布 N(30,100),求此人在40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率为_参考数据:若2(,)ZN ,则()0.6826PZ+=,(22)0.9544PZ+=,(33)0.9974PZ+=4 三、解答题(本题共 7 小题,共 70 分。其中 22、23 为二选一题
6、目 10 分,其余每题 12 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17已知函数2()()xf xexaxa=+(1)当1a=时,求曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程(2)求()f x 的单调区间(3)求证:当4a 时,函数()f x 存在最小值18已知(2,1)P,直线l 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于 A、B 两点,O 为坐标原点.(1)若直线l 方程为 yxb=+(0b),且1ABPS=,求b 的值;(2)若直线l 经过点 P,设l 的斜率为k,M 为线段 AB 的中点,求OM OP的最小值.19如图,在三棱柱111ABCA B C中,侧棱垂直于底面,ABBC
7、,E,F 分别是11AC,BC 的中点.(1)求证:平面 ABE 平面11B BCC;(2)求证:1/C F平面 ABE.5 20已知 ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c,()cos2cosaBcbA=,3a=,2c=.(1)求角 A;(2)求 ABC的面积.21已知非单调数列an是公比为 q 的等比数列,a1 32,其前 n 项和为 Sn(nN*),且满足 S3a3,S5a5,S4a4 成等差数列(1)求数列an的通项公式和前 n 项和 Sn;(2)bn2(1)nnn S22nnn+,求数列bn的前 n 项和 Tn.22平面直角坐标系 xOy 中,曲线1C 的参数方程为1 31
8、1 21xy+=+=+(为参数,且1 ).以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为212 cos320+=.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程;(2)已知点 P 的极坐标为 2 2,4,Q 为曲线2C 上的动点,求 PQ 的中点 M 到曲线1C的距离的最大值.6 23设函数,(1)证明(2)若不等式的解 2 集非空,求的取值范围 7 参考答案1D【解析】3,2,1 0,1,2Ux xxZ=,则0,1UC N=,故()0,1,2UMN=2A【解析】由函数()sin2xxf xe=为奇函数,排除 B,D.当 x=0.1 时,()0f x
9、,排除 C.3A【解析】由已知4 3AC=,120ADC=,如图所示;可构造 ADC的外接圆,其中点 D 在劣弧 AC 上运动,又在边 BC 上,当运动到弧中点时,ADC面积最大,此时 ADC为等腰三角形,其面积为21113tan30(4 3)4 32243ADCSACAC=故选:A4B【解析】an=a1qn1,bn=b1+(n1)d,56ab=,a1q4=b1+5d,37aa+=a1q2+a1q6,48bb+=2(b1+5d)=2b6=2a5,37aa+2a5=a1q2+a1q62a1q4=a1q2(q21)20,所以37aa+48bb+5B【解析】因为2log 0.7a=2log 10=,
10、0.10221b=,ln1ln 2ln1ce=,8 所以 acb.故选:B.6D【解析】因为点(,0)3M 到对称轴的距离的最小值为 4,所以2,244TTT=,选项 A 不正确;函数()sin(2)f xx=+,由()03f =得2sin()0,33+=,选项 B 不正确;()sin(2)3f xx=+,当233x时,5233x+,而函数sinyx=在53,上不具备单调性,选项 C 错误;将函数()f x 的图象向左平移12 后,得到sin 2()sin(2)cos21232yxxx=+=+=,选项 D 正确故选 D.7A【解析】设事件 A=“取到的两个为同一种馅”,事件 B=“取到的两个都
11、是腊肉馅馅”,由题意,22223241,10101010CCCP AP AB+=(),(),()()1|.4P ABP B AP A=()8A【解析】1121333120,21,log 3log 2logxlogx =,令2223,21(1)xtyttt=+=,当23,log 3tx=时,f(x)取得最小值为 4.9A【解析】()()()()22281 8iabiabba ii ii=+=,()2128abba=+=,解得23ab=ab 的值为 6 9 10C【解析】因为111132 12312000000111122,|223333axdxxbx dxxcxdxx=,所以bac,故选 C.1
12、1B【解析】15A=,24 3Sa=,2214 3sin152cos152 bcbcbc=+,222 3sin152cos15bcbcbc+=+,22314sin15cos1522bcbc+=+()224sin 1530bcbc+=+,整理可得,222 2bcbc+=,222 2bcbcbc+=,则2 2bccb+=.12B【解析】构造函数()()22g xf xx=,则()()20gxfx=,则函数()yg x=在 R 上递增,()26f=,则()()2260gf=,由()22f xx+可得()()2g xg,2x.所以,不等式()22f xx+的解集为()2,+.131【解析】由可行域知,
13、直线必过直线与的交点,即直线必过直线与的交点,所以 144,5【解析】因为2xy+=,所以2222(1)2(1)1(2)4(2)41212xyxxyyxyxy+=+10 1414122411212xyxyxy=+=+,而14114124(1)19(12)()1()12 41251251255yxxyxyxyxy+=+=+=+当且仅当24(1)12yxxy+=+,即24,33xy=时等号成立,所以22149411121255xyxyxy+=+=+,故知45a,故答案为:4,5158【解析】如图所示,过点 G 作 EFAC,分别交 PA,PC 于点 E,F过点 F 作 FMPB 交 BC 于点 M
