2021-2022学年数学苏教版必修第二册课件：第10章 10-1-3 两角和与差的正切 .ppt

1、10.1.3 两角和与差的正切基础认知自主学习两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(+)tan(+)=_,+k+2(kZ)且tan tan 1两角差的正切T(-)tan(-)=tan tan 1tan tan _tantan1tan tan,k(kZ)2 且tan tan-11设角 的终边过点(2，3)，则 tan 4()A15 B15 C5 D5【解析】选 A.由于角 的终边过点(2，3)，因此 tan 32，故 tan 4tan 11tan 32113215.2tan 10tan 20 3(tan 10tan 20)等于()A 33 B1 C 3 D 6【解析】选 B

2、.原式tan 10tan 20 3 tan 30(1tan 10tan 20)tan 10tan 201tan 10tan 201.3已知 tan tan 2，tan()4，则 tan tan 等于()A2 B1 C12 D4【解析】选 C.因为 tan()tan tan 1tan tan 4 且 tan tan 2，所以21tan tan 4，解得 tan tan 12.4求值：tan 1112 _【解析】tan 1112 tan 12 tan 46tan 4tan 61tan 4tan 61 331 3323.答案：2 35已知 tan 2，则 tan 4_【解析】tan 4tan tan

3、 41tan tan 421121 3.答案：36.tan 75tan 151tan 75tan 15 _【解析】原式tan(7515)tan 60 3.答案：37已知 tan()25，tan 514，求 tan 5的值【解析】因为 5()5，所以 tan 5tan（）5tan（）tan 51tan（）tan 5251412514 322.学情诊断课时测评一、单选题1已知 cos 45，且 2，则 tan 4等于()A17 B7 C17 D7【解析】选 D.因为 cos 45，且 2，所以 sin 35，所以 tan sin cos 34，所以 tan 41tan 1tan 7.2已知，都是锐

4、角，tan 12，tan 13，则 的值为()A2 B3 C4 D6【解析】选 C.tan()tan tan 1tan tan 1213112131，又因为，都是锐角，所以(0，)，所以 4.3.tan 10tan 50tan 120tan 10tan 50的值等于()A1 B1 C 3 D 3【解析】选 D.因为 tan 60tan(1050)tan 10tan 501tan 10tan 50，所以 tan 10tan 50tan 60tan 60tan 10tan 50.所以原式tan 60tan 60tan 10tan 50tan 120tan 10tan 50 3.二、填空题4若 ta

5、n 33，则 tan 的值为_【解析】tan tan 33tan 3tan 31tan 3tan 3331 33（33）（3 31）（3 3）211210 32665 313.答案：65 3135tan 72tan 42 33tan 72tan 42_【解析】原式tan(7242)(1tan 72tan 42)33tan 72tan 42tan 30(1tan 72tan 42)tan 30tan 72tan 42tan 30 33.答案：33三、解答题6已知 tan()12，tan 17，且，(，0)，求 2 的值【解析】因为()，tan()12，tan 17，(，0)，所以 tan tan

6、()tan（）tan 1tan（）tan 12171121713.又 2()，所以 tan(2)tan()tan tan（）1tan tan（）1312113121.而 tan 13 0，tan 17 0，则，2，结合，2，则有 2(2，)，所以 274.一、选择题1已知 tan 3423，则 tan()A15 B15 C5 D5【解析】选 B.因为 tan 34tan tan 341tan tan 34tan 11tan 23，所以 tan 15.【加固训练】若sin cos sin cos 12，则 tan 4()A2 B2 C12 D12【解析】选 C.因为sin cos sin cos

7、 12，所以tan 1tan 1 12，所以 tan 3.所以 tan 4tan tan 41tan tan 4311（3）12.2已知 tan lg(10a)，tan lg 1a，且 4，则实数 a 的值为()A1 B 110 C1 或 110 D1 或 10【解析】选 C.因为 4，所以 tan()tan tan 1tan tan 1，tan tan 1tan tan，即 lg(10a)lg 1a 1lg(10a)lg 1a，11lg(10a)lg 1a，所以 lg(10a)lg 1a 0，lg(10a)0 或 lg 1a 0.得 a 110 或 a1.3已知，为锐角，tan 43，cos

8、()55，则 tan()()A247B 55C 211D2【解析】选 C.因为，为锐角，所以(0，).又因为 cos()55，所以 sin()1cos2（）2 55，因此 tan()2.因为 tan 43，所以 tan 2 2tan 1tan 2 247，因此，tan()tan 2()tan 2tan（）1tan 2tan（）211.【加固训练】1.计算1tan 151tan 15 等于()A 33 B 3 C1 D12【解析】选 A.1tan 151tan 15 tan 45tan 151tan 45tan 15tan 30 33.2.sin 15cos 15sin 15cos 15 _【解

