1、河南省许昌市商丘市重点高中2019-2020学年高一数学4月在线联考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用系统抽样的方法从含有2403个个体的总体中抽取400个作为样本，则抽样间隔为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】由系统抽样的特征直接求解即可.【详解】由题意先用随机抽样的方法剔除3个个体，剩下2400个编号，所以抽样间隔为.故选：C.【点睛】本题考查了系统抽样的应用，关键是对于概念的理解，属于基础题.2.若样本的观测值1，2，3，4出现的次数分别为1，2，3，4，则样本的平均数为
2、（ ）A. 4B. 3C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意结合平均数的概念直接计算即可得解.【详解】，其平均值为.故选：B.【点睛】本题考查了数据平均数的计算，属于基础题.3.若点在第三象限，则角是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】D【解析】试题分析：因为点在第三象限，所以是第四象限角.考点：象限角.4.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由对数函数的定义域可得，从而即可得解.【详解】由已知可得，由正弦函数的性质知.故选：C.【点睛】本题考查了对数型复合函数定义域的确定，考查了三角函数性质的应用，属于基础题
3、.5.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由诱导公式得，由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】由题意，由函数的图象与性质可得，.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数诱导公式以及图象与性质的应用，属于基础题.6.抛掷一枚硬币三次，其中相邻两次向上的图案一致且与另一次向上的图案不一致的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意列出所有可能出现的情况，找到符合要求的情况，利用古典概型概率公式即可得解.【详解】设1表示正面向上，2表示反面向上，则可能的情形共有111，112，121，122，211，212，221，222，共8种，符合条件有4种，故
4、所求概率为.故选：B.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，关键是用列举法列出所有情况，属于基础题.7.若弧度为的圆心角所对弦长为m，则该圆心角所对的弧长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设扇形半径为r，由题意，利用扇形弧长公式即可得解.【详解】设扇形半径为r，由已知，则弧长.故选：A.【点睛】本题考查了扇形弧长公式的应用，属于基础题.8.执行如图所示程序框图，输出的T的值为（ ）A. 0B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】由程序框图得，利用正切函数的周期性即可得解.【详解】由题意可得.故选：B.【点睛】本题考查了循环结构程序框图和正切函数周期性的应用，属于基
5、础题.9.若函数在上的最小值为，则在上的最大值为（ ）A. 4B. 5C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数平方关系可得，由可得，利用二次函数的性质即可得解.【详解】由题意，由可得，当即时，取得最小值，当即时，取得最大值.故选：D.【点睛】本题考查了同角三角函数平方关系以及三角函数图象与性质的应用，属于中档题.10.已知函数的图像与函数的图像交于M，N两点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，利用同角三角函数商数关系和平方关系可得，解方程即可得，即可得解.【详解】由得即，即，解得或，由可得，或，显然MN与x轴交于点，.故选：B.【点睛】本题
6、考查了同角三角函数关系的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.11.对于角，当分式有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的关系可得，即可得解.【详解】，故选：D.【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了运算能力，属于中档题.12.在矩形ABCD中，在CD上任取一点P，使的最大边是AB的概率为，则在折线A-D-C-B上任取一点Q，使是直角三角形的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由题意设，由几何概型概率公式结合勾股定理可得，再由几何概型概率公式即可得解.【详解】如图，矩形是对称的，设P
7、在线段MN上时，的最大边为AB，则此时，设，则，所以，由勾股定理知，当Q在AD或BC上时，为直角三角形，故所求概率为.故选：A.【点睛】本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是_【答案】【解析】【分析】先观察图象，再结
8、合几何概型中的面积型可得：P（A），得解【详解】由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，这些小三角形都是全等的，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A），故选B【点睛】本题考查了识图能力及几何概型中的面积型，属中档题在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在的区域（事实也是角）任一位置是等可能的14.已知函数在区间上的最小值为，则的最小正周期为_.【答案