14、,过点 E 作 ENPB 交 AB 于点 N.由作图可知:ENFM,四点 EFMN 共面,可得 MNACEF,ENPBFM.23EFMNACAC=,可得 EF=MN=2.同理可得:EN=FM=2.截面的周长为 8.160.1359【解析】()0.682 6PX+=,1 0.682 6()2P X+=,()1P X+=1 0.682 610.682 6222=+又(22)0.954 4PX+=,1 0.954 4(2)2P X+=,1 0.954 410.954 4(2)1222P X+=+,11(2)(2)PXP X+=+()P X+10.954 410.682 6()2222=+1(0.95
15、4 40.682 6)2=0.135 9=30=,10=,(4050)0.1359PX=因此,此人在 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率是 0.1359 17【解析】(1)当1a=时,()()21xf xexx=+,()()232xfxexx+=+,()01f=,()02f=,曲线()yf x=在点()()0,0f处的切线方程为:()120yx=,即21yx=+(2)由()()2xf xexaxa=+,得:()()()()2222xxfxexaxaexax=+=+,令()0fx=,解得:2x=或 xa=,当2a=,即2a=时,()()220 xfxex+=,()f x 在 R 上单调递增
16、;当2a ,即2a 时,令()0fx,得2x 或 xa;令()0fx,得 2xa ,()f x 的单调增区间是(),2 和(),a+,单调减区间是()2,a;当2a ,即2a 时,令()0fx,得 xa 或2x ;令()0fx,得2ax ,()f x 的单调增区间是(),a 和()2,+,单调减区间是(),2a综上所述,当2a=时,函数()f x 在 R 上递增;12 当2a 时,()f x 的单调增区间是(),2 和(),a+,单调减区间是()2,a;当2a 时,()f x 的单调增区间是(),a 和()2,+,单调减区间是(),2a(3)由(1)得:当4a 时,函数()f x 在),xa+
17、上有()()2f xf,且()()2240fea=,4a,(),xa 时,()0 x xa+,e0 x,()()0 xf xex xaa=+,4a 时,函数()f x 存在最小值()2f 18【解析】(1)因为直线l 方程为 yxb=+(0b)l 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于A、B 两点,所以(,0)A b、(0,)Bb,因此2ABb=,又点(2,1)P到直线 yxb=+的距离为:2 131 12+=+bbd,1ABPS=,所以3311212222=ABPbbbSAB db,因此232=bb,由232=bb,解得3172=b,因为0b,所以3172+=b;由232=bb,解得1b=或2b=
18、,综上,b 的值为 1 或 2 或 3172+;(2)由题意得,直线l 的方程为:1(2)yk x=,由0 x=得12yk,所以(0,12)Bk;由0y=得12xk=,所以12,0Ak;又 A、B 两点分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,所以120120kk ,解得k0;13 因为 M 为线段 AB 的中点,所以111,22Mkk,因此()1151592 1222222=+=+=OM OPkkkk,当且仅当1=kk,即1k=时,取等号.故OM OP的最小值为 92.19【解析】(1)在三棱柱111ABCA B C中,1BB 底面 ABC,所以1BBAB.又因为 ABBC,所以 AB 平面11B
19、BCC;又 AB平面 ABE,所以平面 ABE 平面11B BCC;(2)取 AB 的中点G,连接 EG,FG.因为 E,F,G 分别是11AC,BC,AB 的中点,所以/FGAC,且12FGAC=,11112=ECAC.因为11/ACAC,且11ACAC=,所以1/FGEC,且1FGEC=,所以四边形1FGEC 为平行四边形,所以1/C FEG,又因为 EG 平面 ABE,1C F 平面 ABE,所以1/C F平面 ABE.20【解析】(1)由正弦定理可得sincos2sincoscossinABCAAB=,所以sincoscossin2sincosABABCA+=,即()sin2sinco
20、sABCA+=.14 因为()CAB=+,所以()sinsin2sincosABCCA+=,()0,C,则sin0C,故1cos2A=.因为()0,A,所以3A=;(2)根据正弦定理有 sinsinacAC=,所以csin3sin3ACa=.因为ac,所以0,2C,所以26cos1 sin3CC=,所以()3 23sinsinsincoscossin6BACACAC+=+=+=.所以 ABC的面积113 23sin3 2226ABCSacB+=3 232+=.21(1)【解析】(1)S3a3,S5a5,S4a4 成等差数列,2(S5a5)(S3a3)(S4a4),a34a5,q2,q,an n
21、1,Sn1n.(2)bn(1)nn2Sn(1)nn2(1)nn2.设(1)nn2 的前 n 项和为 Hn,的前 n 项和为 Qn当 n 为偶数时,Hn12223242(n1)2n21234n1n,Qn122nn Qn12(n1)nnn1 得,Qn 2nnn11,Qn2TnHnQn2 15 当 n 为奇数时,Hnn2,Qn2TnHnQn2综合,Tn22【解析】(1)因为1 3,112,1xy+=+=+,所以 3+4,得341xy+=.又1 33(1)4433111x+=+,所以1C 的普通方程为()34103xyx+=,将cosx=,222xy=+代入曲线2C 的极坐标方程,得曲线2C 的直角坐
22、标方程为2212320 xyx+=.(2)由点 P 的极坐标 2 2,4,可得点 P 的直角坐标为()2,2.设点()00,M xy,因为 M 为 PQ 的中点,所以()0022,22Qxy将 Q 代入2C 的直角坐标方程得()()2200211xy+=,即 M 在圆心为()2,1,半径为 1 的圆上.所以点 M 到曲线1C 距离的最大值为|231 41|8155d +=+=,由(1)知1C 不过点()3,2N,且31 2391423420MNk+=,即直线 MN 与1C 不垂直.综上知,M 到曲线1C 的距离的最大值为 85.16 23【解析】(1)111()()()()f xfxaaxaaxxx+=+112xxxx=+=+,(2)函数()23()(2)22322axxaayf xfxxaxaxaxaxax=+=+=函数的图象为:当2ax=时,min2ay=,依题意,122a,则1a ,a 的取值范围是 10a.