1、江苏省2016高考模拟卷(二)数学一、填空题(每题5分,满分70分,将答案填在答题纸上)1. 已知集合,则 2. 复数的实部为 3. 某时段内共有辆汽车经过某一雷达测速区域,将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图,根据图形推断,该时段时速超过的汽车辆数为 4. “”是“”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).5. 一个袋子里装有大小相同的黑球和白球共个, 已知从袋中任意摸出个球,得到黑球概率是,则从袋中任意摸出个球,至少得到个白球概率是 6. 一个算法的流程图如图所示,则输出的值为 7. 已知公差不为的等差数列的前项和为,且,若,则 8. 已知正三棱
2、锥的底面边长为,侧棱长为,则正三棱锥的体积为 9. 如果直线和函数的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上,那么的取值范围为 12. 已知均为正数,则的最大值是 13. 定义在上的函数满足:,且对于任意的,都有,则不等式的解集为 14. 正项等比数列中,前为常数) 项的乘积是,若从前项中,抽出一项后,余下的项的乘积是,则抽出的是第 项.二、解答题 (本大题共6小题,共90分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)设平面向量.(1) 若,求的值;(2) 若,求的取值范围.16. (本小题满分14分)已知在如图的多面体中,底,
3、是的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面.17. (本小题满分14分) 学校食堂改建一个开水房,计划用电炉或煤炭烧水,但用煤时也要用电鼓风及时排气,用煤烧开水每吨开水费为元,用电炉烧开水每吨开水费为元,.其中为毎吨煤的价格,为每百度电的价格,如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用,则仍用原备的锅炉使用煤炭烧水,否则就用电炉烧水.(1) 如果两种方法烧水费用相同,试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数;(2) 如果每百度电价不低于元,则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少?18. (本小题满分16分) 解:如图,已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点,为椭圆上项点,在上,. (1) 求当离心率时的椭圆方
4、程; (2) 求满足题设要求的椭圆离心率的取值范围; (3) 当椭圆离心率最小时,若过的直线与椭圆交于(不同于点)两点,试问:是否为定值?并给出证明.19. (本小题满分16分) 已知函数. (1) 当时,求函数的最小值; (2) 若函数有四个不同的零点,求的取值范围.20. (本小题满分12分) 从数列中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列的一个子数列,已知无穷等比数列的公比为. (1) 若. 求数列的通项公式;若分别为等差数列的第项和第项,试求数列的前项和. (2) 证明:当时,数列不存在无穷等差子数列. 数学附加题 (二) (本部分满分40分,考试时间30分钟)21.
5、( 选做题) 在、四小题中只能选做题,每小题分,共分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-1:几何证明选讲(本小题满 分10分) 如图,在中,是的中点,是的中点,的延长线交于. (1) 求的值; (2) 若的面积为,四边形的面积为,求的值.选修4-2:矩阵与变换 (本小题满分10分)已知曲线,将曲线绕坐标原点逆时针旋转后,求得到的曲线的方程.选修4-4 ;坐标系与参数方程 (本小题满分10分) 在极坐标系中,已知圆的方程是,直线的方程是,求圆上一点到直线的距离的最大值.选修4-5:不等式选讲 (本小题满分10分) 设为正数,求证:.【必做题】第22题、第23题每题10分,共计20
6、分,请在答题卡指定区域作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 设顶点在原点,焦点在轴上的拋物线过点,过作抛物线的动弦,并设它们的斜率分别为.(1) 求拋物线的方程;(2) 若,求证:直线的斜率为定值,并求出其值;(3) 若,求证:直线恒过定点,并求出其坐标.23. (本小题满分10分) 已知是不小于的整数,将分别写有,的卡各一张放入一个箱子中,若从这个箱子中随机取出一张卡,记下卡上所写数字后将卡放回箱子中,这样的试验进行次,所得的个数字的和为偶数的概率为. (1) 求,求; (2) 当时,求;(3) 当为偶数、奇数时,分别求 数学模拟卷(二) 答案1. 2
7、. 3. 4. 必要不充分5. 6. 7. 8.9. 10. 11.12. 13. 14.二、解答题:15. 解:因为,所以2分(1) 4分,12分,.14分16. 解:(1)且是中点,且四边形是平行四边形,平面,平面,平面.(2)连接,四边形是矩形,平面平面平面,四边形为菱形,又平面平面平面.17. (本小题满分14分)解:(1) 由题意,得,即.(2) 由,得.当时,,此时.答:每吨煤的最高价为元.18. 解:(1) ,得,所以,所以椭圆方程为.(2),所以,化简得.所以,在中,由余弦定理,有,-得.因为,所以,即,又,所以.(3) 为直角,事实上,当最小时,由(1) 知椭圆方程为,依题意
8、可设所在直线方程代入椭圆方程得,设,则,因为所以,所以恒为直角.19. 解:(1) 时,,因为,所以.当时,函数取到最小值.(2),若函数有个不同的零点,则一定有个不同的零点,又是它的一个零点,所以方程即有两个不等的正实数根,记, 由于,所以,显然.极小值极大值极小值只要,因为,所以恒成立,同理恒成立,故只要,所以.20. (本小题满分14分)解:(1) 由已知得,解得,所以.由得则设的公差为,则有解得,所以的前项和.(2)(反证法)假设存在无穷等差子数列,其公差为.() 若,则,取,则,即,从 这与是公差为d的等差数列相矛盾()若,则,取,则,即,从这与是公差为d的等差数列相矛盾.综上,当时
9、,数列不存在无穷等差子数列.21. .解:证明(1) 过点作,并交于 点,是的中点,1分又,则,3分又是的中点,则,则.5分(2) 若以为底,以为底,则由(1) 知7分又由可知其中、分别为和的高则,则.10分.解:(1) 由题设条件,,4分,即有,解得,代入曲线的方程为.所以将曲线绕坐标原点逆时旋转后,得到的曲线是.10分.解:以极点为坐标原点,极轴为轴,建立平面直角坐标系,则圆的方程是,2分直线的方程是即,4分圆心到直线的距离,8分所以圆上的点到直线的距离的最大值为.10分.解:因为,1分所以.4分同理,5分三式相加即可得7分又因为,.10分22. 解:(1) 依题意,可设所求拋物线的方程为,因拋物线过点,故,拋物线的方程为.2分(2) 设,则,同理4分,,即直线的斜率恒为定值,且值为.6分(3) . 7分直线的方程为 ,即.9分将代入上式得拋物线的方程为该直线恒过定点,命题得证. 10分23. 解:(1) 当时,有,又,2分(2) 当时,有,即,即.5分(3) 当为偶数时,则,又,.7分当为奇数时,一次试验中取出的的卡上的数字为偶数的概率为,数字为奇数的概率为,.且.即即.10分