1、第2讲单摆目标定位1.知道什么是单摆.2.理解偏角很小时单摆的振动是简谐运动.3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式并能用它进行计算一、单摆的简谐运动1如图121，若忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆图1212在偏角很小的情况下，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比，因而单摆在偏角很小时的振动是简谐运动想一想单摆的回复力是否就是单摆所受的合外力？答案不是单摆的运动可看作是变速圆周运动，其合力可分解为指向圆心的法向力和沿圆周切线的切向力，在沿圆周切线的切向力作用下，单摆做的是简谐运动，因而单摆的回复力只是其所受合力的一个分
2、力二、单摆做简谐运动的周期单摆在偏角很小的情况下做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，单摆做简谐运动时的周期公式为T2.一、单摆及单摆的回复力1单摆(1)单摆是实际摆的理想化模型(2)实际摆看作单摆的条件摆线的形变量与摆线长度相比小得多悬线的质量与摆球质量相比小得多摆球的直径与摆线长度相比小得多2单摆的回复力(1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切向的分力Fmgsin 提供的图122(2)如图122所示，在最大偏角很小的条件下，sin ，其中x为摆球对平衡位置O点的位移单摆的回复力Fx，令k，则Fkx.由此可见，单摆在偏角很小的条件下的振
3、动为简谐运动注意：(1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零(2)单摆的回复力为小球受到的沿切线方向的合力，而不是小球受到的合外力【例1】对于单摆的振动，以下说法中正确的是()A单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C摆球经过平衡位置时所受回复力为零D摆球经过平衡位置时所受合外力为零解析单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为mv2/l，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零故应选C.答案C借题发挥
4、单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力摆球所受的合外力在摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力)针对训练振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合外力的说法中正确的是()A回复力为零，合外力不为零，方向指向悬点B回复力不为零，方向沿轨迹的切线C合外力不为零，方向沿轨迹的切线D回复力为零，合外力也为零解析振动的单摆小球通过平衡位置时，回复力为零，合外力指向悬点提供摆球圆周运动的向心力，故A选项正确答案A二、单摆做简
5、谐运动的周期1伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟2单摆的周期公式：T2.3对周期公式的理解(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)图123(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离ll线r球如是双线摆，则公式中l应为等效摆长：如图123所示图中甲、乙在垂直纸面方向摆起来的效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsin ，这就是等效摆长，所以其周期为T2.(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关所以单摆的周期也叫固有周期【例2】在“探究单
6、摆的周期和摆长的关系”实验中(1)下列说法正确的是_和_(填选项序号字母)A悬线越短越好B悬线上端固定且摆角要小C摆球应在竖直平面内摆动D摆球摆至最高点时开始计时(2)以摆球通过平衡位置时开始计时，用停表记下摆球通过平衡位置n次所用的时间t，则单摆周期T_；用米尺量出悬线的长度l0，用游标卡尺量出摆球的直径d，则摆长l_.(3)根据记录的数据，在坐标纸上以T为纵轴，l为横轴，作出Tl图像，发现图线是曲线；然后尝试以T2为纵轴，l为横轴，作出T2l图像，发现图线是一条过原点的倾斜直线，由此得出单摆做简谐运动的周期和摆长的关系是()AT BT2 CTl DT2l解析(1)摆线长些好，否则摆球的运动