9、析】sin 15cos 15sin 15cos 15 tan 151tan 151tan 15tan 451tan 15tan 45 tan(1545)tan(30)33.答案：334(多选)已知 tan，tan 是方程 x23 3 x40 的两个根，且2 2，22，则()Atan tan 3 3Btan()3Ctan tan 4 D23【解析】选 BCD.由根与系数的关系得：tan tan 3 3，tan tan 4，所以 tan 0，tan 0，所以 tan()tan tan 1tan tan 3 314 3，又2 2，2 2，且 tan 0，tan 0，所以0，所以 23.二、填空题5.

10、sin 7cos 15sin 8cos 7sin 15sin 8 _【解析】原式sin（158）cos 15sin 8cos（158）sin 15sin 8 sin 15cos 8cos 15cos 8 tan 15tan(4530)tan 45tan 301tan 45tan 30 2 3.答案：2 36(1)tan(75)_；(2)tan 74tan 761tan 74tan 76 _【解析】(1)tan 75tan(4530)tan 45tan 301tan 45tan 301 331 333 33 3 126 362 3，所以 tan(75)tan 752 3.(2)原式tan(747

11、6)tan 150 33.答案：(1)2 3 (2)33三、解答题7已知 ABC 中 tan Btan C 3 tan B tan C 3，且 3 tan A 3 tan B1tan A tan B，判断 ABC 的形状【解析】由 tan Atan(BC)tan(BC)tan Btan Ctan B tan C1 3 3tan B tan Ctan B tan C1 3.而 0A180，所以 A120.由 tan Ctan(AB)tan Atan Btan A tan B1 tan Atan B3tan A 3tan B 33，而 0C180，所以 C30，所以 B30.所以 ABC 是顶角为

12、 120的等腰三角形(60 分钟 100 分)一、选择题(每小题 5 分，共 45 分，多选题全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0 分)1已知 tan 2，则 sin 4sin 4()A 310 B 310 C35 D35素养培优练【解析】选 B.sin 4sin 4sin cos 4cos sin 4sin cos 4cos sin 412 sin 2cos 212 sin 2cos 2sin 2cos 2 12 tan 21tan 21 12 4141 310.2已知顶点在原点的锐角 绕原点逆时针转过6 后，终边交单位圆于 P13，y，则 sin 的值为()A2 2

13、36B2 2 36C2 616D2 616【解析】选 D.因为锐角 绕原点逆时针转过6 后，终边交单位圆于 P13，y，所以132y21，y2 23或2 23(舍去)，P13，2 23，则 sin 62 23，cos 613，故 sin sin 66sin 6cos 6 cos 6sin 6 2 23 321312 2 616.3已知 cos 6sin 4 35，则 sin 76的值为()A12 B 32 C45 D12【解析】选 C.因为 cos 6sin 32cos 32 sin 4 35，所以12 cos 32sin 45.所以 sin 76sin 632 sin 12cos 45.4在

14、 ABC 中，A4，cos B 1010，则 sin C()A 55 B 55 C2 55 D2 55【解析】选 D.因为 A4，所以 cos Asin A 22，又 cos B 1010，0B2，所以 sin B3 1010，又 C(AB)，所以 sin Csin(AB)sin A cos Bcos A sin B 22 1010 223 10102 55.5已知函数 f(x)cos 2xcos sin(2x)sin 在 x3 处取得最小值，则函数 f()x的一个单调递减区间为()A3，43B23，3C3，56D6，3【解析】选 D.因为 f(x)cos 2xcos sin 2xsin co

15、s 2xcos sin 2xsin cos 2x，且 f()x在 x3 处有最小值，所以 f3cos 23 1，所以23 2k，kZ，所以 3 2k，kZ，取 的一个值为3所以 f()xcos 2x3，令 2k2x3 2k，kZ，所以 k6 xk3，kZ，令 k0，所以此时单调递减区间为6，3.6已知 A，B，C 是 ABC 的三个内角，且 tan A，tan B 是方程 3x25x10 的两个实数根，则 ABC 是()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D无法确定【解析】选 A.因为 tan A，tan B 是方程 3x25x10 的两个实数根，则 tan Atan B53，tan A ta

