1、第五节椭圆及其性质考点高考试题考查内容核心素养椭圆方程2015全国卷T2012分求椭圆方程证明定值问题数学运算逻辑推理2017全国卷T2012分求椭圆方程证明定值问题数学运算逻辑推理2017全国卷T125分求椭圆方程数学运算椭圆的性质2015全国卷T55分已知椭圆的离心率求椭圆与抛物线综合问题数学运算2016全国卷T125分求椭圆的离心率数学运算2017全国卷T115分求椭圆离心率数学运算命题分析椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考的热点，其中离心率考查比较频繁直线与椭圆的位置关系多以解答题的形式出现，解题时要注意数形结合、转化与化归思想.1椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于
2、常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆两定点F1，F2叫作椭圆的焦点.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当2a|F1F2|时，P点不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
3、焦距|F1F2|2c离心率e，e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2提醒：1辨明两个易误点(1)椭圆的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件，当2a|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，当2a|F1F2|时，不存在轨迹(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为1(ab0)2求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程(2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)1判断下列结论
4、的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)动点P到两定点A(0，2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(5)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(教材习题改编)设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10解析：选D依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510.3(2015广东卷)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4
5、,0)，则m()A2B3C4D9解析：选B由题意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.4(教材改编)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_.解析：a25，b24，c2a2b21，c1.|F1F2|2c2.设P(x，y)，SPF1F2|F1F2|y|，2|y|1，|y|1，y1.1，x，x0，x，P.答案：椭圆的定义及应用明技法(1)椭圆定义的应用范围确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆解决与焦点有关的距离问题(2)焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；
6、利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等提能力【典例】 (2018徐州模拟)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b_.解析：设|PF1|r1，|PF2|r2，则所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.答案：3刷好题1设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|PF2|21，则PF1F2的面积为()A4B6C2D4解析：选A因为点P在椭圆上，所以|PF1|PF2|6，又因为|PF1|PF2|21，所以|PF1|4，|PF2
7、|2，又易知|F1F2|2，显然|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，故PF1F2为直角三角形，所以PF1F2的面积为244.故选A2已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.解析：设动圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|816，所以动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，则a8，c4，所以b248，又焦点C1、C2在x轴上，故所求的轨迹方程为1.答案：1椭圆的标准方程明技法用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤提能力【典例】 (1)(2
8、018湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为()A1B1Cy21Dy21(2)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的标准方程为_解析：(1)依题意，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知可得抛物线的焦点为(1,0)，所以c1，又离心率e，解得a2，b2a2c23，所以椭圆方程为1.(2)不妨设点A在第一象限，如图所示因为AF2x轴，所以|AF2|b2.因为|AF1|3|BF1|，所以B.将B点代入椭圆方程，得21，所以c21.又
9、因为b2c21，所以故所求的方程为x21.答案： (1)A(2)x21刷好题求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；(3)经过点P(2，1)，Q(，2)两点；(4)与椭圆1有相同离心率且经过点(2，)解：(1)若焦点在x轴上，设方程为1(ab0)椭圆过点A(3,0)1，a3，2a32b，b1，方程为y21.若焦点在y轴上，设方程为1(ab0)椭圆过点A(3,0)，1，b3.又2a32b，a9，方程为1.综上所述，椭圆方程为y21或1.(2)由已知，有解得从而b2a2c29.所求椭圆方程为
10、1或1.(3)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)点P(2，1)，Q(，2)在椭圆上，解得m，n.故1为所求椭圆的方程(4)方法一e，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为1(mn0)，则12.从而2，. 又1，m28，n26.方程为1.若焦点在y轴上，设方程为1 (mn0)，则1，且，解得m2，n2.故所求方程为1.方法二若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为t(t0)，将点(2，)代入，得t2.故所求方程为1.若焦点在y轴上，设方程为(0)代入点(2，)，得，1.椭圆的几何性质析考情椭圆几何性质的内容很丰富，因此在高考中对椭圆几何性质的考查也非常广泛，但离心率及其范围却是每年高考的热点. 应
11、用平面几何知识往往是解决这类问题的关键提能力命题点1：由椭圆的方程研究其性质【典例1】 已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A(3,0)B(4,0)C(10,0)D(5,0)解析：选D因为圆的标准方程为(x3)2y21，所以圆心坐标为(3,0)，所以c3，又b4，所以a5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(5,0)命题点2：由椭圆的性质求参数的值或范围【典例2】 已知椭圆mx24y21的离心率为，则实数m等于()A2B2或C2或6D2或8解析：选D显然m0且m4，当0m4时，椭圆长轴在x轴上，则，解得m2；当m4时，椭圆长轴在y
12、轴上，则，解得m8.命题点3：求离心率的值或范围【典例3】 (2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()ABCD解析：选A由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.故选A悟技法应用椭圆几何性质的2个技巧与1种方法2个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如axa，byb,0e1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应
13、用这些不等关系1种方法求椭圆离心率的方法：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解刷好题1(2016全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()ABCD解析：选B如图，由题意得，BFa，OFc，OBb，OD2bb.在RtOFB中，|OF|OB|BF|OD|，即cbab，代入解得a24c2，故椭圆离心率e，故选B2(2018东北三省三校联考)若椭圆y21的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是()A1,4B1,3C2,1D1,1解析：选C椭圆y21两个焦点分别是F1(，0)，F2(，0)，设P(x，y)，则(x，y)，(x，y)，(x)(x)y2x2y23.因为y21，代入可得x22，而2x2，所以的取值范围是2,1，故选C3设F1，F2分别是椭圆C：x22y22的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点则| 的最小值是_解析：将方程变形为y21，则F1(1,0)，F2(1,0)设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)(2x0，2y0)，|22.点P在椭圆上，0y1.当y1时，|的最小值为2.答案：2
