1、2.函数性质与基本初等函数（解析版）一、选择题1(2021年高考全国乙卷理科)设，则()ABCD【答案】B解析：,所以;下面比较与的大小关系记,则,，由于所以当0x0时,所以,即函数在0,+)上单调递减，所以,即,即bc;综上，,故选：B【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的2(2021年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是()ABCD【答案】B解析：由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，定义域不关于原点对称，不是奇函数
2、；对于D，定义域不关于原点对称，不是奇函数故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题3(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则()ABCD【答案】D解析：因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路一：从定义入手所以思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果4(2021年高考全国甲卷理科)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法
3、和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为49，则其视力的小数记录法的数据为()()A15B12C08D06【答案】C解析：由，当时，则故选：C5(2020年高考数学课标卷理科)若，则()ABCD【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以，当时，此时，有当时，此时，有，所以C、D错误故选：B【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题6(2020年高考数学课标卷理科)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种
4、子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()ABCD【答案】D【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是故选：D【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题7(2020年高考数学课标卷理科)若，则()ABCD【答案】A解析：由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定故选：A【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函
5、数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想8(2020年高考数学课标卷理科)设函数，则f(x)()A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减【答案】D解析：由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据
6、单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论9(2020年高考数学课标卷理科)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为005，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于095，则至少需要志愿者()A10名B18名C24名D32名【答案】B解析：由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，,故需要志愿者名故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础
7、题10(2020年高考数学课标卷理科)已知5584，13485设a=log53，b=log85，c=log138，则()AabcBbacCbcaDcab【答案】A解析：由题意可知、，；由，得，由，得，可得；由，得，由，得，可得综上所述，故选：A【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题11(2020年高考数学课标卷理科)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数当I()=095
8、K时，标志着已初步遏制疫情，则约为()(ln193)A60B63C66D69【答案】C解析：，所以，则，所以，解得故选：C【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题12(2019年高考数学课标卷理科)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则()ABCD【答案】C【解析】是上的偶函数，又在(0，+)单调递减，故选C【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小是解决本题的关键13(2019年高考数学课标卷理科)函数在的图像大致为()ABCD【答案】B【解析】设，则，所以是
9、奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又，排除选项A、D，故选B【点评】本题通过判断函数的奇偶性，缩小选项范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查在解决图象类问题时，我们时常关注的是对称性、奇偶性，特殊值，求导判断函数单调性，极限思想等方法。14(2019年高考数学课标全国卷理科)设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是()ABCD【答案】B【解析】时，即右移个单位，图像变为原来的倍如图所示：当时，令，整理得：，（舍），时，成立，即，故选B (说明：以上图形是来自正确云)【点评】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，
10、需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力15(2019年高考数学课标全国卷理科)年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿
11、运动定律和万有引力定律，满足方程：设由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为()ABCD【答案】D【解析】由得将其代入到中，可得，所以，故【点评】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错16(2019年高考数学课标全国卷理科)函数在的图象大致为()【答案】D解析：显然为奇函数，故排除A，当在轴右侧开始取值时，排除C，又，故选D17(2018年
12、高考数学课标卷（理）)函数的图象大致为()【答案】D解析：易知函数为偶函数，而，所以当时，；当时，所以函数在、上单调递增，在、上单调递减，故选D18(2018年高考数学课标卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足若，则()AB0C2D50【答案】C解析：因为是定义域为的奇函数，且满足，所以，即，所以，因此是周期函数且又，且，所以，所以，故选C19(2018年高考数学课标卷（理）)函数的图象大致为()【答案】B解析：因为，所以为奇函数，排除A；，排除D；因为，当时，函数单调递增，排除C故选B20(2018年高考数学课标卷（理）)已知函数，若存在个零点，则的取值范围是()ABCD【答案】C解析：由得
13、，作出函数和的图象如图当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，即函数存在2个零点，故实数的取值范围是，故选C21(2017年高考数学新课标卷理科)设为正数,且,则()ABCD【答案】D【解析】令,则,则,则,故选D 【考点】指、对数运算性质 【点评】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,在用这个常数表示出对应的,通过作差或作商进行比较大小对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式和与的对数表示 22(2017年高考数学新课标卷理科)函数在单调递减,且为奇函数若,则满足的的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得
