1、 1 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。一、单项选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集3,Ux xxZ=，1,2M=，2,1,2N=，则()
2、UMN=（）.A 1B1,2C 2D0,1,22函数()sin2xxf xe=的大致图像是（）ABCD3在 ABC 中，D 为 BC 边上一点，若ABD是等边三角形，且4 3AC=，则 ADC的面积的最大值为（）A4 3B6 3C8 3D10 34数列 na是各项均为正数的等比数列，数列 nb是等差数列，且56ab=，则（）2 A3748aabb+B3748aabb+C3748aabb+D3748aabb+=+5已知2log 0.7a=，0.12b=，ln 2c=，则()Abca B acb Cbac Dabc 6设函数()sin()(0,0)f xx=+的图象关于点(,0)3M 对称，点M
3、到该函数图象的对称轴的距离的最小值为 4，则（）A()f x 的周期为2B()f x 的初相6=C()f x 在区间2,33上是单调递减函数D将()f x 的图象向左平移12 个单位长度后与函数cos2yx=图象重合72018 年 6 月 18 日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为()A 14B 34C 110D 3108若1321xlog ，则函数 f（x）4x2x+1+1 的最小值为（）A4B0C5D99已知i 为虚数单位，实数a，b 满足(2
4、)()(8)i abii i=，则ab 的值为（）A6B-6C5D-5 510已知10axdx=，120bx dx=，10cxdx=，则a，b，c 的大小关系是（）AabcB acbCbacDcab 3 11在 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，ABC的面积为S，已知15A=，24 3Sa=，则 bccb+的值为（）A2B2 2C6D 2 612已知函数()f x 的定义域为 R，且()26f=，对任意 xR，()2fx，则()22f xx+的解集为（）A(),2 B()2,+C()2,2D(),+二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13变量满足约束条
5、件，若的最大值为 2，则实数等于_14已知正数 x，y 满足2xy+=，若2212xyaxy+恒成立，则实数a 的取值范围是_15在三棱锥 PABC中，6,3PBAC=，G 为 PAC的重心，过点 G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线 PB 和 AC，则截面的周长为_.16某人乘车从 A 地到 B 地，所需时间（分钟）服从正态分布 N（30，100），求此人在40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率为_参考数据：若2(,)ZN ，则()0.6826PZ+=，(22)0.9544PZ+=，(33)0.9974PZ+=4 三、解答题(本题共 7 小题，共 70 分。其中 22、23 为二选一题
6、目 10 分，其余每题 12 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17已知函数2()()xf xexaxa=+（1）当1a=时，求曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程（2）求()f x 的单调区间（3）求证：当4a 时，函数()f x 存在最小值18已知(2,1)P，直线l 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于 A、B 两点，O 为坐标原点.（1）若直线l 方程为 yxb=+（0b），且1ABPS=，求b 的值；（2）若直线l 经过点 P，设l 的斜率为k，M 为线段 AB 的中点，求OM OP的最小值.19如图，在三棱柱111ABCA B C中，侧棱垂直于底面，ABBC
7、，E，F 分别是11AC，BC 的中点.(1)求证:平面 ABE 平面11B BCC；(2)求证:1/C F平面 ABE.5 20已知 ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，()cos2cosaBcbA=，3a=，2c=.（1）求角 A；（2）求 ABC的面积.21已知非单调数列an是公比为 q 的等比数列，a1 32，其前 n 项和为 Sn(nN*)，且满足 S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列(1)求数列an的通项公式和前 n 项和 Sn；(2)bn2(1)nnn S22nnn+，求数列bn的前 n 项和 Tn.22平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为1 31
