1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3讲基本不等式考纲解读1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题(重点)2掌握基本不等式内容，“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测2021年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现1.基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件两个不等式的关系a2b22aba，bRab在不等式a2b22ab中，若a0，b0，分别以，代替a
2、，b可得ab2，即a0，b0ab设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误3.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)，2(a2b2)(ab)2(a，bR)(5
3、)ab(a，bR)(6)(a0，b0)1.概念辨析(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(2)函数f(x)的最小值为2.()(3)x0且y0是2的充要条件()答案(1)(2)(3)2.小题热身(1)若x0，则x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为2D.有最大值，且最大值为2答案D解析因为x0，所以x0，x2，当且仅当x1时，等号成立，所以x2.(2)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A.80 B77 C81 D82答案C解析由基本不等式18xy29xy81，当且仅当xy时，xy有最大值81，故选C.(3)已知lg alg
4、b2，则lg (ab)的最小值为()A.1lg 2 B2C.1lg 2 D2答案A解析由lg alg b2，可知a0，b0，lg (ab)2，即ab100.所以ab2220，当且仅当ab10时取等号，所以lg (ab)lg 201lg 2.故lg (ab)的最小值为1lg 2.(4)周长为12的矩形，其面积的最大值为_答案9解析设此矩形的长和宽分别为x，y，则2(xy)12，xy6.所以xy29.当且仅当xy3时，xy取得最大值9.即此矩形面积的最大值为9.题型 一利用基本不等式求最值角度1直接应用1.(2019开封模拟)若实数x，y满足2x2y1，则xy的最大值是()A.4 B2 C2 D4
5、答案B解析由题得2x2y22(当且仅当xy1时取等号)，所以12，所以2xy，所以222xy，所以xy2.所以xy的最大值为2.角度2拼凑法求最值2.(1)求f(x)4x2的最大值；(2)已知x为正实数且x21，求x的最大值解(1)因为x，所以54x0，则f(x)4x23231，当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(2)因为x0，所以x，当且仅当x2，即x，y2时，等号成立又x2，所以x，即(x)max.角度3构造不等式求最值(多维探究)3.已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值为()A.3 B4 C. D.答案B解析因为x0，y0，且x2y2xy8，所以
6、x2y82xy82，当且仅当x2y，即x2，y1时，等号成立整理得(x2y)24(x2y)320，解得x2y4或x2y8.又x2y0，所以x2y4.故x2y的最小值为4.条件探究将本例中的条件“x2y2xy8”改为“4xyx2y4”，其他条件不变，则xy的最小值为_答案2解析因为x0，y0且4xyx2y4，所以4xy4x2y2，当且仅当x2y，即x2，y1时，等号成立整理可得2xy20.解得2，即xy2，所以xy的最小值为2.角度4常数代换法求最值(多维探究)4.(2019北京师大附中模拟)已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an，使得aman16a，则的最小值为()A.
7、 B. C. D不存在答案C解析设正项等比数列an的公比为q，且q0，由a7a62a5得a6qa6，化简得，q2q20，解得q2或q1(舍去)，因为aman16a，所以(a1qm1)(a1qn1)16a，则qmn216，解得mn6，所以(mn).当且仅当时取等号，此时解得因为m，n取正整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当m2，n4时，取得最小值为.条件探究将本例中数列an满足的条件改为“数列an是等差数列，an0，且a52”，则的最小值为_答案4解析由已知得，a2a82a54，且a20，a80.所以(a2a8)4，当且仅当，即a83a2时等号成立所以的最小值为4.1.拼凑法求解
8、最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形如举例说明2(2)；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标如举例说明2(1)；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件2.通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解3.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式如举例说明4；(4)利用基本不等
9、式求解最值.1.若正数x，y满足x23xy10，则xy的最小值是()A. B. C. D.答案B解析对于x23xy10可得y，xy2.故选B.2.(2020岳阳一中月考)已知ab0，则2a的最小值为()A.6 B4 C2 D3答案A解析因为ab0，所以ab0，ab0，所以2aabab22426.当且仅当ab且ab，即a，b时等号成立所以2a的最小值为6.题型 二基本不等式的综合应用角度1基本不等式中的恒成立问题1.(2019河南平顶山一模)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是()A.a Ba Ca Da答案A解析因为对任意x0，a恒成立，所以对x(0，)，amax，而对x(0，)，当且仅当
