1、第六章 数列第一节 等差数列与等比数列题型67 等差(等比)数列的公差(公比)1.(2017北京理10)若等差数列和等比数列满足,则_.解析 由,则,由,则,则.故.2.(2017全国1理4)记为等差数列的前项和若,则的公差为( ).A1 B2 C4 D8解析 ,联立,得,即,所以.故选C.3.(2017全国2理3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ).A1盏 B3盏 C5盏 D9盏解析 设顶层灯数为,解得故选B.4.(2017全
2、国3理14)设等比数列满足, ,则 _解析 因为为等比数列,设公比为由题意得,即显然,得,即,代入式可得,所以题型68 等差、等比数列求和问题的拓展1.(2017全国1理12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ,其中第一项是,接下来的两项是,再接下来的三项是,依此类推.求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ).A. B. C. D.解析 设首项为第1组,接下来两
3、项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推设第组的项数为,则组的项数和为,由题意得,令,得且,即出现在第13组之后,第组的和为,组总共的和为,若要使前项和为2的整数幂,则项的和应与互为相反数,即,得的最小值为,则.故选A.2.2017山东理19)已知是各项均为正数的等比数列,且,(1)求数列的通项公式;(2)如图所示,在平面直角坐标系中,依次联结点,得到折线,求由该折线与直线,所围成的区域的面积.解析 (1)设数列的公比为,由已知.由题意得,所以,因为,所以,因此数列的通项公式为(2)过向轴作垂线,垂足分别为,由(1)得记梯形的面积为.由题意,所以 又 ,得 所以题型69 等差、等比数列的性质
4、及其应用1.(2017江苏09)等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则 解析 解法一:由题意等比数列公比不为,由,因此,得又,得,所以故填 解法二(由分段和关系):由题意,所以,即下同解法一2.(2017全国2理15)等差数列的前项和为,则 解析 设首项为,公差为由,得,所以,.题型70 判断或证明数列是等差、等比数列1.(2017江苏19)对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数总成立,则称数列是“数列”(1)证明:等差数列是“数列”;(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列解析 (1)因为是等差数列,设其公差为,则,从而当时,所以,因此等差数列是“数列”(2)由数列
5、既是“数列”,又是“数列”,因此,当时, 当时, 由知, 将代入,得,其中,所以是等差数列,设其公差为在中,取,则,所以,在中,取,则,所以,从而数列是等差数列评注 这是数列新定义的问题,其实类似的问题此前我们也研究过,给出仅供参考(2015南通基地密卷7第20题)设数列的各项均为正数,若对任意的,存在,使得成立,则称数列为“型”数列(1)若数列是“型”数列,且,求;(2)若数列既是“型”数列,又是“型”数列,证明数列是等比数列解析 (1)由题意得,成等比数列,且公比,所以(2)由是“型”数列得成等比数列,设公比为, 由是“型”数列得成等比数列,设公比为;成等比数列,设公比为;成等比数列,设公
6、比为; 则,所以,不妨令,则 所以,所以,综上,从而是等比数列2.(2017北京理20)设和是两个等差数列,记,其中表示这个数中最大的数(1)若,求的值,并证明是等差数列;(2)证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得是等差数列解析 (1),.当时,所以关于单调递减.从而,将代入,满足此式,所以对任意,于是,得是等差数列.(2)设数列和的公差分别为,则.所以.当时,取正整数,则当时,因此.此时,是等差数列.当时,对任意,.此时,是等差数列.当时,当时,有,所以.对任意正数,取正整数,故当时,.题型71 等差数列与等比数列的交汇问题暂无第二节 数列的通项公式与求和题型72
7、数列通项公式的求解题型73 数列的求和1.(2017天津理18)已知为等差数列,前项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,.(1)求和的通项公式;(2)求数列的前n项和.解析 (1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.由已知,得,而,所以.又因为,解得.所以.由,可得 由,可得 联立,解得,由此可得.所以数列的通项公式为,数列的通项公式为. (2)设数列的前n项和为,由,有,故,上述两式相减,得,得.所以数列的前项和为.2.(2017全国3理9)等差数列的首项为1,公差不为0若,成等比数列,则数列前6项的和为( ).ABC3D8解析 因为为等差数列,且成等比数列,设公差为,则,即.因为,代入上式可得,又,则,所以.故选A.第三节 数列的综合题型74 数列与不等式的综合1.(2017浙江理22)已知数列满足:,.证明:当时.(1);(2);(3).解析 (1)用数学归纳法证明:.当时,假设时,那么时,若,则,矛盾,故. 因此,所以.因此.(2)由,得.记函数.,知函数在上单调递增,所以,因此,即.(3)因为,得,以此类推,所以,故.由(2)知,即,所以,故.综上,.