7、不明显；悬线上端要固定以防摆长变长，并且摆角要小，否则单摆周期公式不成立；摆球应在竖直平面内摆动，应该在摆球摆至最低点时开始计时，因为此时摆球的速度最大，计时更准确(2)以摆球通过平衡位置时开始计时，记为0，用停表记下摆球通过平衡位置n次所用的时间t，则单摆周期T；摆长指的是从悬点到摆球重心的距离，本题中摆长ll0.(3)根据题述“T2l图线是一条过原点的倾斜直线”可知，T2l，选项D正确答案(1)BC(2)l0(3)D【例3】若单摆的摆长不变，摆球的质量由20 g增加为40 g，摆球离开平衡位置的最大角度由4减为2，则单摆振动的()A频率不变，振幅不变 B频率不变，振幅改变C频率改变，振幅不
8、变 D频率改变，振幅改变解析单摆的摆长不变时，单摆振动的周期T2不变，频率f1/T不变；摆长不变时，摆角越小，振幅越小，选项B正确答案B第2讲单摆单摆的简谐运动1单摆是为研究振动而抽象出来的理想化模型，其理想化条件是()A摆线质量不计B摆线长度不伸缩C摆球的直径比摆线长度小得多D只要是单摆的运动就是一种简谐运动解析单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，摆线不伸缩，A、B、C选项均正确；但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在偏角很小(5)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动故A、B、C正确答案ABC2单摆振动的回复力是()A摆球所受的重力B摆球重力在垂直悬线方向上
9、的分力C悬线对摆球的拉力D摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力解析摆球振动的回复力是其重力沿圆弧切线方向的分力，即摆球重力在垂直悬线方向上的分力，B正确答案B单摆做简谐运动的周期3单摆原来的周期为T，下列哪种情况会使单摆周期发生变化()A摆长减为原来的B摆球的质量减为原来的C振幅减为原来的D重力加速度减为原来的解析由单摆周期公式可知周期仅与摆长、重力加速度有关答案AD4如图124所示，一摆长为l的单摆，在悬点的正下方的P处有一钉子，P与悬点相距ll，则这个单摆做小幅度摆动时的周期为()图124A2 B2C D2 解析碰钉子前摆长为l，故周期T12，碰钉子后摆长变为l，则周期T22，所以该组合摆的
10、周期T答案C第2讲单摆题组一单摆的简谐运动1做一个单摆有下列器材可供选用，可以用来做成一个单摆的有()A带小孔的实心木球 B带小孔的实心钢球C长约1 m的细线 D长约10 cm的细线解析制作单摆时应选用体积小、质量大的球和细、长、轻、弹性小的线答案BC2关于单摆，下列说法中正确的是()A摆球运动的回复力是它受到的合力B摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的C摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D摆球经过平衡位置时，加速度为零解析摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A错；摆球经过最低点时，回复力为0，但合力提供向心力，C、D错；由简谐运动特点知B正确答案B3当单摆的摆球摆
11、到最大位移处时，摆球所受的()A合外力为零 B回复力为零C向心力为零 D摆线中张力为零解析当摆球摆到最大位移处时，回复力最大，不为零，所以选项A、B均错；摆球在最大位移处，速度为零，由向心力公式F可知，向心力也为零，此时摆线中的张力等于重力沿摆线方向上的分力，所以选项C对，D错答案C4做简谐振动的单摆，在摆动的过程中()A只有在平衡位置时，回复力才等于重力和细绳拉力的合力B只有在最高点时，回复力才等于重力和细绳拉力的合力C小球在任意位置处，回复力都等于重力和细绳拉力的合力D小球在任意位置处，回复力都不等于重力和细绳拉力的合力解析单摆在一个圆弧上来回运动，摆球做圆周运动的向心力由重力沿悬线方向的
12、分力和悬线拉力的合力提拱，而回复力是指重力沿圆弧切线方向的分力摆球在平衡位置速度不为零，向心力不为零，而回复力为零，所以合力不是回复力；摆球在最高点时，速度为零，向心力为零，合力等于回复力故选项B正确答案B5如图125所示是单摆振动示意图，下列说法正确的是()图125A在平衡位置摆球的动能和势能均达到最大值B在最大位移处势能最大，而动能最小C在平衡位置绳子的拉力最大，摆球速度最大D摆球由AC运动时，动能变大，势能变小解析单摆的振动是简谐运动，机械能守恒，远离平衡位置运动，位移变大，势能变大，而动能减小；反之，向平衡位置运动时，动能变大而势能变小，故B、D正确，A错；小球在平衡位置只受重力和绳子
13、拉力，在平衡位置C，拉力Fmgmv2/l，由上述分析知，平衡位置时动能最大，即v最大，故F也最大，所以C正确答案BCD题组二单摆做简谐运动的周期6发生下列哪一种情况时，单摆周期会增大()A增大摆球质量 B缩短摆长C减小单摆振幅 D将单摆由山下移至山顶解析由单摆周期公式T2知，T与单摆的摆球质量、振幅无关，缩短摆长，l变小，T变小；单摆由山下移到山顶，g变小，T变大答案D7甲、乙两个单摆的摆长相等，将两单摆的摆球由平衡位置拉起，使摆角甲乙5，由静止开始释放，则()A甲先摆到平衡位置B乙先摆到平衡位置C甲、乙两摆同时到达平衡位置D无法判断解析两个单摆的摆长相等，则两个单摆的周期相等，单摆从最大位移