10、x1时等号成立，所以a.故选A.角度2基本不等式与其他知识的综合问题2(2019昆明模拟)如图，在矩形ABCD中，已知AB4，AD3，点E，F分别在BC，CD上，且EAF45.设BAE，当四边形AECF的面积取得最大值时，则tan_.答案1解析在直角三角形ABE中，可得BE4tan(0tan1)，在直角三角形ADF中，DF3tan(45)，可得四边形AECF的面积S1244tan33tan(45)128tan208(1tan)8(1tan)212，当且仅当8(1tan)，即tan1，且满足0tan0恒成立，得k13x.3x2，当且仅当3x时，等号成立k12，即k0，b0，a，b的等比中项是1，
11、且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6答案B解析由题意知ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44，当且仅当ab1时取等号，故mn的最小值为4.3已知pa，qx22，其中a2，xR，则p，q的大小关系是()Apq Bpq Cpq Dpq答案A解析由a2，故pa(a2)2224，当且仅当a3时取等号因为x222，所以qx2224，当且仅当x0时取等号，所以pq.故选A.4(2019郑州外国语学校月考)若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg ，则()ARPQ BQPRCPQR DPRQ答案C解析因为ab1，所以lg a0，lg b0，且lg alg b，所以(lg al
12、g b)，由，得lglg .所以(lg alg b)lg ，综上知PQR.5若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C2 D.答案C解析由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.6几何原本第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为()A.(a0，
13、b0)Ba2b22ab(a0，b0)C.(a0，b0)D. (a0，b0)答案D解析由图可知OFAB，OC.在RtOCF中，由勾股定理可得CF.CFOF，(a0，b0)故选D.7(2019中山模拟)已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D8答案B解析已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，只要求(xy)的最小值大于或等于9，(xy)1aa21，当且仅当yx时，等号成立，a219，2或4(舍去)，a4，即正实数a的最小值为4.8(2020陕西榆林摸底)已知正数x，y满足x2y21，则当x_时，取得最小值，最小值为_答案2解析由基本不等式可得
14、x2y22xy，当且仅当xy时等号成立正数x，y满足x2y21，xy，当且仅当xy时等号成立22，当且仅当xy时等号成立，的最小值为2.9设x，y均为正数，且xyxy100，则xy的最小值是_答案6解析因为x，y均为正数，且xyxy100，所以x(y1)y10，x1，所以xy1yy126，当且仅当y1，即y2时等号成立所以xy的最小值是6.10(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_答案30解析一年的总运费为6(万元)一年的总存储费用为4x万元总运费与总存储费用的和为万元因为
15、4x2 240，当且仅当4x，即x30时取得等号，所以当x30时，一年的总运费与总存储费用之和最小组能力关1(2019东北育才学校模拟)设(1，2)，(a，1)，(b,0)(a0，b0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A4 B. C8 D9答案D解析(a1,1)，(b1,2)，若A，B，C三点共线，则有A，(a1)21(b1)0，2ab1，又a0，b0，(2ab)5529，当且仅当即ab时等号成立故选D.2已知函数f(x)ax2bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为2，则的最小值是()A10 B9 C8 D3答案B解析由函数f(x)ax2bx，得f(x
16、)2axb，由函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2ab2，所以(2ab)(108)9，当且仅当，即a，b时等号成立，所以的最小值为9，故选B.3(2019河北石家庄模拟)若a，b是正数，直线2axby20被圆x2y24截得的弦长为2，则ta取得最大值时a的值为()A. B. C. D.答案D解析因为圆心到直线的距离d，则直线被圆截得的弦长L2 22，所以4a2b24.则ta(2a)(2a)2()28a212(44a2)，当且仅当时等号成立，此时a，故选D.4(2019江淮十校模拟)已知函数f(x)|ln (x1)|，若f(a)f(b)，则a2b的取值范围为()A
17、(4，) B32，)C6，) D(4,32答案B解析函数f(x)|ln (x1)|，f(a)f(b)，且x1，不妨设ab，则1a2b.ln (a1)ln (b1)，b1，b1，a2ba2a133232，当且仅当a1取等号，a2b的取值范围是32，)5(2019天津一中高考模拟)已知关于x的不等式x25ax2a20)的解集为(x1，x2)，则x1x2的最小值是_答案解析由于a0，故一元二次方程x25ax2a20的判别式25a242a217a20，由根与系数的关系，得则x1x25a5a2，当且仅当5a，a时等号成立综上可得x1x2的最小值是.6当0m时，若k22k恒成立，则实数k的取值范围为_答案2,4解析因为0m，所以2m(12m)2，当且仅当2m12m，即m时取等号，所以8，又k22k恒成立，所以k22k80，所以2k4.所以实数k的取值范围是2,4- 18 - 版权所有高考资源网