8、1 21xy+=+=+（为参数，且1 ）.以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212 cos320+=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点 P 的极坐标为 2 2,4，Q 为曲线2C 上的动点，求 PQ 的中点 M 到曲线1C的距离的最大值.6 23设函数，（1）证明（2）若不等式的解 2 集非空，求的取值范围 7 参考答案1D【解析】3,2,1 0,1,2Ux xxZ=,则0,1UC N=,故()0,1,2UMN=2A【解析】由函数()sin2xxf xe=为奇函数，排除 B，D.当 x=0.1 时，()0f x
9、,排除 C.3A【解析】由已知4 3AC=，120ADC=，如图所示；可构造 ADC的外接圆，其中点 D 在劣弧 AC 上运动，又在边 BC 上，当运动到弧中点时，ADC面积最大，此时 ADC为等腰三角形，其面积为21113tan30(4 3)4 32243ADCSACAC=故选：A4B【解析】an=a1qn1，bn=b1+（n1）d，56ab=，a1q4=b1+5d，37aa+=a1q2+a1q6，48bb+=2（b1+5d）=2b6=2a5，37aa+2a5=a1q2+a1q62a1q4=a1q2（q21）20，所以37aa+48bb+5B【解析】因为2log 0.7a=2log 10=，
10、0.10221b=，ln1ln 2ln1ce=，8 所以 acb.故选：B.6D【解析】因为点(,0)3M 到对称轴的距离的最小值为 4，所以2,244TTT=，选项 A 不正确；函数()sin(2)f xx=+，由()03f =得2sin()0,33+=，选项 B 不正确；()sin(2)3f xx=+，当233x时，5233x+，而函数sinyx=在53，上不具备单调性，选项 C 错误；将函数()f x 的图象向左平移12 后，得到sin 2()sin(2)cos21232yxxx=+=+=，选项 D 正确故选 D.7A【解析】设事件 A=“取到的两个为同一种馅”，事件 B=“取到的两个都
11、是腊肉馅馅”，由题意，22223241,10101010CCCP AP AB+=（），（），()()1|.4P ABP B AP A=（）8A【解析】1121333120,21,log 3log 2logxlogx =，令2223,21(1)xtyttt=+=，当23,log 3tx=时，f（x）取得最小值为 4.9A【解析】()()()()22281 8iabiabba ii ii=+=，()2128abba=+=，解得23ab=ab 的值为 6 9 10C【解析】因为111132 12312000000111122,|223333axdxxbx dxxcxdxx=,所以bac,故选 C.1
12、1B【解析】15A=，24 3Sa=，2214 3sin152cos152 bcbcbc=+，222 3sin152cos15bcbcbc+=+，22314sin15cos1522bcbc+=+()224sin 1530bcbc+=+，整理可得，222 2bcbc+=，222 2bcbcbc+=，则2 2bccb+=.12B【解析】构造函数()()22g xf xx=，则()()20gxfx=，则函数()yg x=在 R 上递增，()26f=，则()()2260gf=，由()22f xx+可得()()2g xg，2x.所以，不等式()22f xx+的解集为()2,+.131【解析】由可行域知，
13、直线必过直线与的交点，即直线必过直线与的交点，所以 144,5【解析】因为2xy+=，所以2222(1)2(1)1(2)4(2)41212xyxxyyxyxy+=+10 1414122411212xyxyxy=+=+，而14114124(1)19(12)()1()12 41251251255yxxyxyxyxy+=+=+=+当且仅当24(1)12yxxy+=+，即24,33xy=时等号成立，所以22149411121255xyxyxy+=+=+，故知45a，故答案为：4,5158【解析】如图所示，过点 G 作 EFAC，分别交 PA，PC 于点 E，F过点 F 作 FMPB 交 BC 于点 M
14、，过点 E 作 ENPB 交 AB 于点 N.由作图可知：ENFM，四点 EFMN 共面,可得 MNACEF，ENPBFM.23EFMNACAC=,可得 EF=MN=2.同理可得：EN=FM=2.截面的周长为 8.160.1359【解析】()0.682 6PX+=，1 0.682 6()2P X+=，()1P X+=1 0.682 610.682 6222=+又(22)0.954 4PX+=，1 0.954 4(2)2P X+=，1 0.954 410.954 4(2)1222P X+=+，11(2)(2)PXP X+=+()P X+10.954 410.682 6()2222=+1(0.95
15、4 40.682 6)2=0.135 9=30=，10=，(4050)0.1359PX=因此，此人在 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率是 0.1359 17【解析】（1）当1a=时，()()21xf xexx=+，()()232xfxexx+=+，()01f=，()02f=，曲线()yf x=在点()()0,0f处的切线方程为：()120yx=，即21yx=+（2）由()()2xf xexaxa=+，得:()()()()2222xxfxexaxaexax=+=+，令()0fx=，解得：2x=或 xa=，当2a=，即2a=时，()()220 xfxex+=，()f x 在 R 上单调递增
