1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算【知识梳理】1.向量的有关概念(1)向量的定义:既有_,又有_的量叫向量,常 用a或 表示.(2)向量的模:向量的大小,即表示向量的有向线段的 _叫做向量的模,记作|a|或|.大小 方向 AB长度 AB(3)几个特殊向量 特点 名称 长度(模)方向 零向量 0 _ 单位向量 _ 任意 相等向量 相等 _ 相反向量 _ _ 平行向量 _ 任意 1 相同 相等 相反 相同或相反 2.向量的加法、减法与数乘 定义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的运算 _法则 _法则(1)交换律:a+b=_(2)结合律:(a+b
2、)+c=_ 三角形 平行四边形 b+aa+(b+c)定义 法则(或几何意义)运算律 减法 向量a加上向 量b的_ _叫做a与b的差,即a+(-b)=a-b _法则 a-b=a+(-b)相反 向量 三角形 定义 法则(或几何意义)运算律 数乘 实数 与向量a的积是一个_,记作 a(1)模:|a|=|a|(2)方向:当 0时,a与a的方向_ 当 0时,a与a的方向_ 当=0时,a=0设,是实数.(1)_=()a(2)(+)a=_(3)(a+b)=_向量 相同 相反 (a)a+a a+b3.共线向量定理 向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使 _.b=a【特别提醒】1.三个常用的结论(1
3、)零向量与任何向量共线.(2)平行向量与起点无关.(3)若存在非零实数,使得 或 或 ,则A,B,C三点共线.ABAC ABBC ACBC 2.两个注意点(1)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点.(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a0”,否则可能不存在,也可能有无数个.【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修4P78习题2.1A组T5改编)已知ABC,设D是BC边 的中点,用 与 表示向量 ,则 =.ABACADAD【解析】如图,=答案:1ADABBDABBC2111AB(ACAB)ABAC.22211ABAC222.(必修4P92习题2.2B组T5改编)在平行四边形AB
4、CD中,若|=|,则四边形ABCD的形状为 .ABADABAD【解析】如图,因为 所以|=|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知,四边形ABCD是矩形.答案:矩形 ABADAC,ABADDB,ACDB感悟考题 试一试 3.(2016潍坊模拟)设P是ABC所在平面内的一点,则()BCBA2BP，A.PAPBB.PCPAC.PBPCD.PAPBPC0000【解析】选B.如图,根据向量加法的几何 意义,P是AC的中点,故 BCBA2BPPAPC.04.(2016德州模拟)如图,AB是O的直 径,点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,则 =()ABAC，abAD11A.B.2211C.D.22aba
5、babab【解析】选A.连接CD,OD,因为点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,所以 ,可得CDAB,CAD=DAB=90=30,因为OA=OD,所以ADO=DAO=30,由此可得CAD=ADO=30,所以ACDO.ACBD13所以四边形ACDO为平行四边形,所以 11ADAOACABAC.22ab5.(2016日照模拟)如图,在ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若 则m+n的值为 .ABmAM ACnAN，【解析】连接AO,则 因为M,O,N三点共线,所以 所以m+n=2.答案:2 1mnAO(ABAC)AMAN222，mn122，考向一 平面
6、向量的概念【典例1】(1)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是()A.|a|=|b|且ab B.a=-bC.ab D.a=2b|abab(2)已知下列结论:若ab,bc,则ac;非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件;四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 ,为实数,若 a=b,则a与b共线.其中正确的序号为 .ABDC；【解题导引】(1)利用单位向量与向量相等的概念求解.(2)利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断.【规范解答】(1)选D.由 表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知D满足题意.|aa|bb(2)对于,当b=0
7、时,条件满足但结论不成立;对于,因为向量a与b都是非零向量,所以该命题是正确的;对于,四边形是大前提,当 时,即ABDC,且AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形,反之,若四边形ABCD是平行四边形,则 ,所以正确;ABDCABDC对于,当=0时,a与b可为任意向量,不一定共线,所以不正确.答案:【母题变式】1.本例(2)中,若b0,该结论是否正确?【解析】若b0,又ab,bc,所以ac显然成立,故该结论正确.2.若本例(2)中的实数,满足 2+20,该结论是否正确?【解析】由2+20知实数,中至少有一个不为0.()若0,=0,则a=0b=0.因为0,所以a=0,又0与任何向量共线,所以结
8、论正确.()同理,若=0,0,结论也正确;()若0,0,由a=b得a=b,由共线向量定理知结论正确.综上所述,该结论正确.【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错.(1)不清楚 表示何种向量,不知道 是a方向上的单位向量.(2)求解时易忽视两向量是同向还是反向,是共线还是相等.,|abab|aa【规律方法】把握向量有关概念的关键点(1)定义:方向和长度.(2)非零共线向量:方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量:方向相同且长度相等.(4)单位向量:方向没有限制,但长度都是一个单位长度.(5)零向量:方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共线.【变式训练】设a0为单位向量,下述命题
9、中:若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;若a与a0平行,则a=|a|a0;若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选D.向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.【加固训练】1.下列命题中正确的个数为()有向线段就是向量,向量就是有向线段;向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;向量 与向量 共线,则A,B,C,D四点共线;如果a=b,b=c,那么a=c.A.
