1、高考资源网（） 您身边的高考专家导数的应用（1）【考点导读】1 通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。2 结合函数的图象，了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简单多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上的最大（小）值。【基础练习】1若函数是上的单调函数，则应满足的条件是 。 2函数在0，3上的最大值、最小值分别是 5，15 。3用导数确定函数的单调减区间是。4函数的最大值是，最小值是。5函数的单调递增区间是 (-,-2)与(0,+ ) 。【范例导析】例1（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x
2、1）0，比较f（0）f（2）与2f（1）的大小： f（0）f（2） 2f（1） 。（2）在区间上的最大值是 2 。解：（1）由题意得：当x1时，f（x）0，所以函数f（x）在（1，）上是增函数；当x1时，f（x）0，所以f（x）在（，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1）；（2）当1x0，当0x1时，0，所以当x0时，f（x）取得最大值为2。点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数。例2 求下列函数单调区间：（1） （2）（3） （4）解：（1） 时 ， （2）
3、 ，（3） ， ， ，（4） 定义域为 点评：熟练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。例3设函数f(x)= （）求f (x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。解：由已知得，令，解得 。（）当时，在上单调递增； 当时， 随的变化情况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。（）由（）知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。备用题1求证下列不等式：（1） （2） （3） 证明：（1）设， 则 ， 又
4、为上 恒成立 设 又 在上 恒成立（2）原式 令 （3）令 点评：构造函数证明不等式主要是利用函数的最大（小）值来解决。2已知，函数设，记曲线在点处的切线为。（）求的方程；（）设与轴的交点为，证明：若，则解：（1）的导数，由此得切线的方程：，（2）依题得，切线方程中令，得，其中，（）由，有，及，当且仅当时，。（）当时，因此，且由（），所以。【反馈演练】1关于函数，下列说法不正确的是 （4） 。（1）在区间（，0）内，为增函数 （2）在区间（0，2）内，为减函数（3）在区间（2，）内，为增函数 （4）在区间（，0）内，为增函数2对任意x，有，则此函数为 。 3函数y=2x3-3x2-12x+5在
5、0, 3上的最大值与最小值分别是 5 , -15 。4 f()是定义在区间c,c上的奇函数，其图象如图所示：令，则下 列关于函数g（）的叙述正确的是 （2） 。（1）若a0,则函数g（）的图象关于原点对称.（2）若a=1，2b0,则方程g（）=0有大于2的实根.（3）若a0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.（4）若a1,b0)在x = 1处取得极值，其中为常数。（1）试确定的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x0，不等式恒成立，求c的取值范围。解：（I）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得当时，此时为减函数；当时，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为 版权所有高考资源网
