1、2018年湖南省高中数学联赛（B）卷试题第卷（共70分）一、填空题（本大题共10小题，每小题7分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.设集合，若，则实数的取值范围为 2.如果函数的图像关于点中心对称,那么的最小值为 3. 如图，与分别是单位圆上的定点与动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则 4. 已知二面角为，动点，分别在面，内，到的距离为，到的距离为，则，两点之间距离的最小值为 5. 如图，将一个边长为的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操
2、作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫设是第次挖去的小三角形面积之和（如是第次挖去的中间小三角形面积，是第次挖去的三个小三角形面积之和）.则前次挖去的所有小三角形面积之和的值为 6.若，则的值为 7.如图放置的边长为的正方形沿轴正向滚动，即先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点滚动时的曲线为，则在上的表达式为 8.四个半径都为的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体,其下底与桌面重合,上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触,则该正方体的棱长为 9.设，则的最小值为 10
3、.设，函数（其中表示对于，当时表达式的最大值），则的最小值为 第卷（共80分）三、解答题 （本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 11. 如图，四棱锥中，底面，为棱上的一点，平面平面.（）证明：；（）求二面角的大小.12. 棋盘上标有第站，棋子开始时位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站（胜利大本营）或第站（失败集中营）时，游戏结束.设棋子跳到第站的概率为.（1）求的值；（2）证明：；（3）求，的值.13. （1）已知是矩形所在平面上的一点，则有.试证明该命题；（2）将上述命题推广到为空间上
4、任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明；（3）将矩形进一步推广到长方体，并利用（2）得到的命题建立并证明一个新命题.14. 设曲线所围成的封闭区域为.（1）求区域的面积；（2）设过点的直线与曲线交于两点，求的最大值.试卷答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9. 10.二、解答题11.解：以为坐标原点，射线，分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，设，则，.（1）证明：，设平面的法向量为，由，得到，故，取，则，又设，则，,设平面的法向量为，由，得到，故，令，则，由平面平面，得到，所以，故.（2）解：由（1）知，取的中点，则，故，又，故，因此向量与的夹角等于二面角的平面角，
5、于是，所以二面角的大小为.12.解：（1）棋子跳到第站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率为；第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为，因此.（2）易知棋子先跳到第站，再掷出反面，其概率为；棋子先跳到第站，再掷出正面，其概率为，因此有，即，或即.（3）由（2）知数列为首项为，公比为的等比数列，因此有.由此得到.由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.13. （1）证明：如图，设在直角坐标平面中，矩形的顶点坐标为，点是直角坐标平面上的任意一点，则，故.（2）推广命题：若棱锥的底面是矩形，则有.证明：如图，设棱锥的底面在空间直角坐标系的平面上,矩形的顶点
6、坐标为，设点坐标为，则，故.（3）再推广命题：设是长方体，是空间上任意一点，则.证明：如图，由（2）中定理可得和，所以.14. 解：（1）由题设，有，因此.若，则当时，此时，图像是两条直线段；当，对应于一段二次函数的图像；若，则当时，类似于前面的推导得，对应于二次函数图像的一段：；当，得到，无解.综上所述，区域的集合为：，由区域上函数图像性质，知区域的面积为.（2）设过点的直线为，为了求的最大值，由区域的对称性，只需考虑直线与在轴右侧图像相交部分即可.设过点的直线方程为，易知此时与相交时有.当时，与分别相交于二次函数以及，两个交点分别为，因此，为关于的递减函数.当时，直线与分别相交于二次函数以及直线，从图形性质容易看出，随着从变到，的值逐步减少.综上，当经过直线与二次函数曲线交点时，的值最大，此时直线方程为：,，的值为.当落在轴上时，因此的最大值为.