14、摆到平衡位置所用的时间相等，选项C正确答案C8一只钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是()Ag甲g乙，将摆长适当增长Bg甲g乙，将摆长适当缩短Cg甲g乙，将摆长适当增长Dg甲g乙，将摆长适当缩短解析从甲地到乙地，钟摆的周期减小了，由T2，知g甲g乙，若要使周期回到原值，应适当增加摆长答案C9如图126所示为演示简谐运动的砂摆，已知摆长为l，漏斗的质量为m，细砂的质量为M，Mm，细砂逐渐下漏的过程中，单摆的周期()图126A不变B先变大后变小C先变小后变大D逐渐变大解析在砂摆摆动细砂逐渐下漏的过程中，摆的重心逐渐下移，即摆长l逐渐变大，当细砂流到一
15、定程度后，摆的重心又重新上移，即摆长l变小，由周期公式T2 可知，砂摆的周期先变大后变小，故正确选项为B.答案B10如图127所示的单摆，摆长为l40 cm，摆球在t0时刻从右侧最高点释放做简谐振动，则当t1 s时，小球的运动情况是()图127A向右加速 B向右减速C向左加速 D向左减速解析单摆的周期T22 s0.4 s1.256 s，t1 s时，则TtT，摆球从右侧最高点释放做简谐运动，在t1 s时已经越过平衡位置(最低点)，正向右侧最大位移处运动，由平衡位置向最大位移运动的过程中，摆球做的是减速运动，故A、C、D错误，B正确答案B11如图128所示，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现
16、将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则()图128A如果mAmB，下一次碰撞发生在平衡位置右侧B如果mAmB，下一次碰撞发生在平衡位置左侧C无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧解析两单摆摆长相同，由T2知两单摆的周期相同(与摆球质量无关)两球碰撞后分开又返回到平衡位置的时间都是各自的半个周期，故它们应在平衡位置发生下一次碰撞，选项C、D正确答案CD12.有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时
17、，摆线的上部将被小钉挡住使摆长发生变化现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片，如图129所示(悬点和小钉未被摄入)P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为()图129A. BC. D条件不足，无法确定解析题图中M到P为四个时间间隔，P到N为两个时间间隔，即左半部分单摆的周期是右半部分单摆周期的，根据周期公式T2，可得左半部分单摆的摆长为，即小钉距悬点的距离为L，故C选项正确答案C13.如图1210所示，有一个小球(视为质点)从光滑圆弧槽的P点由静止释放，沿圆弧槽来回摆动， (O点为圆弧的最低点)段远小于圆弧槽的半径R，
18、则下列说法正确的是()图1210A小球摆动过程中的回复力由重力沿其运动方向的分力提供B小球摆动至最低点O时所受合外力为零C小球摆动的周期为T2D若小球在P点释放的同时，O点右侧的Q点上也有一个不计大小的小球由静止释放，已知则两球将在O点左侧相遇解析圆弧摆摆球受力与单摆相似，圆弧槽对其弹力FN与单摆摆线的拉力FT所起的作用是一样的，重力沿圆弧切线方向的分力作振动的回复力，故A正确；摆至最低点时，回复力为零，但向心力最大，故B错误；当偏角(半径与竖直方向夹角)5时，近似为简谐运动，因段远小于圆弧槽的半径R，满足条件，故周期T2，C正确；周期与振幅大小无关，两小球必在最低点O相遇，D错误答案AC14
19、2014江苏单科，12B(2)在“探究单摆的周期与摆长的关系”实验中，某同学准备好相关实验器材后，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度后释放，同时按下秒表开始计时，当单摆再次回到释放位置时停止计时，将记录的这段时间作为单摆的周期以上操作中有不妥之处，请对其中两处加以改正解析摆球通过平衡位置时具有较大的速度，此时开始计时，误差较小若只测量一次全振动的时间会产生较大的误差，而测量多次全振动的时间求平均值可减小误差答案应在摆球通过平衡位置时开始计时；应测量单摆多次全振动的时间，再计算出周期的测量值(或在单摆振动稳定后开始计时)15如图1211所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使AOB成直角三角形，BAO30，已知OC线长是l，下端C点系着一个直径可忽略的小球图1211(1)让小球在纸面内小角度摆动，求单摆的周期是多少？(2)让小球垂直纸面小角度摆动，周期又是多少？解析(1)让小球在纸面内摆动，在偏角很小时，单摆可看做简谐运动，摆长为OC的长度，所以单摆的周期T2.(2)让小球垂直纸面摆动，如图所示，由几何关系可得OOl，等效摆长为lOCOOll，所以周期T22.答案见解析
