1、13.2.4 平面与平面的位置关系第1课时 两平面平行基础认知自主学习【概念认知】1平面与平面之间的位置关系位置关系平面与平面相交平面与平面平行公共点有一条公共直线没有公共点符号表示a_图形表示2.平面与平面平行的判定定理自然语言如果一个平面内的_直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言若a，b，_，且a，b，则图形语言两条相交abA3.平面与平面平行的性质定理自然语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线_符号语言 _，a，bab图形语言平行4.两个平行平面间的距离(1)公垂线与公垂线段与两个平行平面都_的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的
2、_，叫作这两个平行平面的公垂线段(2)两个平行平面间的距离两个平行平面的公垂线段_公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离垂直线段都相等1如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形 EFGH 为截面，长方形 ABCD为底面，则四边形 EFGH 的形状为()A.梯形B平行四边形C可能是梯形也可能是平行四边形D不确定【解析】选 B.由面面平行的性质定理知，EFHG，EHFG，故四边形 EFGH 为平行四边形2已知 a，b 表示直线，表示平面，下列推理正确的是()A若 与 相交，a，b，则 a 与 b 一定相交B若 a，b，ab，则 Ca，b，a，bD，a，bab【解析】选 D.A 错误，a 与 b
3、，可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知 B，C 错误；由平面与平面平行的性质定理知，D 正确3底面为平行四边形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，与平面 BB1C1C 平行的平面是()A平面 AA1D1D B平面 AA1B1BC平面 DD1C1C D平面 ABCD【解析】选 A.根据图形及平面平行的判定定理知，平面 BB1C1C平面 AA1D1D.4如图，在四棱锥 P-ABCD 中，E，F，G，H 分别为 PA，PB，PC，PD 的中点，PA平面 ABCD，若 PA2，则平面 EFGH 与平面 ABCD 的距离为_【解析】因为 E，F，G，H 分别为 PA，PB，PC，
4、PD 的中点，所以平面 EFGH平面 ABCD，因为 PA平面 ABCD，所以 PA平面 EFGH，所以 AE 为平面 ABCD 与平面 EFGH 的公垂线段，AE12 PA1.答案：15已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外一点，点 D，E，F 分别是 SA，SB，SC 的中点，则平面 DEF 与平面 ABC 的位置关系是_【解析】由 D，E，F 分别是 SA，SB，SC 的中点，知 EF 是 SBC 的中位线，所以EFBC.又因为 BC平面 ABC，EF平面 ABC，所以 EF平面 ABC.同理 DE平面 ABC，又因为 EFDEE，所以平面 DEF平面 ABC.答案：平行6如图所示，
5、两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，MAC，NFB，且 AMFN，求证：MN平面 BCE.【证明】过点 M 作 MGBC 交 AB 于点 G，连接 GN，则AMMC AGGB.因为 AMFN，ACBF，所以 MCNB.所以FNNB AGGB，所以 GNAF.又 AFBE，所以 GNBE.因为 GN平面 BCE，BE平面 BCE，所以 GN平面 BCE.因为 MGBC，MG平面 BCE，BC平面 BCE，所以 MG平面 BCE.因为 MGGNG，所以平面 MNG平面 BCE.因为 MN平面 MNG，所以 MN平面 BCE.学情诊断课时测评一、单选题1下列说法中正确的是
6、()A若平面 内的直线 a 平行于平面 内的直线 b，且 a，b，则 B若直线 a，a，则 C若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行D若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行【解析】选 D.对于 A，若 l，a 且 al，b 且 bl，则 ab，但此时 与 不平行；对于 B，若 l，a 且 al，则 a，但此时 与 不平行；对于 C，不符合面面平行的判定定理，这两个平面还可能相交；D 是面面平行的判定定理的推论2下列命题正确的有()如果两个平面不相交，那么它们平行；如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平
