1、系列丛书 进入首页第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入系列丛书 进入首页 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入高三总复习 新课标版 数学（文）第三节 平面向量的数量积第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）第2课时 平面向量的应用第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点命题突破 02 课堂升华强技提能第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点一 平面向量在平面几何中的应用【例 1】已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，
2、若动点 P 满足OP OA(ABAC)，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A内心B外心C重心D垂心第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】由原等式，得OP OA(ABAC)，即AP(ABAC)，根据平行四边形法则，知ABAC 是ABC 的中线 AD(D为 BC 的中点)所对应向量AD 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过ABC的重心【答案】C第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1在本例中，若动点 P 满足OP OA AB|AB|AC|AC|，(0，)，则如何选择？第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三
3、总复习 新课标版 数学（文）解 析：由 条 件，得 OP OA AB|AB|AC|AC|，即 AP AB|AB|AC|AC|，而 AB|AB|和 AC|AC|分别表示平行于AB，AC的单位向量，故 AB|AB|AC|AC|平分BAC，即AP平分BAC，所以点 P 的轨迹必过ABC 的内心答案：A第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2 在 本 例 中，若 动 点P满 足 OP OA AB|AB|cosBAC|AC|cosC，(0，)，则如何选择？第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：由条件，得APAB|AB|cosBAC
4、|AC|cosC，从而APBCABBC|AB|cosB ACBC|AC|cosC|AB|BC|cos180B|AB|cosB|AC|BC|cosC|AC|cosC0，所以AP BC，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心答案：D第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.第四章第三节第2课时系列
5、丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）已知在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPb，则 D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，b)，PA(2，b)，PB(1，ab)，PA3PB(5,3a4b)，则|PA3PB|225(3a4b)2.由点 P 是腰 DC上的动点，知 0ba，因此当 b34a 时，|PA3
6、PB|2 的最小值为25.|PA3PB|的最小值为 5.答案：5第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点二 平面向量与函数、不等式的综合应用【例 2】(1)已知单位向量 a，b，满足 ab，则函数 f(x)(xa2b)2(xR)()A既是奇函数又是偶函数B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数D是奇函数第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)设ABC，P0 是边 AB 上一定点，满足 P0B14AB，且对于边AB 上任一点 P，恒有PBPC P0B P0C，则()AABC90 BBAC90CABACDACBC第四章第三节第2
7、课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】(1)因为单位向量 a，b，满足 ab，所以 ab0，所以 f(x)(xa2b)2x24xab4x24，又 f(x)(x)24x24f(x)，所以函数 f(x)为偶函数应选 C.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)设 AB4，以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴建立坐标系，则 A(2,0)，B(2,0)，P0(1，0)，设点 C(a，b)，动点 P(x,0)，所以P0B(1,0)，P0C(a1，b)，PB(2x,0)，PC(ax，b)，第四章第三节第2课时系列丛书
8、进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）由PBPC P0B P0C 恒成立，得(2x)(ax)a1，即 x2(2a)xa10 恒成立所以(2a)24(a1)a20，则 a0.因此点 C 在线段AB 的中垂线上，故|AC|BC|.【答案】(1)C(2)D第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】破解平面向量与“函数”交汇题的“两步曲”：一是利用平面向量的数量积与平面向量的模求出函数的解析式；二是利用函数的解析式，对所求得的函数的性质进行讨论.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）已知向量 a，b 满足|a|2，|b|1
9、，且对一切实数 x，|axb|ab|恒成立，则 a，b 的夹角的大小为_解析：由题意得|axb|ab|a22xabx2b2a22abb2x22abx12ab0，所以 4(ab)24(12ab)0(ab1)20，所以 ab1，cosa，b ab|a|b|12，即 a 与 b的夹角为23.答案：23第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点三 平面向量与三角函数的综合应用【例 3】(2017山东临沂模拟)已知向量 m(sin2，cos)，n(sin，cos)，其中 R.(1)若 mn，求角；(2)若|mn|2，求 cos2 的值第四章第三节第2课时系列丛书 进入首
10、页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】(1)向量 m(sin2，cos)，n(sin，cos)，若 mn，则 mn0.即为sin(sin2)cos20.即 sin12，可得 2k6或 2k56，kZ.(2)若|mn|2，即有(mn)22，即(2sin2)2(2cos)22，即为 4sin248sin4cos22，即有 88sin2，可得 sin34.即有 cos212sin212 91618.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】向量与三角函数的综合问题是高考最常见的题型之一，利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的
11、解题思路和方法以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）已知 f(x)ab，其中 a(2cosx，3sin2x)，b(cosx,1)(xR)(1)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，f(A)1，a 7，ABAC3，求边长 b 和 c 的值(bc)第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解：(1)由题意知：f(x)2cos2x 3sin2x1cos2x 3sin2x12cos2x3，f(x)的最小正周期
