1、东北三省四市教研联合体 2020 届高三数学模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,2,3,4,5,6,7U，集合2,3,5,7A，1,2,4,6B，则UAB（）A.2,5,7 B.3,5,7 C.3 D.5,7 【答案】B【解析】【分析】先由已知得到3,5,7UC B，再与 A 求交集即可.【详解】由已知，3,5,7UC B，故3,5,7UAC B.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2.已知复数21izi，则 z 的虚部为（）
2、A.1 B.i C.1 D.i 【答案】A【解析】【分析】分子分母同乘分母共轭复数即可.【详解】2i2i(i1)22i1ii1(i1)(i+1)2z ，故 z 的虚部为 1.故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.3.2019年某校迎国庆 70 周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是 86，乙队得分的平均数是 88，则 xy（）A.170 B.10 C.172 D.12【答案】D【解析】【分析】中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数
3、.【详解】由茎叶图知，甲的中位数为8086x，故6x；乙的平均数为 78828089919397887y，解得6y，所以12xy.故选：D.【点睛】本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.4.5(1 2)(1)xx的展开式中2x 的系数为（）A.5 B.10 C.20 D.30【答案】C【解析】【分析】由5(1 2)(1)xx5(1)x52(1)xx知，展开式中2x 项有两项，一项是5(1)x中的2x 项，另一项是2x 与5(1)x中含 x 的项乘积构成.【详解】由已知，5(1 2)(1)xx5(1)x52(1)xx，因为5(1)x展开式的通项为5rrC x，所以 展开
4、式中2x 的系数为2155220CC.故选：C.【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.5.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高h，计算其体积2136VL h的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么近似公式23112VL h相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A.227 B.15750 C.289 D.337115【答案】C【解析】【分析】
5、将圆锥的体积用两种方式表达，即213Vr h23(2)112rh，解出 即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为 r，则213Vr h，又2233(2)112112VL hrh，故23(2)112rh213r h，所以，11228369.故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6.已知公差不为 0 的等差数列 na的前n 项的和为nS，12a，且139,a a a 成等比数列，则8S （）A.56 B.72 C.88 D.40【答案】B【解析】【分析】231 9aa a2111(2)(8)ada ad，将12a 代入，求得公差 d，再利用等
6、差数列的前 n项和公式计算即可.【详解】由已知，2319aa a，12a，故2111(2)(8)ada ad，解得2d 或0d（舍），故2(1)22nann，1888()4(228)722aaS.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.7.下列说法正确的是（）A.命题“00 x，002sinxx”的否定形式是“0 x，2sinxx”B.若平面，满足，则/C.随机变量 服从正态分布21,N（0），若(01)0.4P，则(0)0.8P D.设 x 是实数，“0 x”是“11x ”的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定是全称命
7、题可判断选项 A；,可能相交，可判断 B 选项；利用正态分布的性质可判断选项 C；11x 0 x 或1x，利用集合间的包含关系可判断选项 D.【详解】命题“00 x，002sinxx”的否定形式是“0 x，2sinxx”，故 A 错误；，则,可能相交，故 B 错误；若(01)0.4P，则(12)0.4P，所以 10.40.4(0)0.12P，故(0)0.9P ，所以 C 错误；由 11x ，得0 x 或1x，故“0 x”是“11x ”的充分不必要条件，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.8.已知
8、双曲线C：22221xyab（0a，0b）的右焦点与圆 M：22(2)5xy的圆心重合，且圆 M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 2，则双曲线的离心率为（）A.2 B.2 C.3 D.3【答案】A【解析】【分析】由已知，圆心 M 到渐近线的距离为 3，可得2223bab，又222cab，解方程即可.【详解】由已知，2c，渐近线方程为0bxay，因为圆 M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 2，所以圆心 M 到渐近线距离为22(2)3r 2222bbbcab，故221acb，所以离心率为2cea.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是
9、一道容易题.9.已知,AAA x y是圆心为坐标原点O，半径为 1 的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转 23 到OB 交圆于点,BBB xy，则2AByy的最大值为（）A.3 B.2 C.3 D.5 【答案】C【解析】【分析】设射线 OA 与 x 轴正向所成的角为，由三角函数的定义得sinAy，2sin()3By，2AByy 33sincos22，利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线 OA 与 x 轴正向所成的角为，由已知，cos,sinAAxy，22cos(),sin()33BBxy，所以2AByy 2sin 2sin()3 132sinsincos22 33sincos3s