7、面平行；空间两个相等的角所在的平面平行A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【解析】选 B.对，由两个平面平行的定义知正确；对，若这无数条直线都平行，则这两个平面可能相交，错误；对，这两个角可能在同一平面内，故错误3在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是棱 CD 上的动点，则直线 MC1 与平面 AA1B1B的位置关系是()A相交 B平行C异面 D相交或平行【解析】选 B.如图，MC1平面 DD1C1C，而平面 AA1B1B平面 DD1C1C，故 MC1平面 AA1B1B.4如图所示，P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 平面 ABC，分别交线段PA，PB，PC 于 A，B，C
8、.若 PAAA25，则 ABC与 ABC 的面积比为()A.25 B27 C449 D925【解析】选 C.因为平面 平面 ABC，AB，AB平面 ABC，所以 ABAB.所以 ABABPAPA.又 PAAA25，所以 ABAB27.同理 BCBC27，ACAC27，所以 ABCABC，所以 S ABCS ABC449.二、多选题5，为三个不重合的平面，a，b，c 为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是()Aacbcab BababCcc D【解析】选 AD.对于 A，由点线面的位置关系知，两条直线平行于第三条直线，这两条直线平行，故 A 正确对于 B，两条直线都与同一个平面平行，则这两条直
9、线可能相交，也可能是异面直线，不一定平行，故 B 不正确对于 C，两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可能平行，也可能相交，故 C不正确对于 D，由面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面平行，故 D 正确三、填空题6若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为_【解析】三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行答案：平行或相交7已知两条直线 m，n，两个平面，给出下面命题：mn，mn；，m，nmn；，mn，mn.其中正确命题的序号是_【解析】用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断正确，中 m，n 可能平行或异面答案：四、解答
10、题8如图所示，已知三棱柱 ABC-A1B1C1，A1B平面 AC1D，D1 是 B1C1 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.【证明】连接 A1C 交 AC1 于点 E，因为四边形 A1ACC1 是平行四边形，所以 E 是 A1C 的中点，连接 ED，因为 A1B平面 AC1D，平面 A1BC平面 AC1DED，所以 A1BED，因为 E 是 A1C 的中点，所以 D 是 BC 的中点，又因为 D1 是 B1C1 的中点，所以 BD1C1D，A1D1AD，又 A1D1BD1D1，所以平面 A1BD1平面 AC1D.9如图所示，四边形 ABCD 的四个顶点 A，B，C，D 均在平行四边
11、形 ABCD外，且 AA，BB，CC，DD互相平行，求证：四边形 ABCD 是平行四边形【证明】因为四边形 ABCD是平行四边形，所以 ADBC.因为 AD平面 BBCC，BC平面 BBCC，所以 AD平面 BBCC.同理 AA平面 BBCC.因为 AD平面 AADD，AA平面 AADD，且 ADAAA，所以平面 AADD平面 BBCC.又因为 AD，BC 分别是平面 ABCD 与平面 AADD，平面 ABCD 与平面 BBCC 的交线，所以 ADBC.同理可证 ABCD，所以四边形 ABCD 是平行四边形一、选择题1(2021廊坊高一检测)设 m，n，l 为空间不重合的直线，是空间不重合的平
12、面，则下列说法正确的个数是()ml，nl，则 mn；ml，nl，则 mn；若 ml，m，则 l；若 lm，l，m，则；若 m，m，l，l，则；，则 A0 B1 C2 D3【解析】选 C.显然正确；可能相交；l 可能在平面 内；l 可能为，两个平面的交线，两个平面，可能相交；，可能相交；显然正确2(2021宜昌高一检测)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA13，AB2，AD4，点 M 是棱 AD 的中点，点 N 在棱 AA1 上，且满足 AN2NA1，P 是侧面四边形ADD1A1 内的一动点(含边界)，若 C1P平面 CMN，则线段 C1P 长度的取值范围是()A3，17 B2，
