1、学案16定积分及其简单的应用导学目标： 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F(x)f(x)的F(x)，并运用牛顿莱布尼茨公式求f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功自主梳理1定积分的几何意义：如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么函数f(x)在区间a，b上的定积分的几何意义是直线_所围成的曲边梯形的_2
2、定积分的性质(1)kf(x)dx_ (k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dx_；(3)f(x)dx_.3微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做_，为了方便，我们常把F(b)F(a)记成_，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)4定积分在几何中的应用(1)当xa，b且f(x)0时，由直线xa，xb (ab)，y0和曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积S_.(2)当xa，b且f(x)g(x)0时，由直线xa，xb (ab)和曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积S_.(4)若f(x)是偶函数，则f
3、(x)dx2f(x)dx；若f(x)是奇函数，则f(x)dx0.5定积分在物理中的应用(1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)v(t)0在时间区间a，b上的定积分，即_(2)变力做功公式一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从xa移动到xb (ab)(单位：m)，则力F所做的功W_.自我检测1计算定积分3xdx的值为 ()A.B75C.D252定积分xdx等于 ()A.B.1C.D.3如右图所示，阴影部分的面积是 ()A2B2C.D.4(2010湖南)dx等于 ()A2ln 2B2ln 2Cln 2Dln 2
4、5若由曲线yx2k2与直线y2kx及y轴所围成的平面图形的面积S9，则k_.探究点一求定积分的值例1计算下列定积分：(1)；(2)；(3)(2sin x3ex2)dx；(4)|x21|dx.变式迁移1计算下列定积分：(1)|sin x|dx；(2)sin2xdx.探究点二求曲线围成的面积例2计算由抛物线yx2和y3(x1)2所围成的平面图形的面积S.变式迁移2计算曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积探究点三定积分在物理中的应用例3一辆汽车的速度时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min内所行驶的路程变式迁移3A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，
5、这一段速度为1.2t m/s，到C点时速度达24 m/s，从C点到B点前的D点以匀速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(241.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间函数思想的应用例(12分)在区间0,1上给定曲线yx2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值【答题模板】解S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线yx2与x轴、直线xt所围成的面积，即S1tt2x2dxt3.2分S2的面积等于曲线yx2与x轴，xt，x1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1t，即S
6、2x2dxt2(1t)t3t2.4分所以阴影部分面积SS1S2t3t2(0t1)6分令S(t)4t22t4t0时，得t0或t.8分t0时，S；t时，S；t1时，S.10分所以当t时，S最小，且最小值为.12分【突破思维障碍】本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识1定积分f(x)dx的几何意义就是表示由直线xa，xb (ab)，y0和曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面
7、积也就知道了相应定积分的值，如dx (半径为2的个圆的面积)，dx2.2运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差3计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F(x)f(x)的F(x)；第四步，再分别用牛顿莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1下列值等于1的积分是 ()AxdxB(x1)dxCdxD1dx2(20
8、11汕头模拟)设函数f(x)则f(x)dx等于 ()A.B.C6D173已知f(x)为偶函数且f(x)dx8，则f(x)dx等于 ()A0B4C8D164(2011深圳模拟)曲线ysin x，ycos x与直线x0，x所围成的平面区域的面积为 ()A0(sin xcos x)dxB20(sin xcos x)dxC0(cos xsin x)dxD20(cos xsin x)dx5(2011临渭区高三调研)函数f(x)t(t4)dt在1,5上 ()A有最大值0，无最小值B有最大值0，最小值C有最小值，无最大值D既无最大值也无最小值题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6若1 N的力
