1、第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第31课时空间向量与空间距离(选学)基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1知道空间两点间的距离及点到平面的距离的概念2会用空间向量求两点间的距离以及点到平面的距离基础巩固一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1若O为坐标原点，OA(1,1，2)，OB(3,2,8)，OC(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A.1652 B2 14 C.53 D.532D解析：由已知可得A(1,1，2)，B(3,2,8)，于是P2，32，3，又C(0,1,0)，故|PC|2212232 532.2在三棱锥P-ABC中，PA，PB，P
2、C两两垂直，且PA1，PB2，PC3，则点P到ABC的重心G的距离为()A2 B.2 C1 D.143D解析：建立如图的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，G13，23，1，|PG|13223212 143.3在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上取一点E，使EABEAD60，则线段AE的长为()A.52 B.62 C.2 D.3C解析：设A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，E(x，y,1)，cosEAB AEAB|AE|AB|xx2y2112，cosEAD AEAD|AE|AD|yx2y2112.xy 22，
3、|AE|12121 2.4已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是()A.83 B.38 C.43 D.34C解析：以D点为坐标原点，DA，DC，DD1 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 AB1(0,2,4)，AD1(2,0,4)，设n(x，y，z)是截面AB1D1的一个法向量，由nAB1 0，nAD1 0，得2y4z0，2x4z0，取z1，则n(2，2,1)，点A1到截面AB1D1的距离dAA1 n|n|43.5已知三棱锥O-ABC，OAOB，OBOC，OCOA，且OA1，OB2，OC2，则点A到直线BC
4、的距离为()A.2 B.3 C.5 D3B解析：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，AB(1,2,0)，BC(0，2,2)，|AB|140 5，|ABBC|BC|2.点A到直线BC的距离d 52 3.6正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.2a B.3a C.23 a D.33 aD解析：由正方体的性质易得平面AB1D1平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离显然A1C平面AB1D1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z
5、轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n(1，1，1)又A(a,0,0)，B(a，a,0)，BA(0，a,0)，则两平面间的距离d|BAn|n|a3 33 a.7在空间直角坐标系中，定义平面的一般方程为：AxByCzD0(A，B，C，DR，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面的距离d|Ax0By0Cz0D|A2B2C2，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于()A.55 B.2 55 C2 D5B解析：作出正四棱锥P-ABCD，如图，以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则A(1,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,
6、2)，设平面PAB的方程为AxByCzD0，将以上3个坐标代入计算得A0，BD，C12D，所以平面PAB的方程为Dy12DzD0，即2yz20，所以点O到侧面的距离d|2002|22122 55.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距离为_.49 1717解析：设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)，nAB0，nAC 0，x，y，z2，2，10，x，y，z4，0，60，即2x2yz0，4x6z0，x32z，yz.令z2，则n(3,2，2)又AD(7，7,7)，点D到平面ABC的距离
7、为d|AD n|n|372727322222 491749 1717.9在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离为_.423解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有 GF(1，1，1)，GD1(0，2,1)，GD1 GF|GF|213 13，|GD1|5，点D1到直线GF的距离d|GD1|2GD1 GF|GF|2513 423.10棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到平面EFD1B1的距离为_.
8、13解析：建立如图所示的空间直角坐标系则D1(0,0,0)，F0，12，1，E12，1，1，B1(1,1,0)，D(0,0,1)D1F 0，12，1，D1B1(1,1,0)，则可求得平面EFD1B1的法向量为n1，1，12.又D1D(0,0,1)，d|D1D n|n|13.11.如图，四面体A-BCD中，O，E分别为BD，BC的中点，ABAD2，CACBCDBD22，AO平面BCD，则点D到平面ABC的距离为_.2 427解析：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，2)，B(2，0,0)，C(0，6，0)，D(2，0,0)，AB(2，0，2)，BC(2，6，0)设平面AB
9、C的法向量为n(x，y，z)，则ABn0，BC n0，即 2x 2z0 2x 6y0，令y1，得n(3，1，3)又AD(2，0，2)，点D到平面ABC的距离h|AD n|n|2 3 2 33132 427.三、解答题(本大题共2小题，共25分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12分)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD.若已知AB3，AD4，PA1，求点P到BD的距离解：如图所示，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，所以PB(3,0，1)，BD(3,4,0)因为PBB
10、D|BD|95，所以点P到BD的距离d|PB|2PBBD|BD|210952135.13(13分)如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB23，求点A到平面MBC的距离解：如图，取CD的中点O，连接OB，OM.因为BCD与MCD均为正三角形，所以OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD.以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，所以OBOM3，则C(1,0,0)，M(0,0，3)，B(0，3，0)，A(0，3，2 3)，所以BC(1，3，
11、0)，BM(0，3，3)设平面MBC的法向量为n(x，y，z)，由nBCnBM，得nBC 0nBM0，即x 3y0，3y 3z0，取x 3，可得平面MBC的一个法向量为n(3，1,1)又 BA(0,0,23)，所以点A到平面MBC的距离为|BAn|n|2 155.能力提升14(5分)已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH，若点P在正方体内部且满足 AP 34 AB 12 AD 23 AE，则点P到AB的距离为()A.56 B.18112 C.10 306 D.56A解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则AP 34(1,0,0)12(0,1,0)23(0,0,1)34，12，23.又AB(1,0
12、,0)，AP在AB上的投影为APAB|AB|34，点P到AB的距离为|AP|2APAB|AB|256.15(15分)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，CA2，侧棱AA12，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为2 63？解：假设存在点E满足题意以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，AA1(0,0,2)，BA1(2，2,2)设BEBA1，(0,1)，则E(2，2(1)，2)AD(2,0,1)，AE(2(1)，2(1)，2)，设n(x，y，z)为平面AED的法向量，则 nAD 0nAE02xz021x21y2z0，取x1，则y131，z2，即n1，131，2 为平面AED的一个法向量由于点A1到平面AED的距离d|AA1 n|n|2 63，所以2 63 451312.又(0,1)，所以12.故存在点E，且当点E为A1B的中点时，点A1到平面AED的距离为2 63.谢谢观赏！Thanks!