10、1 B.2 C.3 D.0 ABCD【解析】选A.不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;正确,因为a=b,b=c,由相等向量的概念可知a与c方向相同,大小相等,故a=c.2.(2016南昌模拟)下列关于向量的叙述不正确的 是()A.向量 的相反向量是 B.模长为1的向量是单位向量,其方向是任意的 C.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB=CD,则 D.若向量a与b满足关系a+b=0,则a与b共线 ABBAABCD【解析】
11、选C.A,B显然正确;对于C,如图,A,B,C,D四点满足条件,但 ,所以C不正确;对于D,由a+b=0,得b=-a,由共线向量定理知,a与b共线,所以D正确.ABCD考向二 平面向量的线性运算及应用【典例2】(1)(2014全国卷)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则 =()(真题溯源:本题源自A版必修4P92A组T12)EBFC11A.ADB.ADC.BCD.BC22(2)(2015北京高考)在ABC中,点M,N满足 若 则x=,y=.AM2MC,BNNC，MNxAByAC，【解题导引】(1)结合图形和三角形法则求解.(2)结合图形利用向量线性运算的法则求解.【规范解答
12、】(1)选A.如图所示,(2)由 得 所以 所以 答案:EBFC(ECBC)(FBBC)ECFB111ACAB(ACAB)AD.222AM2MC,BNNC11CMAC,CNBC32 1(ACAB)2，11MNCNCM(ACAB)AC23 11ABAC.2611x,y.26 1126【规律方法】1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置.
13、(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式.(3)比较,观察可知所求.【变式训练】(2016济南模拟)已知D为三角形ABC的 边BC的中点,点P满足 则实数 的值为 .PABPCPAPPD,，0【解析】因为 所以 所以 所以 因为 所以=-2.答案:-2 PABPCP，0PAPBPC,PA2PD，AP2PD，APPD，【加固训练】1.(2016乐山模拟)如图,点M是ABC的重心,=则x+y=()A.B.1 C.D.2 CMxMAyMB，5632【解析】选D.由题意,得点F是AB的中点,所以 因为点M是ABC的重心,所以 又 ，所以x=y=1.故x+y=2.MAMB2MF
14、,CM2MFMAMB，CMxMAyMB2.(2016厦门模拟)如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则 =()OPOQA.OHB.OGC.FOD.EO【解析】选C.设a=,以OP,OQ为邻边作平行四边 形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=因为a和 长度相等,方向相同,所以a=,故选C.OPOQOPOQ,FOFO3.(2016亳州模拟)下列各式中不能化简为 的是()PQA.AB(PABQ)B.(ABPC)(BAQC)C.QCQPCQD.PAABBQ【解析】选D.显然由 得不出 所以不能化简为 的式子是D.AB(PABQ)ABBQPAPAAQPQ;(ABPC)(B
15、AQC)(ABBA)(PCQC)PCCQPQ;QCQPCQPCCQPQ;PAABBQPBBQ，PBBQPQ,PQ考向三 共线向量定理及其应用【典例3】(1)(2016东营模拟)已知向量a与b不共线,若 a+b与a+b共线,则=.(2)如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,用a,b表示向量 求证:B,E,F三点共线.2AEAD,3AB,AC.abAD,AE,AF,BE,BF;【解题导引】(1)利用共线向量定理及向量相等的概念求解.(2)利用线性运算几何意义求解.利用共线向量定理得出.【规范解答】(1)因为a+b与a+b共线,所以存在实数x,使a+b=x(a+b),即a+b=xa+xb.
16、因为a与b不共线,所以 即2=1,所以=1.答案:1 x,x1,(2)由已知可得:(a+b),因为 所以 =(a+b)=(a+b),由 得 又 有公共点B,故B,E,F三点共线.11AD(ABAC)222AEAD,3AE23121311AFAC22，b1121BEAEAB()BFAFAB.3332，abababa121BEBF332，baba2BEBF3，BE BF，【规律方法】共线向量定理的应用(1)证明向量共线:对于向量a,b,若存在实数,使a=b,则a与b共线.(2)证明三点共线:若存在实数,使 ,则A,B,C三点共线.ABAC(3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组
17、)求参数的值.提醒:证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.【变式训练】(2016临沂模拟)设e1,e2为两不共线的 向量,则a=e1+e2与b=-(2e2-3e1)共线的条件是()32A.B.2323C.D.32 【解析】选C.e1,e2为两不共线的向量,a=e1+e2与b=-(2e2-3e1)共线,可得e1+e2=-k(2e2-3e1),所以1=3k,=-2k,解得 12k33 ，【加固训练】1.a=b(R)是a与b共线的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=b(R)时,若b=0,则a=0,显然a与b共线;若b0,则由共线
18、向量定理知a与b共线.反之,若a与b共线,当b=0,而a0时,a=b(R)不成立.故选A.2.(2016南昌模拟)已知向量a,b,c中任意两个都不共线,并且a+b与c共线,b+c与a共线,那么a+b+c等于()A.a B.b C.c D.0【解析】选D.因为a+b与c共线,所以a+b=1c.又因为b+c与a共线,所以b+c=2a.由得:b=1c-a.所以b+c=(1+1)c-a=2a,所以 即 所以a+b+c=-c+c=0.12101 ，121,1 ，3.设e1,e2是两个不共线向量,已知 =2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线.(2)若 =3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.ABCBCDBF【解析】(1)由已知得 =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,因为 =2e1-8e2,所以 又有公共点B,所以A,B,D三点共线.BDCDCBABAB2BD,(2)由(1)可知 =e1-4e2,且 =3e1-ke2,又因为B,D,F三点共线,所以存在实数,使得 即3e1-ke2=e1-4e2,得 解得k=12.BDBFBFBD,3,k4,
