1、2020-2021学年上海市高考数学模拟试卷及答案解析上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1复数3+4i（i为虚数单位）的实部是2若log2（x+1）=3，则x=3直线y=x1与直线y=2的夹角为4函数的定义域为5三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为6函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=7在ABC中，若A=30，B=45，则AC=84个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）9无穷等比数列an的首项为2，公比为，则an的各项的和为10若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=11函数y=x
2、22x+1在区间0，m上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是12在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y26x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13若sin0，且tan0，则角的终边位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限14半径为1的球的表面积为（）ABC2D415在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A2 B6 C15 D2016幂函数y=x2的大致图象是（）ABCD17已知向量，则向量在向量方向上的投影为（）A1 B2 C（1，0） D（0，2）18设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（）A直线
3、l平行于直线m B直线l与直线m异面C直线l与直线m没有公共点 D直线l与直线m不垂直19在用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=2n2+n（nN*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A1+2+3+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B1+2+3+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C1+2+3+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D1+2+3+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）20关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A焦距相等，渐近线相同 B焦距相等
4、，渐近线不相同C焦距不相等，渐近线相同 D焦距不相等，渐近线不相同21设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件22下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）Aa2+b22ab Ba2+b22ab C D23设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：若x1y2x2y1=0，则；若x1x2+y1y2=0，则关于以上两个结论，正确的判断是（）A成立，不成立 B不成立，成立C成立，成立 D不成立，不成立24对于椭圆若点（x0，y0）满足则称该点在椭圆C（a，b）内，在平面直
5、角坐标系中，若点A在过点（2，1）的任意椭圆C（a，b）内或椭圆C（a，b）上，则满足条件的点A构成的图形为（）A三角形及其内部 B矩形及其内部C圆及其内部 D椭圆及其内部三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC1与AC所成的角的大小26 已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值27如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处。已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离。28已
6、知数列an是公差为2的等差数列。（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=19，数列an的前n项和为Sn数列bn满足，记（nN*），求数列cn的最小项（即对任意nN*成立）29对于函数f（x），g（x），记集合Dfg=x|f（x）g（x）（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求Dfg；（2）设f1（x）=x1，h（x）=0，如果求实数a的取值范围二卷一.选择题：30若函数f（x）=sin（x+）是偶函数，则的一个值是（）A0BCD231在复平面上，满足|z1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A两个点B一条线段C两条直线D一个圆32已知函数y=f（x）的图象是折线ABC
7、DE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k的取值范围是（）A（1，0）（0，1）BC（0，1D二.填空题：33椭圆的长半轴的长为34 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为35小明用数列an记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak=1，当第k天没下过雨时，记ak=1（1k31），他用数列bn记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bn=1，当预报第k天没有雨时，记bn=1记录完毕后，小明计算
8、出a1b1+a2b2+a3b3+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为三.解答题：36对于数列an与bn，若对数列cn的每一项cn，均有ck=ak或ck=bk，则称数列cn是an与bn的一个“并数列”（1）设数列an与bn的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若cn是an与bn一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列an，cn均为等差数列，an的公差为1，首项为正整数t；cn的前10项和为30，前20项的和为260，若存在唯一的数列bn，使得cn是an与bn的一个“并数列”，求t的值所构成的集合上海市春季高考数学试
9、卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3【考点】复数的基本概念【分析】根据复数的定义判断即可【解答】解：复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3，故答案为：32若log2（x+1）=3，则x=7【考点】对数的运算性质；函数的零点【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可【解答】解：log2（x+1）=3，可得x+1=8，解得x=7故答案为：73直线y=x1与直线y=2的夹角为【考点】两直线的夹角与到角问题【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角【解答】解：直线y=x1的斜率为1，故倾斜角为，又直线y=2的倾斜角
10、为0，故直线y=x1与直线y=2的夹角为，故答案为：4函数的定义域为2，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可【解答】解：由x20得，x2原函数的定义域为2，+）故答案为2，+）5三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8【考点】高阶矩阵【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号（1）i+j，求出其表达式的值即可【解答】解：元素5的代数余子式为：（1）1+3|=（42+10）=8元素5的代数余子式的值为8故答案为：86函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=1【考点】反函数【分析】由于函数的反函数的图象经过
11、点（2，1），可得函数的图象经过点（1，2），即可得出【解答】解：函数的反函数的图象经过点（2，1），函数的图象经过点（1，2），2=+a，解得a=1故答案为：17在ABC中，若A=30，B=45，则AC=【考点】余弦定理；正弦定理【分析】利用正弦定理即可计算求解【解答】解：A=30，B=45，由正弦定理，可得：AC=2故答案为：284个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24（结果用数值表示）【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：249无穷等比数列an的首项为2，公比为，则an的各项的和为
