1、限时规范训练1(2016正定摸底)已知直线a与平面,a,点B,则在内过点B的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一一条与a平行的直线解析:设直线a和点B所确定的平面为,则a,记b,ab,故存在唯一一条直线b与a平行答案:D2设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若ml,且m,则l;若l,m,n,则lmn;若m,l,n,且n,则lm.其中正确命题的个数是()A1B2C3 D4解析:易知正确;错误,l与的具体关系不能确定;错误,以墙角为例即可说明;正确,可以以三棱柱为例证明,故选B.答案:B3
2、如图所示,O为正方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是()AA1D BAA1CA1D1 DA1C1解析:由题意知,A1C1平面DD1B1B,又OB1面DD1B1B,所以A1C1OB1,故选D.答案:D4(2016贵阳模拟)设m、n为两条不同的直线,、为两个不同的平面,给出下列命题:若m,m,则;若m,m,则;若m,n,则mn;若m,n,则mn.上述命题中,所有真命题的序号是()A BC D解析:由线面垂直的性质定理知正确;平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,故错;平行于同一平面的两条直线可能平行,也可能相交或异面,故错选A.答案:A5.如图
3、,在三棱锥PABC中,不能证明APBC的条件是()AAPPB,APPCBAPPB,BCPBC平面BPC平面APC,BCPCDAP平面PBC解析:A中,因为APPB,APPC,PBPCP,所以AP平面PBC,又BC平面PBC,所以APBC,故A正确;C中,因为平面BPC平面APC,BCPC,所以BC平面APC,AP平面APC,所以APBC,故C正确;D中,由A知D正确;B中条件不能判断出APBC,故选B.答案:B6如图,L,M,N分别为正方体对应棱的中点,则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A垂直 B相交不垂直C平行 D重合解析:如图,分别取另三条棱的中点A,B,C将平面LMN延展为平面正六
4、边形AMBNCL,因为PQAL,PRAM,且PQ与PR相交,AL与AM相交,所以平面PQR平面AMBNCL,即平面LMN平面PQR.答案:C7一个面截空间四边形的四边得到四个交点,如果该空间四边形的两条对角线与这个截面平行,那么此四个交点围成的四边形是_解析:如图,由题意得AC平面EFGH,BD平面EFGH.AC平面ABC,平面ABC平面EFGHEF,ACEF,同理ACGH,所以EFGH.同理,EHFG,所以四边形EFGH为平行四边形答案:平行四边形8(2016广西模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为棱DC的中点,则D1P与BC1所在直线所成角的余弦值等于_解析:连接AD1,A
5、P(图略),则AD1P就是所求角,设AB2,则APD1P,AD12,cos AD1P.答案:9.如图,在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是_解析:取B1C1中点M,则A1MAE;取BB1中点N,则MNEF(图略),平面A1MN平面AEF.若A1P平面AEF,只需PMN,则P位于MN中点时,A1P最短;当P位于M或N时,A1P最长不难求得A1P的取值范围为.答案:10.(2016扬州模拟)如图,在四面体ABCD中,平面BAD平面CAD,BAD90.M,N,Q分别为棱AD,B
6、D,AC的中点(1)求证:CD平面MNQ;(2)求证:平面MNQ平面CAD.证明:(1)因为M,Q分别为棱AD,AC的中点,所以MQCD,又CD平面MNQ,MQ平面MNQ,故CD平面MNQ.(2)因为M,N分别为棱AD,BD的中点,所以MNAB,又BAD90,故MNAD.因为平面BAD平面CAD,平面BAD平面CADAD,且MN平面ABD,所以MN平面CAD,又MN平面MNQ,所以平面MNQ平面CAD.11(2016广州五校联考)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PAPD,BAD60,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上(1)求证:AD平面PBE;(2)若Q是PC的中点,求证:PA平面
7、BDQ;(3)若VPBCDE2VQABCD,试求的值解析:(1)证明:由E是AD的中点,PAPD可得ADPE.又底面ABCD是菱形,BAD60,所以ABBD,又因为E是AD的中点,所以ADBE,又PEBEE,所以AD平面PBE.(2)证明:连接AC(图略),交BD于点O,连接OQ.因为O是AC的中点,Q是PC的中点,所以OQPA,又PA平面BDQ,OQ平面BDQ,所以PA平面BDQ.(3)设四棱锥PBCDE,QABCD的高分别为h1,h2.所以VPBCDES四边形BCDEh1,VQABCDS四边形ABCDh2.又因为VPBCDE2VQABCD,且S四边形BCDES四边形ABCD,所以.12(2
8、016昆明模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)证明:直线MN平面BDH;(3)过点M,N,H的平面将正方体分割为两部分,求这两部分的体积比解析:(1)点F,G,H的位置如图所示(2)证明:连接BD,设O为BD的中点,连接OM,OH,AC,BH,MN.M,N分别是BC,GH的中点,OMCD,且OMCD,NHCD,且NHCD,OMNH,OMNH,则四边形MNHO是平行四边形,MNOH,又MN平面BDH,OH平面BDH,MN平面BDH.(3)由(2)知,OMNH,OMNH,连接GM,MH,过点M,N,H的平面就是平面GMH,它将正方体分割为两个同高的棱柱,高都是GH,底面分别是四边形BMGF和三角形MGC,体积比等于底面积之比,即31.