14、,即使成立的满足,选D 【考点】函数的奇偶性、单调性 【点评】奇偶性与单调性的综合问题,要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题,若在上为单调递增的奇函数,且,则,反之亦成立 23(2017年高考数学课标卷理科)已知函数有唯一零点，则()ABCD【答案】C【解析】法一：，设，当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数和没有交点，当时，时，函数和有一个交点，即，所以，故选C法二：由条件，得：所以，即为的对称轴由题意，有唯一零点，的零点只能为即解得【考点】函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想 【点评】函数零点
15、的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用 24(2017年高考数学课标卷理科)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【答案】
16、A【解析】观察折线图,每年7月到8月折线图呈下降趋势,月接待游客量减少,故选项A说法错误; 折线图整体呈现出增长的趋势,年接待游客量逐年增加,故选项B说法正确; 每年的接待游客量七、八月份达到最高点,即各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故选项C说法正确; 每年1月至6月的折线图比较平稳,月接待游客量波动性较小,而每年7月至12月的折线图不平稳,波动性较大,故选项D说法正确 故选A 【考点】折线图 【点评】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就得到一条折线,我们称这条折线为本组数据的频率折线图,频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距,即折线图是
17、频率分布直方图的近似,他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律 25(2016高考数学课标卷理科)已知,则()ABCD【答案】A【解析】因为,故选A.26(2016高考数学课标卷理科)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为CB点表示四月的平均最低气温约为C下面叙述不正确的是()A各月的平均最低气温都在C以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于C的月份有5个【答案】D【解析】由图可知C均在阴影框内,所以各月的平均最低气温都在C以上,A正确;由图可知在七
18、月的平均温差大于C,而一月的平均温差小于C,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在C,基本相同,C正确;由图可知平均最高气温高于C的月份有3个或2个,所以D不正确.故选D.27(2016高考数学课标卷理科)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则()ABCD【答案】B【解析】的图像的对称中心为又函数满足，所以图像的对称中心为：所以，故选【点评】零点代数和问题系属研究对称性，确定交点的个数即可获解28(2016高考数学课标卷理科)若，则()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】对A：由于，函数在上单调递增，因此，A错误；对B：由于，函数在上单调
19、递减，B错误；对C：要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和构造函数，则，在上单调递增，因此又由得，C正确对D：要比较和，只需比较和而函数在上单调递增，故又由得，D错误故选C29(2016高考数学课标卷理科)函数在2,2的图像大致为()CBAD【答案】D【解析1】函数在2,2上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数故选D【解析2】，排除A，排除B时，当时，因此在单调递减，排除C 故选D30(2015高考数学新课标2理科)如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为()()【答案】B
20、解析：由已知得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，当时，；当点在边上运动时，即时，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B考点：函数的图象和性质31(2015高考数学新课标2理科)设函数,()A3B6C9D12【答案】C解析：由已知得，又，所以，故，故选C考点：分段函数32(2014高考数学课标1理科)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在0,上的图像大致为()AB()CD【答案】B解析:如图:过M作MDOP于D,则 PM=,OM=,在中,MD=,
21、选B 考点:(1)函数图像的应用 (2)倍角公式的应用 (3)数形结合思想 难度:B备注:高频考点 33(2014高考数学课标1理科)设函数,的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是()A是偶函数B|是奇函数C|是奇函数D|是奇函数【答案】C解析:设,则,是奇函数,是偶函数,为奇函数,选C 考点:(1)函数奇偶性的判断(2)函数与方程的思想 难度:A备注:概念题 34(2013高考数学新课标2理科)设则()ABCD【答案】D解析： ,显然考点：（1）251对数式的化简与求值；（2）252对数函数的图象与性质难度： B备注：高频考点35(2012高考数学新课标理科)设点在曲线上，
22、点在曲线上，则最小值为()ABCD【答案】B解析：由反函数的概念可知：函数与函数互为反函数，图象关于对称 而函数上的点到直线的距离为 设函数，则，令解得初判断知：在处取得最小值 由图象关于对称得：最小值为考点：（1）254反函数及应用；（2）823距离公式的应用；（3）324导数与函数最值难度：C备注：高频考点36(2012高考数学新课标理科)已知函数，则的图象大致为()【答案】B解析：设g(x)=ln(1+x)-x则g（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，+）上为减函数g（x）g（0）=0f（x）=得：x0或-1x0均有f（x）0排除A，C，D故选 B考点：（1）322导数与函数单调性；（
23、2）324导数与函数最值难度：B备注：高频考点二、填空题37(2019年高考数学课标全国卷理科)已知是奇函数，且当时，若，则 【答案】.【解析】因为是奇函数，且当时，又因为，所以，两边取以为底的对数得，所以，即【点评】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案38(2017年高考数学课标卷理科)设函数，则满足的的取值范围是 【答案】【解析】法一：因为当时，；当时，；当时，由，可解得综上可知满足的的取值范围是法二：，即由图象变换可画出与的图象如下：由图可知，满足的解为法三：当且时，由得，得，又因为是上的增函数，所以当增大时，增大，所以满足的的取值范围是【考
24、点】分段函数；分类讨论的思想【点评】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围39(2015高考数学新课标1理科)若函数为偶函数，则【答案】1解析：由题知是奇函数，所以 =，解得=1考点：函数的奇偶性40(2014高考数学课标2理科)已知偶函数在单调递减，若，则的取值范围是_【答案】解析：因为是偶函数，所以不等式，因为在上单调递减，所以，解得考点：（1）函数单调性的应用；（2）函数奇偶性的应用；（3）绝对值不等式的解法难度：C备注：典型题41(2013高考数学新课标1理科)若函数=的图像关于直线=2对称，则的最大值是_【答案】16解析：由图像关于直线=2对称，则0=，0=，解得=8，=15，=，=当(,)(2, )时，0，当(,2)(,+)时，0，在（，）单调递增，在（，2）单调递减，在（2，）单调递增，在（，+）单调递减，故当=和=时取极大值，=16考点:（1）234函数的对称性；（2）324导数与函数最值难度：备注：高频考点