12、3【考点】等比数列的前n项和【分析】an的各项的和=，即可得出【解答】解：an的各项的和为：=3故答案为：310若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=4【考点】复数代数形式的混合运算【分析】2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则2i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出【解答】解：2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，2i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根
13、，2+i+（2i）=a，解得a=4则a=4故答案为：411函数y=x22x+1在区间0，m上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是1，2【考点】二次函数在闭区间上的最值【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可【解答】解：f（x）=x22x+1=（x1）2，对称轴x=1，f（1）=0，f（2）=1，f（0）=1，f（x）=x22x+2在区间0，m上的最大值为1，最小值为0，1m2，故答案为：1m212在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y26x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为4【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则【分析】本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系
14、，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x，y）x=，y=，=（x1+x2，y1+y2）=2，圆C：x2+y26x+5=0，（x3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径CA=2点A，B在圆C上，AB=2，CA2CM2=（AB）2，即CM=1点M在以C为圆心，半径r=1的圆上OMOCr=31=2|2，4，的最小值为4故答案为：4二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13若sin0，且tan0，则角的终边位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】象限角、轴线角【分
15、析】由sin0，则角的终边位于一二象限，由tan0，则角的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题【解答】解：sin0，则角的终边位于一二象限，由tan0，角的终边位于二四象限，角的终边位于第二象限故选择B14半径为1的球的表面积为（）ABC2D4【考点】球的体积和表面积【分析】利用球的表面积公式S=4R2解答即可求得答案【解答】解：半径为1的球的表面积为412=4，故选：D15在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A2B6C15D20【考点】二项式系数的性质【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可【解答】解：（1+x）6的二项展开式中，通项公式为：Tr+1=16rxr，
16、令r=2，得展开式中x2的系数为：=15故选：C16幂函数y=x2的大致图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项【解答】解：幂函数y=x2=，定义域为（，0）（0，+），可排除A，B；值域为（0，+）可排除D，故选：C17已知向量，则向量在向量方向上的投影为（）A1B2C（1，0）D（0，2）【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出，代入向量的投影公式计算【解答】解：=1，=1，|=，向量在向量方向上的投影=1故选：A18设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（）A直线l平行于直线mB直线l与直线m异面C直线l与直线m没有公共
17、点D直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】由已知中直线l与平面平行，直线m在平面上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案【解答】解：直线l与平面平行，直线m在平面上，直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，故选：C19在用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=2n2+n（nN*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A1+2+3+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B1+2+3+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C1+2+3+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k
18、+1）2+（k+1）D1+2+3+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）【考点】数学归纳法【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案【解答】解：用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+2k=2k2+k，则当n=k+1时，左端为1+2+3+2k+2k+1+2（k+1），从“kk+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），1+2+3+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）故选：D20关于双曲
19、线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A焦距相等，渐近线相同B焦距相等，渐近线不相同C焦距不相等，渐近线相同D焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为（，0），即为（2，0），渐近线方程为y=x；的焦点在y轴上，可得焦点为（0，2），渐近线方程为y=2x可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同故选：B21设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充
20、分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2即可判断出结论【解答】解：函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件故选：B22下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）Aa2+b22ab Ba2+b22ab C D【考点】不等式的基本性质【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可【解答】解：对于A：a2+b22ab=（ab）20，故A恒成立；对于B：a2+b2+
21、2ab=（a+b）20，故B恒成立；对于C：ab=0，故C恒成立；D不恒成立；故选：D23设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：若x1y2x2y1=0，则；若x1x2+y1y2=0，则关于以上两个结论，正确的判断是（）A成立，不成立 B不成立，成立C成立，成立 D不成立，不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】假设存在实数使得=，则=，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=x2，y1=y2，即可判断出结论若x1x2+y1y2=0，则=（）=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）=（x2y1+x1y2），无法得到=0，因此不一定正确【解答】解：假设存在实数使得=，则=，
