1、20202021学年第一学期高三第四次检测考试数学试题(文科)一选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z满足z(1+2i)=i，则复数在复平面内对应点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案【详解】解：由，得，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题2. 已知全集，集合，那么阴影部分表示的集合为（
2、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案【详解】阴影部分表示的集合为，故选【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题3. 已知，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则故选B【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题4. 下列有关命题的说法中错误的是（ ）A. 在中，若，则B. “”是“”的必要不充分条件C. “”的一个充分不必要条件是“”D. 若命题：“实数，使”，则命题的否定为“，都有”【答案】
3、B【解析】【分析】利用大边对大角定理结合正弦定理可判断A选项的正误；利用集合的包含关系可判断B选项的正误；解方程，利用集合的包含关系可判断C选项的正误；利用特称命题的否定可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由大边对大角定理以及正弦定理可得，A选项正确；对于B选项，则“”是“”的充分不必要条件，B选项错误；对于C选项，解方程可得或，因为或，所以，“”的一个充分不必要条件是“”，C选项正确；对于D选项，命题为特称命题，该命题的否定为“，都有”，D选项正确.故选：B.5. 若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A. B. 1C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基
4、本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.6. 函数 的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】代入特殊点，求特殊点的函数值排除A、B、D，可得答案.【详解】当时，故排除选项A、D；当时，故排除选项B；故选：C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从
5、函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 数列，满足，则（ ）A -2B. -1C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】根据递推公式，确定数列的周期，进而可得出结果.【详解】由，可得，则，因此，由此可得数列是以3为周期的周期数列，故.故选：D.8. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧
6、度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则 ，又，解得故选:A【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长9. 设向量，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. 与的夹角为D. 在方向上的投影为【答案】C【解析】【分析】利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影的坐标公式对各个选项进行检验即可.【详解】A.，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误；B.，即不满足向
7、量垂直的坐标公式，故错误；C.，所以夹角为，正确；D.在方向上的投影为，故错误.故选：C【点睛】本题考查两个向量平行，垂直以及两个向量的夹角坐标公式，考查向量投影的计算方法，属于基础题.10. 设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考
8、查了三角函数周期公式，属于中档题.11. 在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当时，已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当时，；当时，；所以，易知，在单调递增，在单调递增，且时，时，则在上单调递增，所以得：，解得，故选C点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到，通过单调性分析，得到在上单调递增，解不等式，要符合定义域和单调性的双重要求，则，解得答案12. 已知函数，若，互不相等，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出函数图像，根据对称得到，再得到，最后得到答案.【详解】画出函数图像：
9、，设 则 即 故答案选C【点睛】本题考查了函数交点的取值范围问题，画出图像是解题的关键，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.二填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据两角和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果.【详解】由可得，则，因此，从而有，即.故答案为：.14. 如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值
10、.【详解】解法1：因为，所以，又，所以因为点三点共线，所以，解得：.解法2：因为，设，所以，因为，所以，又， 所以，所以，又，所以 解得： ，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.15. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_.【答案】【解析】【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.16. 函数，若对任意实数，都存在正数，使得成立，则实数
11、的取值范围是_【答案】【解析】【分析】【详解】若对任意实数，都存在正数，使得成立，得的值域是值域的子集；在上递增，在上递减，,时，；，；，当时，在上递增，在上递减，;当时，在上递减，在上递增，不符合题意舍去， 故的取值范围是.【点睛】双变量一个任意，一个存在的问题，转化为值域包含的问题，主要是求两个函数的值域，再转化为两个集合的子集问题即得解三解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（） ；（）.【解析】【分析】（I）将化简整理成的形式，利用
12、公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.【详解】（），所以的最小正周期为.（）由（）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.18. 已知等差数列an的公差不为零，a1=25，且，成等比数列.（）求通项公式；（）求+a4+a7+a3n-2.【答案】（）；（）.【解析】【分析】【详解】(1)设an的公差为d.由题意，a112a1a13，即(a110d)2a1(a
13、112d)，于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)，或d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6等差数列从而Sn (a1a3n2)(6n56)3n228n.19. 给出一下两个条件：数列为等比数列，且，数列的首项，且.从上面两个条件中任选一个解答下面的问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列通项公式；.（2）设数列满足，求数列的前n项和.【答案】条件选择见解析，（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若选条件.，和两式相处可得数列的公比，令，可以求出，即可得的通项公式；若选条件.，利
14、用累加法可以求的通项公式；（2）若选条件.，利用（1）的结果可得，利用裂项相消求和即可，若选条件. 利用（1）的结果可得，也采用裂项相消求和即可.【详解】若选条件.（1）由条件，得，则公比，令，可得，即，所以，从而有.（2）由（1）得，则有，则其前n项和为：.若选条件.（1）令，可得，令，可得，依次类推可得：，将这一系列等式求和可得：.其中，故可得.（2）由（1）得，则有，则其前n项和为：【点睛】本题主要靠查了由递推公式求数列的通项公式，采用累加法考查了裂项相消求和，属于中档题.20. 的内角对的边为，向量与平行.（1）求角；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1
15、）由向量与平行，得，再由正弦定理将其化为，可得角；（2）由正弦定理得，再利用角的范围求得的取值范围试题解析：（1）由于与平行，.（2），.考点：1、向量共线定理；2、正弦定理；3、三角恒等变换21. 已知函数（）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点（）【解析】【分析】【详解】试题分析：（）显然函数的定义域为.因为，所以，当时，在上恒成立，函数在单调递减，在上没有极值点； 当时，由得，由得，在上递减，在上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点（）函数在处取得极值，由（）结论
16、知，令，所以，令可得在上递减，令可得在上递增，即. 考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.22. 已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）在方程两边同乘以极径可得，再根据，代入整理即得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到的值.试题解析：（1）等价于将代入既得曲线C的直角坐标方程为，（2）将代入得，设这个方程的两个实根分别为则由参数t 的几何意义既知，.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.
