1、 2.2.2 反 证 法 必备知识自主学习 导思1.什么是反证法?2.如何利用反证法解决数学问题?反证法的定义及证题关键【思考】什么情况下应该用反证法证明?提示:当问题从正面求解无从入手或条件很少时常用反证法,对一些存在性、否定性、唯一性等问题也常用反证法解决.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)用反证法证明结论“ab”时,应假设“a2;设a为实数,f(x)=x2+ax+a,求证|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小 于 ,用反证法证明时可假设|f(1)|,且|f(2)|,以下说法正确的是 ()A.与的假设都错误 B.与的假设都正确 C.的假设正确,的假设错误 D.的假
2、设错误,的假设正确 121212【解析】选C.用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q2的 否命题应为p+q2,故的假设正确;|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于 的否定为|f(1)|与|f(2)|都小于 ,故的假设错误.12123.用反证法证明“若a+b+c3,则a,b,c中至少有一个小于1”时,“假设”应为()A.假设a,b,c至少有一个大于1 B.假设a,b,c都大于1 C.假设a,b,c至少有两个大于1 D.假设a,b,c都不小于1 【解析】选D.考虑命题的反面,即可得出结论.由于命题:“a,b,c中至少有一个小于1”的反面是“a,b,c都不小于1”,故用反证法证
3、明“若a+b+c0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20,所以a+b+c0,与a+b+c0矛盾,所以a,b,c中至少有一个大于0.236236类型三 用反证法证明“唯一性”“存在性”问题(逻辑推理)【典例】已知函数y=f(x)在区间a,b上的图象连续不间断,且f(x)在a,b上单调,f(a)0,f(b)0,f(b)0,即f(a)f(b)0,f(b)x0,则f(x1)f(x0),即00,矛盾,若x1f(x0),即00,矛盾.因此假设不成立,即f(x)的零点是唯一的.【解题策略】证明“唯一性”问题的方法 “唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时,采用直接证
4、明往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证明,即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”,推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法有时比用同一法更方便.提醒:证明“有且只有”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.【跟踪训练】求证两条相交直线有且只有一个交点.【证明】已知:a与b是两条相交直线,求证:a与b有且只有一个交点.证明:假设结论不正确,则有两种可能:a与b无交点,或不止有一个交点.若直线a,b无交点,则ab或a,b是异面直线,与已知矛盾.若直线a,b不止有一个交点,则至少有两个交点A和B,这样同时经过点A,B就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条
5、直线”相矛盾.故直线a与b有且只有一个交点.综上所述,两相交直线有且只有一个交点.【补偿训练】求证:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.【证明】已知:点P在直线a外.求证:过点P与直线a平行的直线有且只有一条.因为点P在直线a外,所以点P和直线a确定一个平面,设该平面为,在平面内,过点P作直线b,使得ba,则过点P有一条直线与a平行.假设过点P还有一条直线c与a平行,因为ab,ac,所以bc,这与b,c相交于点P矛盾,故假设不成立.故过点P与直线a平行的直线有且只有一条.课堂检测素养达标 1.用反证法证明命题“如果xy,那么 ”时,假设的内容应该是()【解析】选C.大于的反面是小于或等
6、于,因此假设的内容为 1155xy111155551111111155555555A.xy B.xyC.xyxy D.xyxy或或11115555xyxy.或2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰好有一个偶数”正确的反设为()A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是偶数 C.a,b,c中至少有两个偶数 D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】选D.涉及的数有三个,因此“恰好有一个”的反面是“没有或至少有两个”.3.用反证法证明“a,bN*,如果ab能被2 018整除,那么a,b中至少有一个能被 2 018整除”时,假设的内容是()A.a不能被2 018整除 B.b不
7、能被2 018整除 C.a,b都不能被2 018整除 D.a,b中至多有一个能被2 018整除【解析】选C.命题的否定只否结论,即“a,b中至少有一个能被2 018整除”的否定为“a,b都不能被2 018整除”.4.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为()A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线【解析】选C.假设cb,而由ca,可得ab,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.5.求证:一个三角形中,最大的角不小于60.【证明】假设ABC的三个内角中最大的角小于60,即A60,B60,C 60,则A+B+C60+60+60=180,这与三角形内角和为180矛盾,所以假设错误,原命题成立.