16、n B13，所以 tan(AB)tan Atan B1tan A tan B 52，所以 0AB2，得2 C2 2Dk2 2 或 k2 2.9(多选)下列式子中叙述正确的为()Atan 2 1tan B存在、，满足 tan()tan tan C存在、，满足 tan()tan tan D对任意、，tan()tan tan【解析】选 ABC.tan 2 1tan ，A 正确存在 4，满足 tan()tan tan，B 正确存在 0，4，满足 tan()tan tan，C 正确对任意、，tan()tan tan 1tan tan ，D 不正确二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)10已知 tan

17、 2，tan 3，其中 090，90180，则1tan _，_【解析】1tan 1tan tan tan tan 7.因为 tan()tan tan 1tan tan 1，又 090，90180，所以1800，所以 45.答案：7 4511已知角，的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，若角 的终边经过点2，1，cos 45，且 0，2，则 sin _【解析】因为角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点()2，1，所以 sin 55，cos 2 55，又 5512，所以 2k2k6，kZ，因为 0，2，所以 2k2k23，kZ，因为 cos()45，所以 sin(

18、)35，所以 sin sin()sin()cos cos()sin 35 2 5545 552 525.答案：2 52512(2021杭州高一检测)函数 f()x2|sin x|cos x 的最小正周期为_，f()x的值域为_【解析】首先由 f()x2|sin x|cos x|两项的系数特征知，周期是 的正整数倍，而f(x)2|sin(x)|cos(x)|2|sin x|cos x|f(x)，故最小正周期是；最小正周期是，故只研究 x0，的值域即可当 x0，2时，f()x2sin xcos x 5 sin x，cos 25，sin 15，则 x，2 2，2，f(x)递增，故 x 时，f(x)m

19、in 5 sin 5 15 1，当 x2 时，f(x)max 5 sin 2 5 25 2，即值域为1，2；当 x2，时，f()x2sin xcos x 5 sin x，cos 25，sin 15，则 x2，2，32，f(x)递减，故值域为f()，f2，即1，2，综上，f(x)值域为1，2.答案：1，2三、解答题(每小题 10 分，共 40 分)13已知 02，2 0，且，满足 sin 55，cos 3 1010，求.【解析】因为 02，2 0，且 sin 55，cos 3 1010，故 cos 1sin2 115 2 55，sin1cos2 1 910 1010，由 02，2 0 得，00，

20、所以 为锐角，所以 4.14如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 210，2 55.(1)求 tan()的值；(2)求 2 的值【解题指南】先由任意角的三角函数定义求出 cos，cos，再求 sin，sin，从而求出 tan，tan，然后求 tan()，最后利用 2()，求 tan(2)，进而得到 2 的值【解析】由条件得 cos 210，cos 2 55，因为，为锐角，所以 sin 7 210，sin 55，所以 tan 7，tan 12.(1)tan()tan tan 1tan tan 7

21、1217123.(2)tan(2)tan()tan（）tan 1tan（）tan 3121（3）121，因为，为锐角，所以 0232，所以 234.15已知函数 f()x2sin x4cos x42 3 sin x cos x.(1)求 f()x单调递增区间；(2)若 f285，且 2，求 sin 的值【解析】(1)f()xsin 2x2 3 sin 2xcos 2x 3 sin 2x2sin 2x6，由 2k2 2x6 2k2()kZ，得 k3 xk6()kZ，则函数单调递增区间为k3，k6()kZ.(2)由 f285 得 2sin 685，即 sin 645，由 2，6 23，76，可得

22、cos 635，则 sin sin 66sin 6cos 6 cos 6sin 6，所以 sin 45 3235 12 4 3310.16如图，在某小区内有一形状为正三角形 ABC 的草地，该正三角形的边长为 20米，在 C 点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为 10 米，其喷射的水刚好能洒满以 C 为圆心，以 10 米为半径的圆，在 ABC 内部的扇形 CPQ 区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点 M，N 分别在线段 CA，CB 上，并且与扇形的弧相切于 ABC 内的 T 点，步道宽度忽略不计，设MCT.(1)试用 表示该步行道 MN 的长度；(2)试求出该步行

23、道 MN 的长度的最小值，并指出此时 的值【解析】(1)因为ACB3，所以NCT3，因为 MN 与扇形弧 PQ 相切于点 T，所以 CTMN.在 Rt CMT 中，因为 CT10，所以 MT10tan，在 Rt CNT 中，NCT3，所以 NT10tan(3)，所以 MN10tan 10tan 3，其中 03.(2)因为 03，所以 0tan 3，MN10tan 10tan 310tan 3tan 1 3tan，令 1 3 tan t，其中 1t4，则 MN10tan 3tan 1 3tan 10t13 4t3t10 33t4t220 33，当且仅当 t4t 时即 t2，6 时 MN 的最小值为20 33，故当 6 时步行道的长度有最小值20 33.