1、福建省厦门市湖滨中学2020届高三数学下学期测试试题 理（含解析）1.复数（是虚数单位）的虚部为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，其虚部为，选.考点：复数概念，复数的四则运算.2.已知集合，则下边韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合B的解集，则图中阴影表示的是即可求解.【详解】由韦恩图可以看出，阴影部分是A中去掉B那部分所得，即阴影部分的元素属于A且不属于B，即为，集合，则所以故选：D【点睛】此题考查集合的韦恩图，关键点是将韦恩图用集合符号表示出来，属于简单题目.3.已知等差数列中，, 则（ ）A. B. C
2、. D. 【答案】C【解析】【详解】,.故选C.4.易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】列出图中的阴数、阳数，求出从阳数和阴数中各取一数的所有组合总数、满足差的绝对值为的组合数，利用古典概型概率计算公式求解即可.【详解】阳数为；阴数为，从阳数和阴数中各
3、取一数的所有组合共有个，满足差的绝对值为的有，共个，则.故选：A【点睛】本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题.5.若，则实数之间的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用中间1和2进行比较可得答案.【详解】因为，;所以.故选：A.【点睛】本题主要考查比较指数式和对数式的大小，一般是利用函数的单调性结合中间值进行比较，侧重考查数学抽象的核心素养.6.函数 ()的部分图象如图所示，若，且，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三角函数的图象求得，再根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】由图象可知， ，即，所以，即，又因为，则，解得，又
4、由，所以，所以，又因为，所以图中的最高点坐标为.结合图象和已知条件可知，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.下图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体的体积为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将正方体还原，即可得知多面体的形状，再根据棱锥的体积公式即可求出【详解】将正方体还原可得多面体的形状如图所示：所以故选：B【点睛】本题主要考查正方体的折叠与展开，以及棱锥的体积公式的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学
5、运算能力，属于基础题8. 从6名教师中选4名开发A、B、C、D四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A课程，则不同的选择方案共有（ ）A. 300种B. 240种C. 144种D. 96种【答案】B【解析】试题分析：依题意可得从除甲、乙外的四位老师中任取一位开发A课程共有种，再从剩下的5位老师中分别选3位开发其他项目共有.所以完成该件事共有种情况.考点：1.排列组合问题.2.有特殊条件要先考虑.9.已知点，若为双曲线的右焦点，是该双曲线上且在第一象限的动点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先设，根据题中所
6、给的双曲线方程，写出其右焦点坐标，之后求得，之后应用线性规划的思想，结合是该双曲线上且在第一象限的动点，从而求得其范围.【详解】设，因为为双曲线的右焦点，所以，所以，令，则是与渐近线平行的直线，直线过时，直线为渐近线时，因为是该双曲线上且在第一象限的动点，所以，即所求的取值范围为.故选：C【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的几何性质，向量数量积坐标运算式，应用线性规划的思想求范围，属于中档题目.10.给出下列四个命题：若样本数据的方差为，则数据的方差为；“平面向量的夹角为锐角，则”的逆命题为真命题；命题“，均有”的否定是“，均有”；是直线与直线平行的必要不充分条件其中
7、正确的命题个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据方差的性质即可判断；根据逆命题以及向量数量积的定义进行判断；根据全称命题的否定是特称命题进行判断；根据直线平行的等价条件进行判断.详解：若样本数据的方差为，则数据的方差为，故正确；命题的逆命题为：“若，则平面向量的夹角为锐角”，为假命题，当向量夹角为0度时，满足，故错误；命题“，均有”的否定是“，均有”，故正确；当时，直线方程分别化为：，此时两直线平行，当时，若两直线平行，则，解得，综上是直线与直线平行的充分不必要条件，故错误.故选B.点睛：四种命题的关系及真假判断(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与
8、结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性(2)判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断要判断一个命题是假命题，只需举出反例11.斐波那契数列满足：.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于A,由图可知， ，可得 ，A正确；对于B, ,所以B正确；对于C, 时， ；C错误；对于D, ,D正确.故选C.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察数列的各种性质
9、及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.12.若关于的不等式的解集为，且，则整数的最大值是A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】原题等价于对于任意的恒成立设先考虑两曲线相切的情况设切点为，则有，所以化简得，设，易知在上单调递增，则，所以切线的斜率为的取值范围为（4,5），故整数k的最大值为4选C.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单
10、调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.13.设非零向量满足，且，则向量与的夹角为_【答案】【解析】【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可【详解】非零向量满足，且，可得，可得，所以，因为，所以与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的运算法则的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力，属于中档题14.若,则=_.【答案】32【解析】分析】观察题中所给的式子，令，即为的值，求得结果.【详解】，令，可得，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题
11、，涉及到的知识点有利用赋值法求特定项的系数，属于基础题目.15.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则_.【答案】【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数的几何意义可知，再利用，变形为，再上下同时除以，化简求值.【详解】由，在点处切线斜率，即所以.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，三角函数的化简求值，重点考查计算能力，属于基础题型.16.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan AMB=2，则|AB|=_.【答案】.【解析】试题分析：根据对称性，如下图所示，设：，由，又，故填：.【考点】本题主要考查抛物线的标准方程及其
