1、专题检测四概率与统计一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022陕西西安三模)现工厂决定从20只相同的“冰墩墩”,15只相同的“雪容融”和10个相同的北京2022年冬奥会会徽中,采用分层随机抽样的方法,抽取一个容量为n的样本进行质量检测,若“冰墩墩”抽取了4只,则n为()A.12B.8C.5D.92.(2022陕西西安三模)甲、乙两个跑步爱好者记录了去年下半年每个月的跑步里程(单位:公里),现将两人的数据绘制成如图所示的折线图,则下列结论错误的是()A.甲跑步里程的极差等于110B.乙跑步里程的中位数是273C.分别记甲、
2、乙跑步里程的平均数为m1,m2,则m1m2D.分别记甲、乙跑步里程的标准差为s1,s2,则s1s23.(2022辽宁葫芦岛一模)有一组样本数据x1,x2,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,n),c为非零常数,则()A.两组样本数据的样本方差相同B.两组样本数据的样本众数相同C.两组样本数据的样本平均数相同D.两组样本数据的样本中位数相同4.(2022重庆八中模拟)某地区经过一年的发展建设,经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区的经济收入变化情况,统计了该地区发展建设前后的经济收入构成比例,得到如下扇形统计图,则下面结论不正确的是()建设前
3、经济收入构成比例建设后经济收入构成比例A.发展建设后,种植收入有所下降B.发展建设后,第三产业增幅最大C.发展建设后,养殖收入增加了一倍D.发展建设后的养殖收入等于建设前的种植收入5.甲、乙两队进行羽毛球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能得到冠军,若甲队每局获胜的概率为13,则甲队获得冠军的概率为()A.49B.59C.23D.796.(2022吉林长春模拟)我国是世界上严重缺水的国家之一,某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a(单位:t),用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费,如果当地政府希
4、望使80%以上的居民每月的用水量不超出该标准,为了科学合理确定出a的数值,政府采用抽样调查的方式,绘制出100位居民全年的月均用水量(单位:t)的频率分布直方图如图,通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况,可推断标准a大约为()A.2.4B.2.6C.2.8D.3.27.(2022云南曲靖二模)北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行,这是中国继北京奥运会、南京青奥会后,第三次举办的奥运赛事,之前,为助力冬奥,增强群众的法治意识,提高群众奥运法律知识水平和文明素质,让法治精神携手冬奥走进千家万户,某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥法治同行”主题法治宣传教育活动.该活动
5、采取线上线下相结合的方式,线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题,线下有“冬奥普法”知识讲座,实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目,每个题目2分,满分60分,现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1 000名市民,将他们的作答成绩分成6组:0,10),10,20),20,30),30,40),40,50),50,60.并绘制了如图所示的频率分布直方图.估计被抽取的1 000名市民作答成绩的中位数是()A.40B.30C.35D.458.(2022云南德宏期末)甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示(如图1),茎叶图中甲的得
6、分有部分数据丢失,但甲得分的折线图(如图2)完好,则下列结论正确的是()图1图2A.甲得分的极差是11B.甲的单场平均得分比乙低C.甲有3场比赛的单场得分超过20D.乙得分的中位数是16.59.(2022山西吕梁三模)某车间加工某种机器的零件数x(单位:个)与加工这些零件所花费的时间y(单位:min)之间的对应数据如下表所示:x/个1020304050y/min6268758189由表中的数据可得回归直线方程y=bx+54.9,则加工70个零件比加工60个零件大约多用()A.5.8 minB.6 minC.6.7 minD.8 min10.(2022江西二模)有甲、乙、丙、丁4名学生志愿者参加
7、2022年北京冬奥会志愿服务,志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务,假设每个项目至少安排一名志愿者,且每位志愿者只能参与其中一个项目,求在甲被安排到了冰壶的条件下,乙也被安排到冰壶的概率()A.16B.14C.29D.13611.(2022全国乙理10)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3p2p10.记该棋手连胜两盘的概率为p,则()A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙
8、比赛,p最大12.某初级中学有700名学生,在2021年秋季运动会中,为响应全民健身运动的号召,要求每名学生都必须在“立定跳远”与“仰卧起坐”中选择一项参加比赛.根据报名结果知道,有12的男生选择“立定跳远”,有34的女生选择“仰卧起坐”,且选择“立定跳远”的学生中女生占25,则参照附表,下列结论正确的是()附:P(K2k0)0.100.050.025k02.7063.8415.024K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.A.在犯错误的概率不超过2.5%的前提下,认为选择运动项目与性别无关B.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为选择运动项目与性
9、别无关C.有97.5%的把握认为选择运动项目与性别有关D.没有95%的把握认为选择运动项目与性别有关二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2022全国乙理13)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为.14.(2022河南西平中学模拟)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数与平均数的和为.15.下表是2017年2021年我国新生儿数量统计:年份x20172018201920202021数量y/万1 7231 5231 4651 2001 062研究发现这几年的新生儿数量与年份有较强的线性关系,若求出的回归方程为y=
10、bx+333 520,则说明我国这几年的新生儿数量平均约以每年万的速度递减(结果保留一位小数).16.(2022四川成都模拟)部分省份已经进入新高考模式,即“3+1+2”模式,其中“3”为学生必考科目语文、数学、外语,“1”为首选科目,学生须在物理、历史中选择一科,“2”为再选科目,学生可在化学、生物学、思想政治、地理中选择两科.若某位同学选择物理的概率为23,选择历史的概率为13,再选科目从四科中随机选两科,则这个学生选择物理且化学和生物学至少选一科的概率为.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022黑龙江齐齐哈尔二模)家庭教育是现
11、代基础教育必不可少的一个重要组成部分,家庭教育指导师成为一个新兴的行业.因为疫情的影响,某家庭教育指导师培训班转为线上教学.已知该培训班推出网课试听的收费标准为每课时100元,现推出学员优惠活动,具体收费标准如下(每次听课1课时):第n次课第1次课第2次课第3次课第4次课或之后收费比例0.90.80.70.6现随机抽取100位学员并统计他们的听课次数,得到数据如下:听课课时数1课时2课时3课时不少于4课时频数50201020假设网课的成本为每课时50元.(1)根据以上信息估计1位学员消费三次及以上的概率;(2)若一位学员听课4课时,求该培训班每课时所获得的平均利润.18.(12分)(2022湖
12、南湘潭三模)某校篮球社组织一场篮球赛,参赛队伍为甲、乙两队,比赛实行三局两胜制,已知甲队赢得每一局比赛的概率为p(0p1),且最终甲队获胜的概率为98p.(1)求乙队赢得每一局比赛的概率.(2)在每一局比赛中,赢的队伍得2分,输的队伍得1分.用X表示比赛结束时两支球队的得分总和,求随机变量X的分布列和期望.19.(12分)(2022山东济宁二模)为研究某种疫苗A的效果,现对100名志愿者进行了实验,得到如下数据:类型未感染病毒B感染病毒B合计接种疫苗A401050未接种疫苗A203050合计6040100(1)根据小概率值=0.001的独立性检验,分析疫苗A是否有效?(2)现从接种疫苗A的50
13、名志愿者中按分层随机抽样方法取出10人,再从这10人中随机抽取3人,求这3人中感染病毒B的人数X的分布列和数学期望.参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考数据:P(K210.828)=0.001.20.(12分)(2022陕西咸阳三模)为了解企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系,某平台对45家企业进行跟踪调查,其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家,余下的企业中,每天的销售额不足30万元的企业占35,统计后得到如下22列联表:线上销售时间销售额合计不少于30万元不足30万元不少于8小时1720不足8小时合计45
14、(1)请完成上面的22列联表,能否有99%的把握认为企业每天的销售额与每天线上销售时间有关?(2)按销售额在上述企业中采用分层抽样方法抽取5家企业.在销售额不足30万元的企业中抽取时,记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X,求X的分布列和数学期望.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.100.0100.001k02.7066.63510.82821.(12分)(2022四川泸州二模)某地种植的脆红李在今年获得了大丰收,质监部门从今年收获的脆红李中随机选取100千克,进行质量检测,根据检测结果制成如图所示的频率分布
15、直方图.下表是脆红李的分级标准,其中一级品、二级品统称为优质品.等级四级品三级品二级品一级品脆红李横径/mm20,25)25,30)30,35)35,40经销商与某农户签订了脆红李收购协议,规定如下:从一箱脆红李中任取4个进行检测,若4个均为优质品,则该箱脆红李定为A类;若4个中仅有3个优质品,则再从该箱中任意取出1个,若这一个为优质品,则该箱脆红李也定为A类;若4个中至多有一个优质品,则该箱脆红李定为C类;其他情况均定为B类.已知每箱脆红李重量为10千克,A类、B类、C类的脆红李价格分别为每千克10元、8元、6元.现有两种装箱方案,方案一:将脆红李采用随机混装的方式装箱;方案二:将脆红李按一
