1、3.2 复数代数形式的四则运算32.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义内 容 标 准学 科 素 养1.掌握复数代数形式的加、减运算法则2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 复数加减运算预习教材P5657，思考并完成以下问题我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：abba abba(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)a(bc)abac(1)复数应怎样进行加、减运算呢？你认为应怎样定义复数的加减运算呢？运算律仍成立吗？提示：两个复数的加减运算就是把实
2、部与实部、虚部与虚部分别相加减(2)我们知道，两个向量的和满足平行四边形法则，复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？设 z1abi，z2cdi，则 z1z2(ac)(bd)i，如何用图形表示 z1z2？提示：如图，z1 对应向量OZ1，z2 对应向量OZ2，根据向量加法可知OZ OZ1OZ2.OZ1(a，b)，OZ2(c，d)，根据向量加法的坐标运算可知OZ OZ1OZ2(a，b)(c，d)(ac，bd)知识梳理 1.复数的加、减法运算法则设 z1 a bi，z2 c di 是 任 意 两 个 复 数，那 么：z1 z2 (a bi)(c di)，z1z2(ab
3、i)(cdi).2复数加法的运算律对任意 z1，z2，z3C，有：(1)交换律：；(2)结合律：(z1z2)z3.(ac)(bd)i(ac)(bd)i z1z2z2z1z1(z2z3)3复数加、减法的几何意义如图，设在复平面内复数 z1，z2 对应的向量分别为OZ1，OZ2，以 OZ1，OZ2 为邻边作平行四边形，则与 z1z2对应的向量是OZ，与 z1z2 对应的向量是Z2Z1.思考：类比绝对值|xx0|的几何意义，|zz0|(z，z0C)的几何意义是什么？提示：|zz0|(z，z0C)的几何意义是复平面内点 Z 到点 Z0 的距离自我检测1已知复数 z134i，z234i，则 z1z2()
4、A8i B6C68i D68i解析：z1z234i34i(33)(44)i6.答案：B2已知向量OZ1 对应的复数为 23i，向量OZ2 对应的复数为 34i，则向量Z1Z2 对应的复数为_解析：Z1Z2 OZ2OZ1(3，4)(2，3)(1，1)则向量Z1Z2 对应的复数为 1i.答案：1i探究一 复数加减法的运算阅读教材 P57例 1 及解答略题型：复数的加减运算例 1 计算下列各题：(1)(2 3i)2 32 i 1；(2)i213 i312 i；(3)(56i)(22i)(33i)解析(1)原式(2 2)3 32 i11 32 i.(2)原式1312 12131 i1616i.(3)原
5、式(523)6(2)3i11i.方法技巧 复数的加减运算的技巧(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)把 i 看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪探究 1.(1)(32i)(105i)(217i)；(2)(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0192 020i)解析：(1)原式(3102)(2517)i520i.(2)原式(12342 0172 0182 019)(23452 0182 0192 020)i1 0101 011i.探究二 复数加减运算的几何意义例 2 复数 z112i，z22i，z312i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点(如图所示)，
6、求这个正方形的第四个顶点对应的复数解析 由题意知复数 z1，z2，z3 所对应的点分别为 A，B，C，设正方形的第四个顶点D 对应的复数为 xyi(x，yR)因为AD OD OA，所以AD 对应的复数为(xyi)(12i)(x1)(y2)i，因为BC OC OB，则BC 对应的复数为(12i)(2i)13i.因为AD BC，所以它们对应的复数相等，因此x11，y23，解得x2，y1.故点 D 对应的复数为 2i.方法技巧 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内
7、可求得第三个向量及其对应的复数注意向量AB 对应的复数是 zBzA(终点对应的复数减去起点对应的复数)跟踪探究 2.在复平面内，A，B，C 分别对应复数 z11i，z25i，z333i，以AB，AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC，求 D 点对应的复数 z4 及 AD 的长解析：如图所示AC 对应复数 z3z1，AB 对应复数 z2z1，AD 对应复数 z4z1.由复数加减运算的几何意义，得AD AB AC，z4z1(z2z1)(z3z1)，z4z2z3z1(5i)(33i)(1i)73i.AD 的长为|AD|z4z1|(73i)(1i)|62i|2 10.探究三 复数加、减法的综合问题例
8、3 已知复数 z1，z2 满足|z1|z2|z1z2|，z1z22i，求 z1，z2.解析 设 z1abi(a，bR)，z1z22i，z22iz1a(2b)i，|z1z2|2.又|z1|z2|z1z2|，a2b22，a22b22，解得 a 3，b1.故所求的复数为 z1 3i，z2 3i 或 z1 3i，z2 3i.方法技巧 1.设出复数 zxyi(x，yR)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为 x，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用2在复平面内，z1，z2 对应的点为 A，B，z1z2 对应的点为 C，O 为坐标原点，则四边形 OACB为平行四边形；
9、若|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为矩形；若|z1|z2|，则四边形 OACB 为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为正方形跟踪探究 3.设 z1，z2C，已知|z1|z2|1，|z1z2|2，求|z1z2|.解析：法一：设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)由题意知 a2b21，c2d21.(ac)2(bd)22，2ac2bd0.|z1z2|2(ac)2(bd)2a2c2b2d22ac2bd2.|z1z2|2.法二：设复数 z1，z2，z1z2 分别对应向量OZ1，OZ2，OZ.|z1|z2|1，|z1z2|2，平行四边形 OZ1ZZ2
10、为正方形|z1z2|Z2Z1|OZ|2.课后小结(1)根据复数加、减法的几何意义知，两个复数对应向量的和、差所对应的复数就是这两个复数的和、差(2)求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则素养培优错用复数减法的几何意义致误不理解三角形解的情况与条件的关系复数 z 满足|z1i|1，求|z1i|的最小值易错分析：易错用复数减法的几何意义，其实|z1i|表示复数 z 对应的点到复数 1i 对应的点的距离，而|z1i|表示复数 z 对应的点与复数1i 对应的点之间的距离自我纠正：因为|z1i|1，所以由复数减法的几何意义可知，z 对应的点的轨迹是以点(1,1)为圆心，1 为半径的圆，而|z1i|则是圆上的点到点(1，1)的距离，所以|z1i|min 11211212 21.04 课时 跟踪训练
