1、2.9 函数模型及其应用考纲要求 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 1几类常见函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)三种基本初等函数模型的性质 2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际
2、问题的意义 以上过程用框图表示如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(2)幂函数增长比直线增长更快()(3)不存在 x0，使 ax0 xn0logax0.()(4)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度()(5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()(6)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
3、(6)1(2017广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y 0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21 Cy2x2Dylog2x【解析】根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意故选D.【答案】D 2(2017福建八县(市)一中上学期半期联考)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能
4、是()【解析】由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回家故选D.【答案】D【答案】D 3某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.pq2B.（p1）（q1）12C.pqD.（p1）（q1）1【解析】设年平均增长率为 x，则(1x)2(1p)(1q)，x（1p）（1q）1.4用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A3B4 C6D12【答案】A【解析】设隔墙的长度为 x(0 x6)，矩形面积为 y，则 yx244x22
5、x(6x)2(x3)218，当 x3 时，y 最大 5(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时【答案】24【解析】由题意得eb192，e22kb48，e22k 4819214，e11k12，x33 时，ye33kb(e11k)3eb123eb1819224.题型一 用函数图象刻画变化过程【例1】(1)(2017九江模拟)设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在
6、乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()(2)(2017日照模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()【解析】(1)y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的
7、切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.【答案】(1)D(2)B【方法规律】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 跟踪训练1 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数Sf(x)的图象是()【解析】依题意知当0 x4时，f(x)2x；当4x8时，f
8、(x)8；当8x12时，f(x)242x，观察四个选项知，选D.【答案】D 题型二 已知函数模型的实际问题【例2】(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是()A16小时 B20小时 C24小时D28小时【解析】由已知得 192eb，48e22kbe22keb，将代入得 e22k14，则 e11k12，当 x33 时，ye33kbe33keb12319224，所以该食品在 33 的保鲜时间是 24 小时故
9、选 C.【答案】C【方法规律】求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题 跟踪训练 2“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的已知某品牌商品靠广告销售的收入 R 与广告费 A 之间满足关系 Ra A(a 为常数)，广告效应为 Da AA.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为_(用常数 a 表示)【解析】令 t A(t0)，则 At2，Datt2t12a214a2.当 t12a，即 A14a2 时，D 取得最大值【答案】14a2题型三 构造函数
10、模型的实际问题命题点 1 构建二次函数模型【例 3】(2017辽宁五校联考)一个人以 6 米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车 25 米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间 t 内的路程为 s12t2 米，那么，此人()A可在 7 秒内追上汽车B可在 9 秒内追上汽车C不能追上汽车，但期间最近距离为 14 米D不能追上汽车，但期间最近距离为 7 米【答案】D【解析】已知 s12t2，车与人的间距 d(s25)6t12t26t2512(t6)27.当 t6 时，d 取得最小值 7.命题点2 构建指数函数、对数函数模型【例4】(1)(2016四川)
11、某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年B2019年 C2020年D2021年(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A略有盈利 B略有亏损 C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况【解析】(1)设第 n(nN*)
12、年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元 根据题意得 130(112%)n1200，则 lg130(112%)n1lg 200，lg 130(n1)lg 1.12lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，0.11(n1)0.050.30，解得 n245，又nN*，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是2019 年故选 B.(2)设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n元，经历n次跌停后的价 格 为 a1.1n(1 10%)n a1.1n0.9n a(1.10.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏
13、损【答案】(1)B(2)B 命题点3 构建分段函数模型【例5】(2016辽宁锦州期末)国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税，已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为()A2 800元B3 000元 C3 800元D3 818元 令(x800)0.14420，解得x3 800，令0.112x420，得x3 750(舍去)，故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元故选C.【答案】C【解析】由题意知，纳税额 y 与稿费 x 之间的函数关系式为 y0，x8
14、00，0.14（x800），800 x4 000，0.112x，x4 000.【方法规律】构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制 跟踪训练3(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过_小时才能开车(精确到1小时)(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5
15、万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A10B11 C13D21【解析】(1)设经过x小时才能开车 由题意得0.3(125%)x0.09，0.75x0.3，xlog0.750.34.19.x最小为5.(2)设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，【答案】(1)5(2)A 则 x 年后的设备维护费用为 242xx(x1)，所以 x 年的平均费用为 y1000.5xx（x1）x x100 x 1.5，由基本不等式得 yx100 x 1.52 x100 x 1.
16、5 21.5，当且仅当 x100 x，即 x10 时取等号，所以选 A.答题模板系列 2函数应用问题【典例】(12 分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 万部还需另投入 16 万美元设公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为 R(x)万美元，且 R(x)4006x，0 x40，7 400 x40 000 x2，x40.(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润【思维点拨】根据题意，要利用分段函数求最大利润列出解析式后，比较
17、二次函数和“对勾”函数的最值的结论【规范解答】(1)当0 x40时，WxR(x)(16x40)6x2384x40，(2分)当x40时，WxR(x)(16x40)40 000 x16x7 360.所以 W6x2384x40，0 x40，40 000 x16x7 360，x40.(4 分)(2)当 0 x40 时，W6(x32)26 104，所以 WmaxW(32)6 104；(6 分)当 x40 时，W40 000 x16x7 360，由于40 000 x16x2 40 000 x16x1 600，当且仅当40 000 x16x，即x50(40，)时，取等号，所以W取最大值为5 760.(10分
18、)综合知，当x32时，W取得最大值6 104万元(12分)【答题模板】解函数应用题的一般程序 第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：解模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性【温馨提醒】(1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.方法与技巧 1认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础 2实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值 3解函数应用题的五个步骤：审题；建模；解模；还原；反思 失误与防范 1函数模型应用不当，是常见的解题错误所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型 2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 3注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