13、3C 6，2 2 D 17，5【解析】选 C.如图所示：取 A1D1 的中点 G，取 MD 的中点 E，A1G 的中点 F，D1D 的三等分点 H 靠近 D，并连接起来由题意可知 C1GCM，GHMN，C1GGHG，CMMNM，所以平面 C1GH平面 CMN.即当点 P 在线段 GH 上时，C1P平面 CMN.在 C1GH 中，C1G2222 2 2，C1H2222 2 2，GH2 2，所以 C1GH 为等边三角形，取 GH 的中点 O，C1O2 2 sin 60 6，故线段 C1P 长度的取值范围是 6，2 2.3已知平面，两条相交直线 l，m 分别与平面，相交于点 A，B，C和 D，E，F
14、，已知 AB6，DEDF 25，则 AC()A12 B15 C18 D21【解析】选 B.因为，所以ABBC DEEF.由DEDF 25，得DEEF 23，即ABBC 23，而 AB6，所以 BC9，所以 ACABBC15.4(多选)设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若 m，m，则 B若，m，则 mC若，mn，m，则 nD若 m，m，n，则 mn【解析】选 BD.对于 A 选项，假设 l，m，m，ml，则 m，m，但，不平行，A 选项错误；对于 B 选项，若，m，由面面平行的性质可知 m，B 选项正确；对于 C 选项，若，mn，m，则 n 或 n，C 选项
15、错误；对于 D 选项，若 m，m，n，由线面平行的性质可知 mn，D 选项正确二、填空题5如图，AE平面，垂足为 E，BF，垂足为 F，l，C，D，ACl，则当 BD 与 l_时，平面 ACE平面 BFD.【解析】由题意知 l平面 ACE，故需 l平面 BFD.答案：垂直6如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是棱 CC1，C1D1，D1D，CD 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足_时，有 MN平面 B1BDD1.【解析】因为 HNBD，HFDD1，HNHFH，BDDD1D，所以平面 NHF平面 B1BDD1，
16、故线段 FH 上任意点 M 与 N 连接，有 MN平面 B1BDD1.答案：M线段 FH7已知夹在两平行平面，之间的线段 AB8，且 AB 与 成 45角，则 与 之间的距离是_【解析】如图，过 A 作 AA平面 交 于点 A，连接 AB，则 AB 为 AB 在平面 内的射影，所以ABA为 AB 与 所成的角，所以ABA45，在 Rt ABA中，AB8，AA8 224 2，又因为，所以 AA，所以 AA为 与 之间的距离，所以 与 之间距离为 4 2.答案：4 28如图所示，平面 平面，ABC，ABC分别在，内，线段 AA，BB，CC共点于 O，O 在平面 和平面 之间，若 AB2，AC2，B
17、AC60，OAOA32，则 ABC的面积为_【解析】AA，BB相交于点 O，所以 AA，BB确定的平面与平面，平面 的交线分别为 AB，AB，所以 ABAB，且OAOA ABAB 32.同理可得OAOA ACAC 32，OAOA BCBC 32.所以 ABC，ABC面积的比为 94，又 ABC 的面积为 3，所以 ABC的面积为4 39.答案：4 39三、解答题9如图所示，B 为 ACD 所在平面外一点，M，N，G 分别为 ABC，ABD，BCD的重心(1)求证：平面 MNG平面 ACD；(2)求 S MNGS ACD.【解析】(1)连接 BM，BN，BG 并延长分别交 AC，AD，CD 于点
18、 P，F，H.因为 M，N，G 分别为 ABC，ABD，BCD 的重心，所以BMMP BNNF BGGH 2.连接 PF，FH，PH，有 MNPF.又 PF平面 ACD，MN平面 ACD.所以 MN平面 ACD.同理 MG平面 ACD.又 MGMNM，所以平面 MNG平面 ACD.(2)由(1)可知MGPH BGBH 23，所以 MG23 PH.又 PH12 AD，所以 MG13 AD.同理 NG13 AC，MN13 CD.所以 GNMACD，其相似比为 13.所以 S MNGS ACD19.10如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ 与平面 PAO 平行？【解析】如图，设平面 D1BQ平面 ADD1A1D1M，点 M 在 AA1 上，由于平面 D1BQ平面 BCC1B1BQ，平面 ADD1A1平面 BCC1B1，由面面平行的性质定理可得 BQD1M.假设平面 D1BQ平面 PAO，由平面 D1BQ平面 ADD1A1D1M，平面 PAO平面ADD1A1AP，可得 APD1M，所以 BQD1MAP.因为 P 为 DD1 的中点，所以 M为 AA1 的中点，所以 Q 为 CC1 的中点，故当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ平面PAO.