12、性质17.在ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列若（1）求角B的值；（2）数列满足，前项和为，求值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出；（2）由（1）可得，再利用等比数列求和公式计算可得；【详解】解：(1)由已知， 由得，又a，b，c成等比数列，. (2)【点睛】本题考查正弦定理解三角形，等比中项的性质以及等比数列求和公式的应用，属于基础题.18.根据国家环保部新修订的 环境空气质量标准规定：居民区的年平均浓度不得超过微克/立方
13、米，的小时平均浓度不得超过微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区年天的小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如下表：组别浓度（微克/立方米）频数（天）频率第一组第二组第三组第四组（1）这天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.求图中的值；求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由；（2）将频率视为概率，对于年的某天，记这天中该居民区的小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；需要改进，理由见解析；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据频率分布直
14、方图中所有矩形的面积之和为可求得的值；根据频率直方图计算出年该居民区年平均浓度，与作大小比较，由此可得出结论；（2）由题意可知，进而可得出随机变量的分布列，由此可计算得出随机变量的数学期望值.【详解】（1）在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，则，解得；年该居民区年平均浓度为（微克/立方米），因为，所以年该居民区年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进；（2）由题意，的小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为，的可能取值为、，且，.所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，随机变量的数学期望为.【点睛】本题考查利用频率分布直方图求参数以及计算平均数，同时也考查了随机变量分布列
15、与数学期望的求解，考查计算能力，属于中等题.19.如图，E是以AB为直径的半圆O上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面，且AB=2AD=2.（1）求证：；（2）若异面直线AE和DC所成的角为，求平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 由面面垂直的性质可证得.再线面垂直的判定定理和性质定理可得证；(2)以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由二面角的向量求解方法可求得平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值.【详解】(1) 平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为平面，垂
16、直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，.是直角，又，平面，. (2)如图， 以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，知，由题设可知 ，.设平面的一个法向量为，由，即得，取，得.又平面的一个法向量为，.平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【点睛】本题考查空间中线线垂直的证明和二面角的求解方法，属于中档题.20.如图，抛物线的焦点为F，准线为，交x轴于点A，并截圆所得弦长为，M为平面内动点，MAF周长为6（1）求抛物线方程以及点M的轨迹的方程；（2）“过轨迹的一个焦点作与轴不垂直的任意直线”交轨迹于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且
17、定值是”.命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的焦点，的长度与、两点间距离的比值.试类比上述命题，写出一个关于抛物线的类似的正确命题，并加以证明.（3）试推广（2）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）.【答案】（1），；（2）过抛物线的焦点作与轴不垂直的任意直线，交抛物线于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值为，证明见解析；（3）过抛物线的焦点作与对称轴不垂直的任意直线，交抛物线于两点，线段的垂直平分线交对称轴于点，则为定值，且定值为【解析】【分析】（1）根据弦长公式可求出弦心距，即得准线的方程和点的坐标，从而可
18、求出抛物线方程，再根据MAF周长为6，设出点，根据椭圆的定义即可求出点M的轨迹的方程；（2）根据题意类比即可写出；（3）利用（2）中原理，即可写出【详解】（1）设圆心到直线的距离为，解得所以准线：，点，点，即有，即抛物线因为，所以，即点的轨迹是以点为焦点，长轴长为，焦距为的椭圆，解得，即有故点M轨迹的方程为（2）关于抛物线的类似的正确命题为：过抛物线的焦点作与轴不垂直的任意直线，交抛物线于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值为证明如下：如图所示：设直线：由得，设，所以，即的中点坐标为，的垂直平分线的方程为：，令，解得，又因为，所以（3）过抛物线的焦点作与对称轴不垂直的任意直线，交抛
19、物线于两点，线段的垂直平分线交对称轴于点，则为定值，且定值为【点睛】本题主要考查抛物线和圆的几何性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，以及类比推理的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题21.已知函数.（1）若函数 在 处的切线方程为，求实数的值；（2）设，当时，求的最小值；（3）求证：.【答案】(1) 实数的值为；(2) 当时，的最小值为当时， 的最小值为当时， 的最小值为；(3)证明如下.【解析】【分析】(1)求出切点纵坐标即可求解；(2)先求函数的单调性，再讨论所给的动区间的位置即可得出；(3)对所要证明的不等式两边取对数，构造函数转化为恒成立问题即可证明.【详解
20、】(1) 由题意可知，.(2) 令，得；令，得，当时，在上单调递增，所以的最小值为当时，在上单调递减，所以的最小值为当时，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.综上所述，当时，的最小值为当时， 的最小值为当时， 的最小值为. (3)要证，即证，只需证，即证对任意的恒成立.令则，当时，恒成立，故在上单调递增，在上的最大值为，即对任意的恒成立，得证.【点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的最值及证明不等式问题，属于能力提升题.22.如图，在以为极点，轴为极轴的极坐标系中，圆，的方程分别为，.（1）若相交于异于极点的点，求点的极坐标；（2）若直线与分别相交于异于极点的两点，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）联立方程组可解点的极坐标；（2）表示出表达式，利用三角函数的知识可求最大值.【详解】（1）由，点的极坐标为；（2）设，的最大值为.【点睛】本题主要考查极坐标，极坐标的应用，题目较为简单，明确极坐标的意义是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