9、】【解析】【分析】由题意可得，求出后利用即可得解.【详解】，由题意，.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.15.已知一组数据的标准差为，数据的方差为，则_.【答案】2【解析】【分析】由方差特征可得的方差也可表示为，由标准差和方差的关系可得，解方程即可得解.【详解】方差为，的方差为，的标准差为，的方差为，或（舍去）.故答案为：.【点睛】本题考查了方差和标准差的概念，关键是对于概念的理解，属于基础题.16.已知是第四象限角，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由诱导公式可得，由同角三角函数的平方关系可得，再利用同角三角函数的商数关系即可得解.【详
10、解】由题意，是第四象限角，.故答案：，.【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用，考查了计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.一个盒子中装有6个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，6.（1）一次取出两个小球，求其号码之和能被3整除的概率；（2）有放回的取球两次，每次取一个，求两个小球号码是相邻整数的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）列出所有情况，找到符合要求的情况，由古典概型概率公式即可得解；（2）计算出所有情况数，列出符合要求的情况，由古典概型概率公式即可得解.【详解】（1）取出的两个小球号码可能情况为，共
11、15种情形，其号码之和能被3整除的有5种：，.故所求概率为.（2）有放回的取球两次，每次取一个，共有种情形，其中两个小球号码是相邻整数的情况有，共10种情形，故所求概率为.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，属于基础题.18.某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织了数学学科考试，随机抽取50名学生的成绩并制成频率分布直方图如图所示.（1）求m的值，并估计高一年级所有学生数学成绩在分的学生所占的百分比；（2）分别估计这50名学生数学成绩的平均数和中位数.（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表，
12、结果精确到0.1）【答案】（1），70%.（2）平均数为76.2，中位数为76.7【解析】【分析】（1）由各组频率和为1即可求得，再求出的频率即可估计高一年级数学成绩在分的学生所占的百分比；（2）同一组中的数据以该组区间的中点值作代表，分别乘以对应频率，求和即可得平均数；根据中位数两侧频率和均为0.5，列方程即可求得中位数.【详解】（1）由题意，解得，则由频率分布直方图可估计高一年级数学成绩分的学生所占的百分比为：.（2）估计成绩的平均数为，中位数为y，则，由频率分布直方图可知，则，解得.所以这50名学生数学成绩的平均数为76.2，中位数约为.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了利用
13、频率分布直方图求数据的中位数和平均数，属于中档题.19.语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.经市场调查，某种新型智能音箱的广告费支出x（万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x14569y2035506580（1）求y关于x的线性回归方程（数据精确到0.01）；（2）利用（1）中的回归方程，预测广告费支出10万元时的销售额.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）（2）89.7（万元）.【解析】【分析】（1）计算出、的值，代入公式求得、，即可得解；（2）把代入线性回归方程计算出
14、即可得解.【详解】（1），.y关于x的回归直线方程为.（2）当时，当广告费支出10万元时，销售额大约为89.7万元.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解与应用，考查了计算能力，属于中档题.20.已知函数的最大值为5，最小值为1.（1）求a，b的值；（2）若的最小正周期为4，求的单调递增区间及在上的值域.【答案】（1）.（2）.值域为.【解析】【分析】（1）由题意结合三角函数的性质可得，解方程组即可得解；（2）由求得后，令，求解后即可得的单调递增区间；由可得，进而可得，即可得在上的值域.【详解】（1）由，可得，则，解得，.（2）由，.令，解得，的单调递增区间为.，在上的值域为.【点睛】本题考查了
15、三角函数图象的综合应用，属于中档题.21.某林业部门为了保证植树造林的树苗质量，对甲、乙两家供应的树苗进行根部直径检测，现从两家供应的树苗中各随机抽取10株树苗检测，测得根部直径如下（单位：mm）：甲27112110190922131523乙15202717211416182418（1）画出甲、乙两家抽取的10株树苗根部直径的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两家树苗进行比较，写出两个统计结论；（2）设抽测的10株乙家树苗根部直径的平均值为，将这10株树苗直径依次输入程序框图中，求输出的S的值，并说明其统计学的意义.【答案】（1）见解析（2）15，见解析【解析】【分析】（1）由题意画出茎叶图，根据茎
16、叶图写出两条合理结论即可；（2）计算出，根据程序框图的功能是计算出数据方差，计算方差，说出方差的统计学意义即可得解.【详解】（1）茎叶图如图所示：结论有：甲家树苗的平均直径小于乙家树苗的平均直径；乙家树苗比甲家树苗长的更均匀；甲家树苗的中位数是17，乙家树苗的中位数是18.（答案合理即可给分，写出两条即可）.（2）由题意，因为该程序框图的算法功能是求数据方差，所以，S是10株树苗根部直径的方差，是描述离散程度的量，S越小，长得越整齐，S越大，长得越粗细不均.【点睛】本题考查了茎叶图和程序框图的应用，考查了数据方差的概念和计算，属于中档题.22.已知，且.（1）求的值；（2）求值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式得，结合同角三角函数的平方关系可得，利用平方关系化简可得，即可得解；（2）由（1）知，化简得，代入即可得解.【详解】（1）由题意，联立，解得，.则.（2）由（1）知，.【点睛】本题考查了利用同角三角函数的关系和诱导公式进行化简求值，考查了运算能力，属于中档题.
