1、数 列一、选择题1(2020年高考数学课标卷理科)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是()ABCD解析：由知，序列的周期为m，由已知，对于选项A，不满足；对于选项B，不满足；对于选项D，不满足；故选：C2(2020年高考数学课标卷理科)数列中，若，则()A2B3C4D5解析：在等式中，令，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，则，解得故选：C3(2020年高考数学课标卷理科)北京天坛的圜丘坛为古代
2、祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()()A3699块B3474块C3402块D3339块【答案】C解析：设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以故选：C4(2019年高考数学课标卷理科)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15
3、，且，则()A16B8C4D2【答案】C【解析】设正数的等比数列的公比为，则，解得，故选C另解：数感好的话由，立即会想到数列：，检验是否满足，可以迅速得出5(2019年高考数学课标全国卷理科)记为等差数列的前项和已知，则()ABCD【答案】A解析：，所以，故选A6(2018年高考数学课标卷（理）)记为等差数列的前项和，,则()ABCD【答案】B解析：为等差数列的前项和，把，代入得，故选B7(2017年高考数学新课标卷理科)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,
4、1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是,接下来的两项是,再接下来的三项是,依此类推求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为的整数幂那么该款软件的激活码是()ABCD【答案】A【解析】解法一:本题考查了等比数列的求和,不等式以及逻辑推理能力 不妨设(其中)则有,因为,所以由等比数列的前项和公式可得因为,所以所以即,因为所以,故所以,从而有,因为,所以,当时,不合题意 当时,故满足题意的的最小值为 8(2017年高考数学新课标卷理科)记为等差数列的前项和若,则的公差为()ABCD【答案】C【解析】设公差为,联立解得,故选C 9(2017年高考数学课标卷理科)等差数列的首
5、项为，公差不为若成等比数列，则前项的和为()ABCD解析：数列的首项，设公差为，则由成等比数列可得，所以，即，整理可得，因为，所以，所以，故选A10(2017年高考数学课标卷理科)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏解法一：常规解法一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得11(2016高考数学课标卷理科)定义“规范01数列”如下:
6、共有项,其中项为项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有()A18个B16个C14个D12个【答案】C【解析】由题意,得必有,则具体的排法列表如图所示,共14个,故选C.0000111110111011010011101101001101000111011010011012(2016高考数学课标卷理科)已知等差数列前9项的和为27，则()(A)100(B)99(C)98(D)97【答案】C【解析】由等差数列性质可知：，故，而，因此公差故选C13(2015高考数学新课标2理科)已知等比数列满足，则()A21B42C63D84【答案】B解析：设等比数列公比为，则
7、，又因为，所以，解得，所以，故选B14(2013高考数学新课标2理科)等比数列的前项和为，已知，则等于()ABCD【答案】C解析：设等比数列的公比为，由得，即，又，所以15(2013高考数学新课标1理科)设的三边长分别为，的面积为，n=1,2,3,若，,则()A为递减数列B为递增数列C为递增数列，为递减数列D为递减数列，为递增数列解析: 因为，所以，注意到，所以于是中，边长为定值，另两边的长度之和为为定值因为，所以，当时，有，即，于是的边的高随增大而增大，于是其面积为递增数列16(2013高考数学新课标1理科)设等差数列an的前n项和为Sn，2，0，3，则()A3B4C5D6解析：由题意知=0
8、，=（-）=2，= -=3，公差=-=1，3=，=5，故选C17(2012高考数学新课标理科)已知为等比数列，则()ABCD解析：，由等比数列的性质可得，、联立方程组解得：=4，=-2或=-2，=4当=4，=-2时，q3=，=-8，=1，+=-7当=-2，=4时，q3=-2，则=-8，=1+=-7二、填空题18(2019年高考数学课标卷理科)记为等差数列an的前n项和，则_【答案】4【解析】因，所以，即，所以19(2019年高考数学课标全国卷理科)记为等比数列的前项和若，则【答案】解析：由，得，所以，又因为，所以，20(2018年高考数学课标卷（理）)记为数列的前项和若,则解析：为数列的前项和
9、若，当时，解得，当时，由可得，是以为首项，以2为公比的等比数列，21(2017年高考数学课标卷理科)设等比数列满足,，则 【解析】设等比数列的公比为，则依题意有，解得所以22(2017年高考数学课标卷理科)等差数列的前项和为，则 【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有： ，解得 ，数列的前n项和，裂项有：，据此： 。23(2016高考数学课标卷理科)设等比数列满足，则的最大值为 【答案】64【解析】由于是等比数列，设，其中是首项，是公比，解得：故，当或时，取到最小值，此时取到最大值所以的最大值为6424(2015高考数学新课标2理科)设是数列的前项和，且，则_【答案】解析：由已知
