1、2020-2021年上海市上海中学高二下3月月考一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果。1.已知复数z满足（为虚数单位），则_.2.若的二项展开式中有一项为，则_.3.计算：_.4.甲、乙，丙三项任务，甲需要2人承担，乙和丙各需要1人承担，从10个人中选出4人去完成这三项任务，共有_种不同的安排方式.5.一个口袋中装有大小相同的编号球，其中5个是白球，4个是黑球，从中任取3个球，取出的球都是白球的概率是_.6某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是_.
2、7.下列判断中：三点确定一个平面；一条直线和一点确定一个平面；两条直线确定一个平面；三角形和梯形一定是平面图形；四边形一定是平面图形；六边形一定是平面图形；两两相交的三条直线确定一个平面其中正确的是_.8.从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为_.9.将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是其中一种填法，则不同的填写方法共有_种.10.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高和体重”，“立定跳远”、“肺活量”“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力项目”，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各
3、测试一人，则不同的安排方式共有_种（用数字作答）11.设，分别是双曲线（，）的左、右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则_.12.已知，为不垂直的异面直线，是一个平面，则，在上的射影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点.正确结论的编号为_.（写出所有正确结论的编号）二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13.现有乒乓球女运动员5名和男运动员6名，从中选出4人进行混合双打比赛，则不同的对阵安排有（ ）种A. B. C. D.14.设，是两条不同的直线，
4、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A.若，则；B.若，则；C.若，则；D.若，且，点，直线，则；15.有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示如果记3的对面的数字为，4的对面的数字为，那么的值为（ ） A.3 B.7 C.8 D.1116.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）A.60 B.90 C.120 D.130三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17.（14分）如图，长方体中，点为的中点.（1）求证：直线平面；（2）求异面直线与所成角的大小.18.用0-9这十
5、个数字组成没有重复数字的正整数.（1）共有多少个三位数？并求所有三位数的和；（2）末位数字是4的三位数有多少？（3）四位偶数有多少？（4）比5231大的四位数有多少？19.已知10件产品中有2件次品，（1）任意取出4件产品检验，求其中恰有1件次品的概率；（2）为了保证使2件次品全部检验出的概率在0.6以上，至少应抽取几件产品作检验？20.若（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.21.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，为上的一点.（1）若点的坐标为，求的面积；（2）若点的坐标，且直线与交于两不同点、，求证：为定值，并求出该定值；（3）如右图，设点的坐标为，过坐标原点作圆：（其中为定值，且）的两
6、条切线，分别交于点，直线，的斜率分别记为，.如果为定值，试问：是否存在锐角，使得若存在，试求出的一个值；若不存在，请说明理由.2020-2021年上海市上海中学高二下3月月考答案及其解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果。1.【答案】：【解析】：，所以.2.【答案】：60【解析】：展开式的通项为，令，解得，所以.3.【答案】：46【解析】：由题意得，解得，又，所以，所以.4.【答案】：2520【解析】：（方法1）先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出1人承担任务丙
7、.根据分步乘法计数原理知，不同的选法共有种.（方法2）先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理知，不同的选法共有种.5.【答案】：【解析】：取出的球都是白球的概率是.6.【答案】：【解析】：这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是.7.【答案】：8.【答案】：【解析】：9.【答案】：12【解析】：由题意，可按分步原理计数，第一步，第一行第一个位置可从1，2，3三个数字中任意选一个，有三种填法，第二步，第一行第二个位置可从余下两个数字中选一个，有二种填法.第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上数字同，故其有两种填法，第四步，第二行第
8、二个位置，由于不能与第一行第二个数字同也不能与第二行第一个数字同，故它只能有一种填法.第五步，第三行第一个数字不能与第一行与第二行的第一个数字同，故其只有一种填法，第六步，此时只余下一个数字，故第三行第二列只有一种填法.由分步原理知，总的排列方法有种.10.【答案】：264【解析】：上午的总测试方法有种，我们以，依次代表五个测试项目，若上午测试的下午测试，则上午测试的下午只有测试，此种测试方法共有2种；若上午测试的同学下午测试，之一，则上午测试，中任何一个的下午都可以测试，安排完这个同学后其余两个同学的测试方式就确定了，故共有种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法原理，总的测试方
9、法共有种.11.【答案】：【解析】：（方法1）因为，由双曲线的定义得过点作于点，由等腰三角形三线合一，知又，所以，双曲线的渐近线方程为，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，所以，所以.（方法2）双曲线的渐近线方程为，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，所以，所以，.由双曲线的定义得，由余弦定理得.12.【答案】：二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13.【答案】：C【解析】：对阵安排有种，故选C.14.【答案】：C15.【答案】：C【解析】：，故选C.16.【答案】：D【解析】：因为，且，所以可以取1，2，
10、3，当时，中有1个，其余为0，共有种；当时，中有2个，其余为0，共有种；当时，中有3个，其余为0，共有种；故共有个元素，故选D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17.【答案】：见解析【解析】：（1）设和交于点，则为的中点，连结，又因为是的中点，故又因为平面，平面，所以直线平面（2）由（1）知，所以异面直线与所成的角等于与所成的角，故即为所求：因为，且所以.所以即异面直线与所成角的大小为（）.18.【答案】：见解析【解析】：（1）百位不能为0，共有个三位数，考虑每个数位上的数字之和，所有三位数的和为；（2）末位数字是4的三位数有个；（3）
11、四位偶数有个；（4）千位上为9，8，7，6的四位数各有个；千位上是5，百位上为3，4，6，7，8，9的四位数各有个；千位上是5，百位上为2，十位上为4，6，7，8，9的四位数各有个；千位上是5，百位上为2，十位上为3且满足要求的共有5个，因此共有个.19.【答案】：见解析【解析】：（1）其中恰有1件次品的概率；（2）设应抽取件产品作检验，则，得，解得，所以至少应抽取8件产品作检验.20.【答案】：见解析【解析】：（1）令，得；（2）令，得（*），令，得（*），（*）（*），并除以2，得，因为，所以；（3）（*）（*），并除以2，得，所以.21.【答案】：见解析【解析】：（1）由题意得，因为，所
12、以，又，的坐标分别为，所以的面积；（2）设，由得，显然，且，又，所以，即为定值；（3）满足的锐角不存在，理由如下：因为直线：与圆相切，所以，即，同理，由直线：与圆相切，得，所以，是关于的方程的两实根，注意到，且，所以，下面有两种方法处理为定值；法一：因为为定值，故不妨设（定值），于是有，即，注意到变化，而，均为定值，所以，解得，；法二：，注意到变化，而为定值上，所以若为定值，必有分子分母的系数和常数成比例，即，解得，；接下来的基础上处理，法一：（以斜率为参数）设，由得，同理，所以，即，故；法二：（以三角为参数）设，所以，即，所以，即（），所以，所以；法三（以点为参数）设，则，故，因为，在椭圆上，所以，即，所以，所以，由基本不等式得；综上，有，又为锐角，所以，故不存在锐角，使得.
