1、第2课时 正弦定理(2)学情诊断课时测评一、单选题1在 ABC 中，ab sin A，则 ABC 一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形【解析】选 B.由题意有 asin A b bsin B，则 sin B1，即 B 为直角，故 ABC 是直角三角形2已知 ABC 的三边分别为 a，b，c，且 BC 边上的高为 36a，则cb bc 的最大值为()A2 B3 C4 D5【解析】选 C.三角形的面积：S12 36a212 bc sin A，所以 a22 3 bc sin A，由余弦定理：cos Ab2c2a22bc可得：b2c2a22bc cos A2 3 bc sin
2、 A2bc cos A，所以cb bc b2c2bc2 3 sin A2cos A4sin A64，所以bc cb 的最大值为 4.3已知 a，b，c 分别是 ABC 的内角 A，B，C 所对的边，满足acos A bcos B ccos C，则 ABC 的形状是()A.等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【解析】选 C.由正弦定理得asin A bsin B csin C，又acos A bcos B ccos C，得sin Acos A sin Bcos B sin Ccos C，即 tan Atan Btan C，所以 ABC，即 ABC 为等边三角形4在 ABC 中A4，
3、a2b2c2ab，c3，则 a()A2 B 5 C 6 D3【解析】选 C.因为 a2b2c2ab，所以可得 cos Ca2b2c22ab ab2ab 12.因为 C(0，)，所以 C3，因为A4，c3，所以由正弦定理asin A csin C，可得：a22 332，解得 a 6.5在 ABC 中内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 b cos Cc cos B2a cos A 且 ABC 的面积为a2b2c24，则 B()A 12 B3 C512 D2【解析】选 C.由正弦定理及 b cos Cc cos B2a cos A，得 sin B cos Csin C cos B2si
4、n A cos A，所以 sin(BC)2sin A cos A，又因为在 ABC 中，sin(BC)sin A0，所以 cos A12，又 A(0，)，所以 A3，又 S ABCa2b2c2412 ab sin C，结合余弦定理 cos Ca2b2c22ab得2ab cos C412 ab sin C，所以 tan C1.又 C(0，)，所以 C4，所以 B3 4 512.6在 ABC 中内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，A6，b1，S ABC 3，则a2bcsin A2sin Bsin C 的值等于()A2 393 B2633C833 D2 37【解析】选 D.因为 S ABC1
5、2 bc sin A，所以 c2Sb sin A 2 3124 3，所以 a2b2c22bc cos A148214 3 3237，所以 a 37，所以a2bcsin A2sin Bsin C asin A 37122 37.二、填空题7设 ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，若 bc2a，3sin A5sin B，则角 C_【解析】因为 3sin A5sin B，由正弦定理可得 3a5b，即 a53 b；因为 bc2a，所以 c73 b，所以 cos Ca2b2c22ab259 b2b2499 b2253b212，而 C(0，)，所以 C23.答案：238探险队为了测定
6、帐篷 A 到山峰 B 的距离，在帐篷旁边选定 100 米长的基线 AC，并测得C105，B15，则 A，B 两点间的距离为_【解析】由正弦定理得ABsin 105 100sin 15，所以 AB100sin 105sin 151006 246 24100(2 3).即 A，B 两点间的距离为 100(2 3)米答案：100(2 3)米9在 ABC 中，A120，AB5，BC7，则 AC_；sin Bsin C 的值为_【解析】由余弦定理可得 49AC22525ACcos 120，整理得：AC25AC240，解得 AC3 或 AC8(舍去)，所以由正弦定理可得sin Bsin C ACAB 35
7、.答案：3 3510 ABC 是等边三角形，点 D 在边 AC 的延长线上，且 AD3CD，BD2 7，则 CD_；sin ABD_【解析】如图所示，在等边 ABC 中，AD3CD，所以 AC2CD.又 BD2 7，所以 BD2BC2CD22BCCDcos BCD，即(2 7)2(2CD)2CD222CDCDcos 120，解得 CD2(负值舍去)，所以 AD6，由ADsin ABD BDsin A 得6sin ABD 2 7sin 60，解得 sin ABD3 2114.答案：2 3 2114三、解答题11在 ABC 中，若 sin A2sin B cos C，且 sin 2Asin 2Bs
8、in 2C，试判断 ABC的形状【解析】方法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理asin A bsin B csin C 及 sin2Asin2Bsin 2C，可得 a2b2c2，所以 A 是直角，BC90，所以 2sin B cos C2sin B cos(90B)2sin 2Bsin A1，所以 sin B 22.因为 0B90，所以 B45，C45，所以 ABC 是等腰直角三角形方法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，asin A bsin B csin C 及 sin 2Asin 2Bsin 2C，可得 a2b2c2，所以 A 是直角因为 A180(BC)，sin A2sin B c