16、；当2a ，即2a 时，令()0fx，得2x 或 xa；令()0fx，得 2xa ，()f x 的单调增区间是(),2 和(),a+，单调减区间是()2,a；当2a ，即2a 时，令()0fx，得 xa 或2x ；令()0fx，得2ax ，()f x 的单调增区间是(),a 和()2,+，单调减区间是(),2a综上所述，当2a=时，函数()f x 在 R 上递增；12 当2a 时，()f x 的单调增区间是(),2 和(),a+，单调减区间是()2,a；当2a 时，()f x 的单调增区间是(),a 和()2,+，单调减区间是(),2a（3）由（1）得：当4a 时，函数()f x 在),xa+
17、上有()()2f xf，且()()2240fea=，4a，(),xa 时，()0 x xa+，e0 x，()()0 xf xex xaa=+，4a 时，函数()f x 存在最小值()2f 18【解析】（1）因为直线l 方程为 yxb=+（0b）l 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于A、B 两点，所以(,0)A b、(0,)Bb，因此2ABb=，又点(2,1)P到直线 yxb=+的距离为：2 131 12+=+bbd，1ABPS=，所以3311212222=ABPbbbSAB db，因此232=bb，由232=bb，解得3172=b，因为0b，所以3172+=b；由232=bb，解得1b=或2b=
18、，综上，b 的值为 1 或 2 或 3172+；（2）由题意得，直线l 的方程为：1(2)yk x=，由0 x=得12yk，所以(0,12)Bk；由0y=得12xk=，所以12,0Ak；又 A、B 两点分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，所以120120kk ，解得k0；13 因为 M 为线段 AB 的中点，所以111,22Mkk，因此()1151592 1222222=+=+=OM OPkkkk，当且仅当1=kk，即1k=时，取等号.故OM OP的最小值为 92.19【解析】(1)在三棱柱111ABCA B C中，1BB 底面 ABC，所以1BBAB.又因为 ABBC，所以 AB 平面11B
19、BCC；又 AB平面 ABE，所以平面 ABE 平面11B BCC；(2)取 AB 的中点G，连接 EG，FG.因为 E，F，G 分别是11AC，BC，AB 的中点，所以/FGAC，且12FGAC=，11112=ECAC.因为11/ACAC，且11ACAC=，所以1/FGEC，且1FGEC=，所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1/C FEG，又因为 EG 平面 ABE，1C F 平面 ABE，所以1/C F平面 ABE.20【解析】（1）由正弦定理可得sincos2sincoscossinABCAAB=，所以sincoscossin2sincosABABCA+=，即()sin2sinco
20、sABCA+=.14 因为()CAB=+，所以()sinsin2sincosABCCA+=，()0,C，则sin0C，故1cos2A=.因为()0,A，所以3A=；（2）根据正弦定理有 sinsinacAC=，所以csin3sin3ACa=.因为ac，所以0,2C，所以26cos1 sin3CC=，所以()3 23sinsinsincoscossin6BACACAC+=+=+=.所以 ABC的面积113 23sin3 2226ABCSacB+=3 232+=.21（1）【解析】(1)S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列，2(S5a5)(S3a3)(S4a4),a34a5，q2，q，an n
21、1，Sn1n.(2)bn(1)nn2Sn(1)nn2(1)nn2.设(1)nn2 的前 n 项和为 Hn，的前 n 项和为 Qn当 n 为偶数时，Hn12223242(n1)2n21234n1n，Qn122nn Qn12(n1)nnn1 得，Qn 2nnn11，Qn2TnHnQn2 15 当 n 为奇数时，Hnn2，Qn2TnHnQn2综合，Tn22【解析】（1）因为1 3,112,1xy+=+=+，所以 3+4，得341xy+=.又1 33(1)4433111x+=+，所以1C 的普通方程为()34103xyx+=，将cosx=，222xy=+代入曲线2C 的极坐标方程，得曲线2C 的直角坐
22、标方程为2212320 xyx+=.（2）由点 P 的极坐标 2 2,4，可得点 P 的直角坐标为()2,2.设点()00,M xy，因为 M 为 PQ 的中点，所以()0022,22Qxy将 Q 代入2C 的直角坐标方程得()()2200211xy+=，即 M 在圆心为()2,1，半径为 1 的圆上.所以点 M 到曲线1C 距离的最大值为|231 41|8155d +=+=，由（1）知1C 不过点()3,2N，且31 2391423420MNk+=，即直线 MN 与1C 不垂直.综上知，M 到曲线1C 的距离的最大值为 85.16 23【解析】（1）111()()()()f xfxaaxaaxxx+=+112xxxx=+=+,（2）函数()23()(2)22322axxaayf xfxxaxaxaxaxax=+=+=函数的图象为：当2ax=时，min2ay=，依题意，122a，则1a ,a 的取值范围是 10a.