12、 T，ycosx 在2k，2k(kZ)上单调递减，令 2k2x32k，得 k6xk3，f(x)的单调递减区间为k6，k3，kZ.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)f(A)12cos2A3 1，cos2A3 1，又32A3c，b3，c2.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点四 平面向量与解析几何的综合应用【例 4】若点 O 和点 F 分别为椭圆x24y23 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为()A2B3C6D8第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（
13、文）【解析】由题意，得 F(1,0)，设 P(x0，y0)，则有x204y203 1，解得 y203(1x204)，因为FP(x01，y0)，OP(x0，y0)，所以OP FPx0(x01)y20 x20 x03(1x204)x204x03，对应的抛物线的对称轴方程为 x02，因为2x02，故当 x02 时，OP FP取得最大值224 236，故选 C.【答案】C第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归.第四章
14、第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线的准线上的射影为 C，若AFFB，BABC 48，则抛物线的方程为()Ay28xBy24xCy216xDy24 2x第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：如图所示，AFFBF 为线段 AB 中点，AFAC，ABC30，由BABC 48，得 BC4 3.则 AC4，由中位线的性质有 p12AC2，故抛物线的方程为 y24x.故选 B.答案：B第四章第三节第2课时系列
15、丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）3向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复
16、习 新课标版 数学（文）温示提馨请 做：课时作业 29（点击进入）第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）巧解平面向量最值的 5 种方法向量是既有大小又有方向的量，具有几何和代数形式的“双重性”，常作为工具来解决其他知识模块的问题在历年高考中都会对该部分内容进行考查，解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解决基于平面向量的双重性，一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【例】若
17、 a，b，c 均为单位向量，且 ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A 21 B1 C.2 D2第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】解法 1：目标不等式法因为|a|b|c|1，ab0，所以|ab|2a2b22ab2，故|ab|2.展开(ac)(bc)0，得 ab(ab)cc20，即 0(ab)c10，整理，得(ab)c1.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）而|abc|2(ab)22(ab)cc232(ab)c，所以 32(ab)c3211.所以|abc|21，即|abc|1.解法 2：向量基底法
18、取向量 a，b 作为平面向量的一组基底，设 cmanb.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）由|c|1，即|manb|1，可得(ma)2(nb)22mnab1，由题意，知|a|b|1，ab0.整理，得 m2n21.而 ac(1m)anb，bcma(1n)b，故由(ac)(bc)0，得(1m)anbma(1n)b0.展开，得 m(m1)a2n(n1)b20，即 m2mn2n0，又 m2n21，故 mn1.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）而 abc(1m)a(1n)b，故|abc|2(1m)a(1n)b2(1m)2a22(
19、1m)(1n)ab(1n)2b2(1m)2(1n)2m2n22(mn)232(mn)又 mn1，所以 32(mn)1.故|abc|21，即|abc|1.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解法 3：坐标法因为|a|b|1，ab0，所以a，b2.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）设OA a，OB b，OC c，因为 ab，所以 OAOB.分别以OA，OB 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 a(1,0)，b(0,1)，则 A(1,0)，B(0,1)设 C(x，y)，则 c(x，y)，且 x2y21
20、.则 ac(1x，y)，bc(x,1y)，故由(ac)(bc)0，得(1x)(x)(y)(1y)0，整理，得 1xy0，即 xy1.而 abc(1x,1y)，则|abc|1x21y2 32xy.因为 xy1，所以 32(xy)1，即|abc|1.所以|abc|的最大值为 1.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解法 4：三角函数法因为|a|b|1，ab0，所以a，b2.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）设OA a，OB b，OC c，因为 ab，所以 OAOB.分别以OA，OB 所在的直线为 x 轴、y 轴建立坐标系，如
21、图所示，则 a(1,0)，b(0,1)，A(1,0)，B(0,1)因为|c|1，设COA，所以 C 点的坐标为(cos，sin)则 ac(1cos，sin)，bc(cos，1sin)，故由(ac)(bc)0，得(1cos)(cos)(sin)(1sin)0，整理，得 sincos1.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）而 a b c (1 cos，1 sin)，则|a b c|1cos21sin2 32sincos.因为 sincos1，所以 32(sincos)1，即|abc|1，所以|abc|的最大值为 1.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总
22、复习 新课标版 数学（文）解法 5：数形结合法设OA a，OB b，OC c，因为|a|b|c|1，所以点 A，B，C 在以 O 为圆心、1 为半径的圆上易知CA ac，CB bc，|c|OC|.第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）第四章第三节第2课时系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）由(ac)(bc)0，可知CA CB 0，则2BCA(因为 A，B，C 在以 O 为圆心的圆上，所以 A，B，C 三点不能共线，即BCA)，故点 C 在劣弧 AB 上由 ab0，得 OAOB，设ODab，如图所示，因为 abcOD OC CD，所以|abc|CD|，即|abc|为点 D 与劣弧 AB 上一点 C 的距离，显然，当点 C 与 A 或 B 点重合时，CD 最长且为 1，即|abc|的最大值为 1.【答案】B