9、os C，所以 sin(BC)sin B cos Ccos B sin C2sin B cos C，所以 sin(BC)0.又90BC90，所以 BC0，所以 BC，所以 ABC 是等腰直角三角形12(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2AsinBsin C.(1)求 A；(2)若 2 ab2c，求 sin C.【解析】(1)由已知得 sin 2Bsin 2Csin 2Asin B sin C，故由正弦定理得 b2c2a2bc.由余弦定理的推论，得 cos Ab2c2a22bc12.因为 0A180，所以 A60.(2)由(
10、1)知 B120C，由题设及正弦定理得 2 sin Asin 120C2sin C，即 62 32cos C12 sin C2sin C，可得 cos C60 22.由于 0C120，所以 sin C60 22，故 sin Csin C6060sin C60cos 60cos C60sin 606 24.一、选择题1在 ABC 中，若 3b2 3 a sin B，cos Acos C，则 ABC 的形状为()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形【解析】选 C.由正弦定理知 b2Rsin B，a2Rsin A，则 3b2 3 asin B 可化为：3sin B2 3 sin
11、Asin B.因为 0B0 的解集为x|xc且 a 3，则 B()A6 B3 C2 D23【解析】选 A.由题意，不等式 x223sin Acos Ax40 的解集为x|xc，所以 43sin Acos A2160，即 sin 2A61，又因为 0A，可得6 A6 0，解得 x2，所以 c2，又由 a 3，根据正弦定理得3sin 3 2sin C，解得 sin C1，所以 C2，又因为A3，所以 B6.3(多选)在 ABC 中，由已知条件解三角形，其中有唯一解的有()Ab20，A45，C80Ba30，c28，B60Ca14，b16，A45Da12，c15，A120【解析】选 AB.对 A 已知
12、两角，一边，三角形是确定的，只有唯一解；对 B 已知两边及夹角，用余弦定理解得第三边，唯一；对 C 由正弦定理得 sin Bb sin Aa16sin 45144 27a，即 BA，所以 B可能为锐角，也可能为钝角，两解；对 D 中 ac，A 角只能为锐角，已知 A 为钝角，三角形无解二、填空题4在 ABC 中，若 b2，A120，三角形的面积 S 3，则三角形外接圆的半径为_【解析】在 ABC 中，因为 b2，A120，三角形的面积 S 3 12 bcsin Ac 32，所以 c2b，故 BC12(180A)30，再由正弦定理可得 bsin B 2R2sin 30 4，所以三角形外接圆的半径
13、 R2.答案：25已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A6，b(42 3)a cos B，且 b1，则 B_；ABC 的面积为_【解析】依题意 A6，b(42 3)a cos B，由正弦定理得 sin B(42 3)sin 6 cos B，解得 tan B2 3，而 tan 64tan 6tan 41tan 6tan 433 11 332 3，而 B(0，)，所以 B6 4 512，则 C6 512 512 B，所以 cb1，所以 S12 cb sin A12 1112 14.答案：512 146已知在 ABC 中，a2，b4，C60，则 A_【解析】由余弦定理得，
14、c2a2b22abcos C224222412 12.所以 c2 3.由正弦定理asin A csin C 得，sin Aa sin Cc2 322 312.因为 ac，所以 A60.所以 A30.答案：307在 ABC 中，AB4 3，B4，点 D 在边 BC 上，ADC23，CD2，则 AD_；ACD 的面积为_【解析】因为ADC23，所以ADB3，在 ABD 中由正弦定理得 ADsin B ABsin ADB，AD AB sin Bsin ADB 4 3sin 4sin 34 2.在 ACD 中 S ACD12 ADDC sin CDA12 4 2 2 322 6.答案：4 2 2 6三
15、、解答题8在 ABC 中，已知 a2tan Bb2tan A，试判断 ABC 的形状【解析】在 ABC 中，由asin A bsin B，可得ab sin Asin B，所以a2b2 sin2Asin2B.又因为 a2tanBb2tan A，所以a2b2 tan Atan B，所以tan Atan B sin2Asin2B，所以 sinA cos Asin B cos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2.所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形9(2020江苏高考)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a3，c 2，B4
16、5.(1)求 sin C 的值；(2)在边 BC 上取一点 D，使得 cos ADC45，求 tan DAC 的值【解析】(1)由余弦定理，得 cos Bcos 45a2c2b22ac11b26 2 22，因此 b25，即 b 5，由正弦定理csin C bsin B，得2sin C 522，因此 sin C 55.(2)因为 cos ADC45，所以 sin ADC1cos 2ADC 35，因为ADC2，所以 C0，2，所以 cos C1sin 2C 2 55，所以 sin DACsin(DAC)sin(ADCC)sin ADC cos Ccos ADC sin C2 525，因为DAC0，2，所以 cos DAC1sin 2DAC 11 525，故 tan DACsin DACcos DAC 211.