10、得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以25(2013高考数学新课标2理科)等差数列的前n项和为，已知，则的最小值为_解析：由已知解得，由函数的单调性知，的最小值为4926(2013高考数学新课标1理科)若数列的前n项和为，则数列的通项公式是=_解析:当=1时，=，解得=1，当2时，=()=，即=，是首项为1，公比为2的等比数列，=27(2012高考数学新课标理科)数列满足，则的前60项和为【答案】1830解析：由得，,再由得 由得由得, 1(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知(1)证明：数列是等差数列;(2)求的通项公式【答案】（
11、1）证明见解析；（2）解析：（1）由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,当n=1时，,当n2时,显然对于n=1不成立,2(2021年高考全国甲卷理科)已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列是等差数列：数列是等差数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【答案】答案见解析解析：选作条件证明：设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，所以选作条件证明：因为，是等差数列，所以公差，所
12、以，即，因为，所以是等差数列选作条件证明：设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，不合题意，舍去3(2020年高考数学课标卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项(1)求的公比；(2)若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，；（2）设前项和为，得，4(2020年高考数学课标卷理科)设数列an满足a1=3，(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；(2)求数列2nan的前n项和Sn【答案】（1），证明见解析；（2）解析：（1）由题意可得，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差
13、的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立那么时，也成立则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，由得：，即【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题5(2019年高考数学课标全国卷理科)已知数列和满足，证明：是等比数列，是等差数列；求和的通项公式【答案】见解析；，.由题设得，即又因为，所以是首项为，公比为的等比数列由题设得，即又因为，所以是首项为，公差为的等差数列由知，所以，【解析】由题意可知，所以，即，所以数列是首项为、公比为的等比数列，因为，所以，数列是首项、公差为等差数列，.由可知，所以，.6(2018年高考数学课标卷（理）)(12分)等
14、比数列中，(1)求的通项公式；(2)记为的前项和，若，求(1)或；(2)【答案】【官方解析】（1）设的公比为，由题设得由已知得，解得（舍去），或故或（2）若，则，由，得，此方和没有正整数解若，则，由，得，解得综上，7(2018年高考数学课标卷（理）)(12分)记为等差数列的前项和，已知，(1)求的通项公式；(2)求，并求的最小值【答案】解析：（1）设的公差为，由题意得由得，所以的通项公式为（2）由（1）得所以当时，取得最小值，最小值为8(2016高考数学课标卷理科)已知数列的前项和,其中.(1)证明是等比数列,并求其通项公式;(2)若,求.【答案】();().【解析】()由题意得,故,.由,得
15、,即.由,得,所以.因此是首项为,公比为的等比数列,于是.()由()得,由得,即,解得.9(2016高考数学课标卷理科)(本题满分12分)为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如(I)求；(II)求数列的前1000项和【答案】（1），；（2）【解析】（1）设的公差为，据已知有，解得所以数列的通项公式为，（2）因为所以数列的前项和为10(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)为数列的前项和已知(1)求的通项公式：(2)设,求数列的前项和解析：（）当时，因为，所以=3，当时，=，即，因为，所以=2，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（）由（）知，=，所以数列
16、前n项和为= =考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法11(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)已知数列满足=1，()证明是等比数列，并求的通项公式；()证明：【答案】解析：（）由，得，且所以是首相为，公比为的等比数列。因此，所以的通项公式为（）由（1）知当时，所以于是所以12(2014高考数学课标1理科)已知数列的前项和为,其中为常数(1)证明:;(2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由【答案】解析:(1)由题设,两式相减 ,由于,所以 (2)由题设,可得,由(1)知假设为等差数列,则成等差数列,解得; 证明时,为等差数列:由知 数列奇数项构成的数列是首项为1,公差为4的等差数列令则,数列偶数项构成的数列是首项为3,公差为4的等差数列令则,(),因此,存在存在,使得为等差数列