16、、二、三、四等级分别装箱,每箱的分拣成本为1元.以频率代替概率解决下面的问题.(1)如果该农户采用方案一装箱,求一箱脆红李被定为A类的概率;(2)根据统计学知识判断,该农户采用哪种方案装箱收入更多,并说明理由.22.(12分)(2022新疆昌吉二模)数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏,玩家需要根据99盘面上的已知数字,推理出所有剩余空格的数字,并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(33)内的数字均含1至9且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.(1)赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练,每天的解题平均速度y(单位:秒)与训练天数x(单位:天)有关,经统计得
17、到如表的数据:x/天1234567y/秒990990450320300240210现用y=a+bx作为回归方程模型,请利用表中数据,求出该回归方程,并预测小明经过100天训练后,每天解题的平均速度y约为多少秒?(2)小明和小红在数独APP上玩“对战赛”,每局两人同时开始解一道数独题,先解出题的人获胜,两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为23,已知在前3局中小明胜2局,小红胜1局.若不存在平局,请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据其中ti=1xi:i=17tiyiti=17ti2-7t21 8450.370.55参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn
18、),其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=1nuivi-nuvi=1nui2-nu2,=v-u.专题检测四概率与统计1.D解析: 201510=432,由于“冰墩墩”抽取了4只,所以“雪容融”抽取了3只,“冬奥会会徽”抽取了2只.所以n=4+3+2=9.故选D.2.C解析: 甲跑步里程的极差为313-203=110,A正确;乙跑步里程的中位数为280+2662=273,B正确;甲跑步里程的平均数m1=313+254+217+245+203+3016=255.5,乙跑步里程的平均数m2=293+280+262+283+255+2666273.2,所以m1s2,D正确.故选C.3
19、.A解析: 原样本平均数x=1n(x1+x2+xn),新样本平均数y=1n(y1+y2+yn)=x+c,C错误;原样本方差为s12=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,新样本方差为s22=1n(y1-y)2+(y2-y)2+(yn-y)2=s12,A正确;设原样本众数为a,则新样本众数为a+c,B错误;设原样本中位数为b,则新样本中位数为b+c,D错误.故选A.4.A解析: 设建设前经济收入为a.建设后种植收入为37%2a=0.74a,建设前种植收入为60%a=0.6a0.74a,种植收入增加,故A错误;建设后,种植收入占比降低,养殖收入占比持平,其他收入增长1%,第三产业收入
20、增长22%,故B正确;养殖收入建设前为0.3a,建设后为0.32a=0.6a,养殖收入增加了一倍,故C正确;建设后,养殖收入为0.32a=0.6a,建设前,种植收入为0.6a=0.6a,二者相等,故D正确.故选A.5.B解析: 由题意知,每局甲队获胜的概率为13,乙队获胜的概率为23,至少在两局内甲队赢一局,甲队才能获得冠军,当第一局甲队获胜,其概率为13;当第一局甲队输,第二局甲队赢,其概率为2313=29.甲队获得冠军的概率为13+29=59.故选B.6.B解析: 前5组的频率之和为(0.12+0.20+0.30+0.44+0.50)0.5=0.780.8,则2.5a0.5,因此中位数在3
21、0,40)上,设中位数是n,则n-3040-300.3+0.35=0.5,解得n=35,故选C.8.D解析: 对比图1与图2,甲得分10以下的情况有1种,即为9,甲得分25以上的情况有2种,即为26,28,所以甲得分的极差为28-9=19,A错误;根据茎叶图和折线图可知,甲的单场平均得分大于9+12+13+20+26+28+10+158=16.625,乙的单场平均得分为9+14+15+18+19+17+16+208=16,B错误;甲有2场比赛的单场得分超过20,C错误;对于D,乙的中位数为16+172=16.5,D正确.故选D.9.C解析: 由表中的数据,得x=10+20+30+40+505=
22、30,y=62+68+75+81+895=75,将x,y代入y=bx+54.9,得b=0.67,所以加工70个零件比加工60个零件大约多用70b+54.9-(60b+54.9)=10b=6.7(min).故选C.10.A解析: 用事件A表示“甲被安排到了冰壶”,B表示“乙被安排到了冰壶”,在甲被安排到了冰壶的条件下,乙也被安排到冰壶就是在事件A发生的条件下,事件B发生,积事件AB包含的样本点数n(AB)=A22=2,事件A发生的样本点数n(A)=C32A22+A33=12,所以在甲被安排到了冰壶的条件下,乙也被安排到冰壶的概率为P(B|A)=n(AB)n(A)=212=16.故选A.11.D解