9、使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时克服弹力做的功为_J.7(2xk1)dx2，则k_.8(2010山东实验中学高三三诊)若f(x)在R上可导，f(x)x22f(2)x3，则f(x)dx_.三、解答题(共38分)9(12分)计算以下定积分：(1)dx；(2)2dx；(3)0(sin xsin 2x)dx；(4)|32x|dx.10(12分)设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积11(14分)求曲线yex1与直线xln 2，ye1所围成的平面图形的面积答案 自主梳理1xa，x
10、b (ab)，y0和曲线yf(x)面积2(1)kf(x)dx(2)f1(x)dxf2(x)dx(3)f(x)dxf(x)dx(其中ac0时，S(x2k22kx)dx(xk)2dx(xk)3|0(k)3，由题意知9，k3.由图象的对称性可知k3也满足题意，故k3.课堂活动区例1解题导引(1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数分段函数在区间a，b上的积分可分成几段积分的和的形式分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细(2)f(x)是偶函数，且在关于原点对称的区间a，a上连续，则f(x)dx2f(x)dx.解(1)dxxdxdxdxx2|ln x|(e21)(
11、ln eln 1)e2.(2)0(sin x2cos x)dx0sin xdx20cos xdx(cos x)|02sin x|0cos (cos 0)21.(3)(2sin x3ex2)dx2sin xdx3exdx2dx2(cos x)|3ex|2x|2(cos )(cos 0)3(ee0)2(0)73e2.(4)0x2，于是|x21|x21|dx(1x2)dx(x21)dx|2.变式迁移1解(1)(cos x)sin x，|sin x|dx|sin x|dx|sin x|dxsin xdxsin xdxcos x|cos x|(cos cos 0)(cos 2cos )4.(2)sin2
12、xdxdxdxcos 2xdxx|.例2解题导引求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值解作出函数yx2和y3(x1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S为图中阴影部分的面积解方程组得或所以两曲线交点为A，B(2,2)所以S23(x1)2dx2x2dx2(x22x2)dx2x2dx224.变式迁移2解如图，设f(x)x3，g(x)x22x3，两函数图象的交点为A，B，由得或曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积Sf(x)g(x)dx(x3)(x22x3)dx(x23x)dx|
13、.故曲线与直线所围图形的面积为.例3解题导引用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案s(t)求导后得到速度，对速度积分则得到路程解方法一由速度时间曲线易知v(t)由变速直线运动的路程公式可得s3tdt30dt(1.5t90)dtt2|30t|1 350 (m)答此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.方法二由定积分的物理意义知，汽车1 min内所行驶的路程就是速度函数在0,60上的积分，也就是其速度曲线与x轴围成梯形的面积，s(ABOC)30
14、(3060)301 350 (m)答此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.变式迁移3解(1)设v(t)1.2t，令v(t)24，t20.A、C间距离|AC|1.2tdt(0.6t2)|0.6202240 (m)(2)由D到B时段的速度公式为v(t)(241.2t) m/s，可知|BD|AC|240 (m)(3)|AC|BD|240 (m)，|CD|7 20024026 720 (m)C、D段用时280 (s)又A、C段与B、D段用时均为20 s，共用时2802020320 (s)课后练习区1D2.B3.D4.D5.B60.36解析设力F与弹簧伸长的长度x的关系式为Fkx，则1k0
15、.02，k50，F50x，伸长12 cm时克服弹力做的功W50xdxx2|0.1220.36(J)71解析(2xk1)dx12，k1.818解析f(x)2x2f(2)，f(2)42f(2)，即f(2)4，f(x)x28x3，f(x)dx334323318.9解(1)函数y2x2的一个原函数是yx3ln x，所以dxln 2ln 2.(3分)(2)2dxdx(2ln 24)ln .(6分)(3)函数ysin xsin 2x的一个原函数为ycos xcos 2x，所以0(sin xsin 2x)dx0.(9分)(3xx2)|1(x23x)|2.(12分)10解(1)设f(x)ax2bxc (a0)
16、，则f(x)2axb.又f(x)2x2，所以a1，b2，即f(x)x22xc.(4分)又方程f(x)0有两个相等实根，所以44c0，即c1.故f(x)x22x1.(8分)(2)依题意，所求面积S(x22x1)dx|.(12分)11解画出直线xln 2，ye1及曲线yex1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积由解得B(1，e1)由解得A.(4分)此时，C(ln 2，e1)，D(ln 2,0)所以SS曲边梯形BCDOS曲边三角形OAD(e1)dx(ex1)dx(7分)(e1)x|(exx)|(exx)| (10分)(e1)(1ln 2)(e1e0)|e0(eln 2ln 2)|(e1)(1ln 2)(e2)ln 2eln 2.(14分)
