1、高考资源网( ),您身边的高考专家解析几何试题致错的原因剖析一、概念理解不透彻致错例1 已知是圆上的一个定点,是圆外的一个定点,则方程所表示的曲线是A. 直线 B.圆 C. 椭圆 D. 双曲线错解 A。剖析曲线的方程的概念的理解不透彻,概念不清,不知所云.因为是圆上的一个定点,所以,同理是一个不为零的常数。正解为B。变式1下列四个命题中,假命题是A. 经过定点的直线不一定都可以用方程表示;B. 经过两个不同的定点的直线都可以用方程表示;C. 与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程表示;D. 经过定点的直线都可以表示为。答案 D。二、忽视直线倾斜角的范围致错例2直线的倾斜角的取值范围是A. B
2、. C. D.错解由题意知,所以倾斜角的取值范围是。剖析忽视直线的倾斜角定义的范围,或者由斜率的范围结合正切函数图象求倾斜角的范围出现错误。由题意知,结合正切函数图象,当时,直线的倾斜角;当时,直线的倾斜角。故倾斜角的取值范围是,正确答案为D.变式2直线的倾斜角的取值范围是。答案。三、忽视直线的特殊情形致错例3 已知点,圆,若直线过点且与圆心的距离为1,求直线的方程。错解设直线的方程为,即,易知圆心,则,所以直线的方程为。剖析我们习惯上设直线的斜率为,殊不知,这恰恰忽视了直线斜率不存在的特殊情形。当直线的斜率不存在时,直线方程为,所以圆心到直线的距离为1,显然符合题意。正确答案是直线的方程为或
3、。变式3经过且与圆相切的直线方程是。答案或。四、忽视曲线系的特性致错例4 (2015江苏)在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为。错解由题意可知,当且仅当时取等号,此时,因此圆的标准方程为.剖析上述解答过程中,只有当时才成立,显然是不严谨的。直线方程整理可得,其实质是过定点的直线系,圆心为。显然,当圆与直线相切于点时,半径最大,因此圆的标准方程为.变式4已知定点和直线,求证:点到直线的距离不大于。答案直线的方程即,显然直线恒过直线与的交点,于是点到直线的距离均不大于两点之间的距离。五、忽视圆锥曲线的概念致错例5已知椭圆的准线是,对应的焦点为,离心率为,则
4、椭圆的方程为。错解1因为焦点为,所以,又椭圆的准线是,所以,故椭圆的方程为。错解2因为焦点为,所以,又离心率为,所以,故椭圆的方程为。剖析学生的思维定势认为圆锥曲线的中心都是在坐标原点,因此求解轨迹方程要借助于图形进行分析,克服思维定势。由定义可得,化简整理得椭圆方程为,显然不是标准形式。变式5已知抛物线的准线是,对应的焦点为,则抛物线的方程为。答案。六、忽视隐含信息致错例6过原点的直线与圆相交于两点,求弦的中点的轨迹方程。错解设点,圆的圆心为,由题意知,则有,所以,化简得。剖析求解轨迹方程时,必须考虑轨迹上的每一个点是否符合题意,即轨迹方程的纯粹性。例题中弦的中点只能落在圆內,即弦最长时是通
5、过圆心的弦,弦最短时趋近与圆相切,因为是不同的两点,所以相切的情形要舍去。因为直线与圆相交,当时,使得弦为最长的弦,即圆的直径;当时,使得弦的长为0,即直线与圆相切,因此点的轨迹方程为。变式6等腰三角形的两腰的交点是,底边的一个端点是,求它的第三个顶点的轨迹方程。答案。七、基本量的意义不清致错例7已知双曲线以椭圆的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点,求双曲线的方程。错解因为椭圆的焦点为,设双曲线的方程为,所以,所求的双曲线的方程为和。剖析求曲线方程需先定型再定量。此解法没有正确确定双曲线的类型,也没有把握椭圆与双曲线的基本量的等量关系,椭圆中,而双曲线中满足。因为椭圆的焦点为在轴上,椭圆在轴上的顶
6、点是,所以双曲线的焦点也在轴上,不妨设设双曲线的方程为,所以,故双曲线的方程为。变式7椭圆经过点,且长轴是短轴的3倍,则椭圆的标准方程为。答案或。八、忽视几何特性致错例8(2014湖北)直线和将单位圆分成长度相等的四段弧,则_.错解因为单位圆的圆心到直线的距离为,所以,则,同理,故。剖析本题解答不能借助于平面几何知识加以分析,没有正确理解两条直线将圆分成长度相等的四段弧时的几何特性。依题意得,圆心O到两直线,的距离相等,且每段弧长等于圆周的,即,得,故。变式8若圆与圆相切,则的值为。A. B. C.3或5 D.或答案圆与圆相切可能是外切,也可能是内切,正确答案为D.变式9 已知集合,其中,若中
7、有且只有一个元素,则的值为。答案4或6.九、思维的不严谨致错例9已知双曲线,过点的直线与双曲线交于,试问是否存在线段的中点在直线上?如果存在,求出相应的值;如果不存在,请说明理由。错解设,直线为,代入双曲线得:,由题意知,因为,所以,即或,故直线为或时,线段的中点在直线上。剖析本题解答有如下的缺陷:1、过点的直线设为忽视了直线的斜率不存在的情形;2、过点的直线适宜设为(不含水平直线),可以减少运算量;3、直线的方程代入双曲线后的方程的判别式应有限制条件。设,直线为,代入双曲线得:,由题意知,因为,即,所以,所以,即,所以或(舍),故直线为时,线段的中点在直线上。变式10方程表示什么曲线?答案 (1)当时,表示焦点在轴上的双曲线;(2)当时,表示两条相交直线;(3)当时,表示焦点在轴上的双曲线;(4)若时,表示焦点在轴上的椭圆;(5)若时,表示圆;(6)若时,表示焦点在轴上的椭圆;(7)当时,表示焦点在轴上的双曲线欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。