23、析: 当该棋手在第二盘与甲比赛时,p=2p1p2(1-p3)+p1p3(1-p2)=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3;当该棋手在第二盘与乙比赛时,p=2p2p1(1-p3)+p2p3(1-p1)=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3;当该棋手在第二盘与丙比赛时,p=2p3p1(1-p2)+p3p2(1-p1)=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.由p3p2p10,可知该棋手在第二盘与丙比赛,p最大.12.C解析: 设该校男生人数为x,女生人数为y,则可得如下表格:性别立定跳远仰卧起坐总计男生12x12xx女生14y34yy总计12x+14y12x+34yx+y由题意知14y12x+
24、14y=25,即yx=43,又x+y=700,解得x=300,y=400,则K2的观测值k=700(150300-150100)230040025045046.6675.024,所以有97.5%的把握认为选择运动项目与性别有关.故选C.13.310解析: 所求概率为C31C53=310.14.183解析: 这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96,中位数是91+922=91.5,平均数为x=87+89+90+91+92+93+94+968=91.5.这组数据的中位数与平均数的和为183.15.164.5解析: 由题中的数据,可得x=2 019,y=1 394.6,由
25、回归直线的性质知1 394.6=2 019b+333 520,所以b-164.5,所以我国这几年的新生儿数量平均约以每年164.5万的速度递减.16.59解析: 这个学生选择物理的概率为23,记这个学生选择化学不选生物学的概率为p1,记这个学生选择生物学不选化学的概率为p2,记这个学生选择化学和生物学的概率为p3,则p1=C11C21C42=13,p2=C11C21C42=13,p3=C22C42=16,所以这个学生选择物理且化学和生物学至少选一科的概率为P=23(p1+p2+p3)=2313+13+16=59.17.解 (1)由题知,在100名学员中听课三次及以上的有30人,故1位学员消费三
26、次及以上的概率大约为30100=0.3.(2)当一位学员听课4课时时,学费为100(0.9+0.8+0.7+0.6)=300(元),网课成本共504=200(元),所以培训班每课时所获得的平均利润为300-2004=25(元).18.解 (1)由题可知,甲队以20的比分获胜的概率为p2,甲队以21的比分获胜的概率为C21(1-p)p2=2p2-2p3.因为甲队获胜的概率为98p(0p10.828,因为当假设H0成立时,P(K210.828)=0.001,所以根据小概率值=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即疫苗A有效,此推断犯错误的概率不大于0.001.(2)从接种疫苗A的50名志愿
27、者中按分层随机抽样方法取出10人,其中未感染病毒B的人数为104050=8,感染病毒B的人数为101050=2.则X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=C83C103=56120=715,P(X=1)=C82C21C103=56120=715,P(X=2)=C81C22C103=8120=115,所以X的分布列为X012P715715115故随机变量X的数学期望为E(X)=0715+1715+2115=35.20.解 (1)由题意,可得下面的22列联表:线上销售时间销售额合计不少于30万元不足30万元不少于8小时17320不足8小时101525合计271845根据上面的列联表得K2的观测
28、值k=45(1715-103)220252718=9.3756.635,故有99%的把握认为企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关.(2)从销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数为3,2,则随机变量X的可能取值为0,1,2,可得P(X=0)=C152C182=3551,P(X=1)=C31C151C182=517,P(X=2)=C32C182=151,所以随机变量X的分布列为X012P3551517151所以数学期望E(X)=03551+1517+2151=13.21.解 (1)由频率分布直方图可得任取一只脆红李,其为优质品的概率为(0.04+0.06)5=0.
29、5,设该农户采用方案一装箱,一箱脆红李被定为A类的概率为P=0.54+C430.530.50.5=316.(2)设该农户采用方案一时每箱收入为Y1,则Y1可取60,80,100,而P(Y1=100)=316,P(Y1=60)=C400.54+C410.54=516,P(Y1=80)=1-316-516=12,故E(Y1)=3100+560+88016=77.5(元).该农户采用方案二时,由题意得一、二、三、四等级的脆红李所占比例分别为0.2,0.3,0.4,0.1,一、二等级对应A类,三、四等级对应C类,则每箱的平均收入为1010(0.2+0.3)+610(0.4+0.1)-1=79(元),因
30、为77.579,故采用方案二时收入更多.22.解 (1)由题意,y=17(990+990+450+320+300+240+210)=500,令t=1x,则y关于t的线性回归方程为y=bt+a,则b=i=17tiyi-7tyi=17ti2-7t2=1 845-70.375000.55=1 000,则a=y-bt=500-1 0000.37=130.y=1 000t+130,又t=1x,y关于x的回归方程为y=1 000x+130,故x=100时,y=140.经过100天训练后,每天解题的平均速度y约为140秒.(2)设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛,则最后一局一定是小明获胜,由题意知,最多再进行4局就有胜负.当X=2时,小明41胜,P(X=2)=2323=49;