22、向量与既不平行也不垂直，x1=x2，y1=y2，满足x1y2x2y1=0，因此若x1x2+y1y2=0，则=（）=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）=（x2y1+x1y2），无法得到=0，因此不一定正确故选：A24对于椭圆若点（x0，y0）满足则称该点在椭圆C（a，b）内，在平面直角坐标系中，若点A在过点（2，1）的任意椭圆C（a，b）内或椭圆C（a，b）上，则满足条件的点A构成的图形为（）A三角形及其内部B矩形及其内部C圆及其内部D椭圆及其内部【考点】椭圆的简单性质【分析】点A（x0，y0）在过点P（2，1）的任意椭圆C（a，b）内或椭圆C（a，b）上，可得=1，+1由椭圆的对称性可
23、知：点B（2，1），点C（2，1），点D（2，1），都在任意椭圆上，即可得出【解答】解：设点A（x0，y0）在过点P（2，1）的任意椭圆C（a，b）内或椭圆C（a，b）上，则=1，+1+=1，由椭圆的对称性可知：点B（2，1），点C（2，1），点D（2，1），都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A构成的图形为矩形PBCD及其内部故选：B三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC1与AC所成的角的大小【考点】异面直线及其所成的角【分析】由正三棱柱ABCA1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得B
24、C1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小【解答】解：正三棱柱ABCA1B1C1的体积为，底面边长为3，解得h=4，A1C1与AC平行，BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，cosBC1A1=BC1A1=arccos异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos26已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论【解答】解
25、：，函数的周期为T=2，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2k+，即x=2k+，kZ27如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离【考点】抛物线的简单性质【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px（p0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图所示：则：设抛物线方程为y2=2px（p0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，144=
26、2p10=3.6灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm28已知数列an是公差为2的等差数列（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=19，数列an的前n项和为Sn数列bn满足，记（nN*），求数列cn的最小项（即对任意nN*成立）【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值（2）由已知利用累加法能求出bn=2（）n1从而能求出cncn1=2n19+2n，由此能求出数列cn的最小项【解答】解：（1）数列an是公差为2的等差数列a1，a3，a4成等比数列，解得d=2，a1=8（2）bn=b1+（b2b1）+（b3b
27、2）+（bnbn1）=1+=2（）n1，=2n19+2n由题意n9，上式大于零，即c9c10cn，进一步，2n+2n是关于n的增函数，24+24=2419，23+23=1419，c1c2c3c4c5c9c10cn，29对于函数f（x），g（x），记集合Dfg=x|f（x）g（x）（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求Dfg；（2）设f1（x）=x1，h（x）=0，如果求实数a的取值范围【考点】其他不等式的解法；集合的表示法【分析】（1）直接根据新定义解不等式即可，（2）方法一：由题意可得则在R上恒成立，分类讨论，即可求出a的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a的取值
28、范围【解答】解：（1）由2|x|x+3，得Dfg=x|x1或x3；（2）方法一：，由，则在R上恒成立，令，at2t，a0时成立以下只讨论a0的情况对于，=t0，t2+t+a0，解得t或t，（a0）又t0，所以，=综上所述：方法二（2），由a0显然恒成立，即xRa0时，在x1上恒成立令，所以，综上所述：二卷一.选择题：30若函数f（x）=sin（x+）是偶函数，则的一个值是（）A0BCD2【考点】正弦函数的图象【分析】由函数的奇偶性可得的取值范围，结合选项验证可得【解答】解：函数f（x）=sin（x+）是偶函数，f（x）=f（x），即sin（x+）=sin（x+），（x+）=x+2k或x+x+=
29、+2k，kZ，当（x+）=x+2k时，可得x=k，不满足函数定义；当x+x+=+2k时，=k+，kZ，结合选项可得B为正确答案故选：B31在复平面上，满足|z1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A两个点B一条线段C两条直线D一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】设z=x+yi，得到|x+yi1|=4，从而求出其运动轨迹【解答】解：设z=x+yi，则|x+yi1|=4，（x1）2+y2=16，运动轨迹是圆，故选：D32已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四
30、个不同的公共点，则k的取值范围是（）A（1，0）（0，1）BC（0，1D【考点】函数的图象【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案【解答】解；当k=0，1b2时，显然直线y=b与f（x）图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，则kBE=，直线BE与f（x）图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f（x）图象最多交于三点，即直线y=与f（x）图象最多交于三点，k排除D故选B二.填空题：33椭圆的长半轴的长为5【考点】椭圆的简单性质【分析】利用椭圆性质求解【解答】解：椭圆中，a=5，椭圆的长半轴长a=5故答案为：534已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30，则该圆锥的
31、侧面积为50【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算【解答】解：圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30，圆锥的底面半径为5，圆锥的侧面积为510=50故答案为：5035小明用数列an记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak=1，当第k天没下过雨时，记ak=1（1k31），他用数列bn记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bn=1，当预报第k天没有雨时，记bn=1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28
32、【考点】数列的应用【分析】由题意，气象台预报准确时akbk=1，不准确时akbk=1，根据a1b1+a2b2+a3b3+a31b31=25=283，即可得出结论【解答】解：由题意，气象台预报准确时akbk=1，不准确时akbk=1，a1b1+a2b2+a3b3+a31b31=25=283，该月气象台预报准确的总天数为28故答案为：28三.解答题：36对于数列an与bn，若对数列cn的每一项cn，均有ck=ak或ck=bk，则称数列cn是an与bn的一个“并数列”（1）设数列an与bn的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若cn是an与bn一个“并数列”求所有
33、可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列an，cn均为等差数列，an的公差为1，首项为正整数t；cn的前10项和为30，前20项的和为260，若存在唯一的数列bn，使得cn是an与bn的一个“并数列”，求t的值所构成的集合【考点】数列的求和；数列的应用【分析】（1）利用“并数列”的定义即可得出（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得an，公差d，cn，通过分类讨论即可得出【解答】解：（1）（1，2，3），（1，2，5），（1，3，3），（1，3，5）；（2）an=t+n1，设cn的前10项和为Tn，T10=30，T20=260，得d=2，c1=6，所以cn=82n；ck=ak或ck=bk，k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k3kN*时，ck=bk，数列bn唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，