10、in()3226，当3 时，取得等号.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.10.从集合3,2,1,1,2,3,4中随机选取一个数记为m，从集合2,1,2,3,4中随机选取一个数记为n，则在方程221xymn 表示双曲线的条件下，方程221xymn 表示焦点在 y 轴上的双曲线的概率为（）A.917 B.817 C.1735 D.935【答案】A【解析】【分析】设事件 A 为“方程221xymn 表示双曲线”，事件 B 为“方程221xymn 表示焦点在 y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB，再利用公式()(/
11、)()P ABP B AP A计算即可.【详解】设事件 A 为“方程221xymn 表示双曲线”，事件 B 为“方程221xymn 表示焦点在 y 轴上 的双曲线”，由题意，3 34217()7535P A，3 39()7535P AB，则所求的概率为()9(/)()17P ABP B AP A.故选：A.【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.11.已知函数1222,0,()log,0,xxf xx x 若关于 x 的方程2()2()30f xaf xa有六个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为（）A.163,5 B.163,5 C.(3,4)D.3
12、,4 【答案】B【解析】【分析】令()f xt，则2230tata，由图象分析可知2230tata在(2,4上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.【详解】令()f xt，则2230tata，如图 yt 与()yf x顶多只有 3 个不同交点，要使关于 x 的方程2()2()30f xaf xa有 六个不相等的实数根，则2230tata有两个不同的根 12,(2,4t t，设2()23g ttata由根的分布可知，24120(2,4)(2)0(4)0aaagg，解得1635a.故选：B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合
13、的思想，是一道中档题.12.已知定义在0,上的函数()f x 满足1()(2)2f xf x，且当0,2x时，2()2f xxx.设()f x 在22,2nn上的最大值为na（*nN），且数列 na的前n 项的和为nS.若对于任意正整数n 不等式 129nk Sn恒成立，则实数k 的取值范围为（）A.0,B.1,32 C.3,64 D.7,64【答案】C【解析】【分析】由已知先求出1max()2nf x，即12nna-=，进一步可得21nnS ，再将所求问题转化为292nnk对于任意正整数n 恒成立，设nc 292nn，只需找到数列 nc的最大值即可.【详解】当222nxn时，则0222xn，
14、(22)(22)(2)f xnxn xn，所以，11()22(1)2nnf xf xn(22)(2)xn xn，显然当21xn时，1max()2nf x，故12nna-=，1(12)2112nnnS，若对于任意正整数n 不等式 129nk Sn恒成立，即 229nkn对于任意正整数 n 恒成立，即292nnk对于任 意正整数n 恒成立，设nc 292nn，111122nnnncc，令111202nn，解得112n，令111202nn，解得112n，考虑到*nN，故有当5n 时，nc单调递增，当6n 时，有 nc单调递减，故数列 nc的最大值为6633264c，所以364k.故选：C.【点睛】本
15、题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前 n 项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.13.若曲线()lnxf xaex（其中常数0a）在点(1,(1)f处的切线的斜率为 1，则a _.【答案】2e【解析】分析】利用导数的几何意义，由(1)1f 解方程即可.【详解】由已知，1()exfxax，所以1(1)e11fa，解得2ea.故答案为：2e.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.14.若函数()sin23cos2f xxx的图像向左平移 8 个单位得到函数()g x 的图像.则()
16、g x 在区间3,88上的最小值为_.【答案】3【解析】【分析】注意平移是针对自变量 x，所以()()8g xf x 2sin(2)12x，再利用整体换元法求值域（最值）即可.【详解】由已知，()sin23cos22sin(2)3f xxxx，()()8g xf x 2sin2()2sin(2)8312xx，又3,88x，故22,1233x，2sin(2)3,212x，所以()g x 的最小值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.15.如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于
17、O.剪去 AOB，将剩余部分沿OC，OD 折叠，使OA、OB 重合，则以()A B、C、D、O 为顶点的四面体的外接球的体积为_.【答案】8 6 【解析】【分析】将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.【详解】由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示 4CD，2 2OAOCOD，故正方体体对角线长为2222 6OAOCOD，所以外接球半径为6R，其体积为348 63R.故答案为：8 6.【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正（长）方体中，是一道中档题.16.已知椭圆C：22162xy的左、右焦点分别为1
18、F，2F，如图 AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF的内切圆方程是_.【答案】224439xy【解析】分析】利用公式212ABFSlr计算出 r，其中l 为2ABF的周长，r 为2ABF内切圆半径，再利用圆心到直线 AB 的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知，6(2,)3A，6(2,)3B，2(2,0)F，设内切圆的圆心为(,0)(2)tt ，半径为 r，则 21222111()4222ABFSABF FABAFBFrar，故有 2 644 63r，解得23r，由2|(2)|3t ，43t 或83t （舍），所以2ABF的内切圆方程为 224439xy.故答案为：224439x
19、y.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题，考生根据要求作答.17.在 ABC中，M 为 BC 边上一点，45BAM，5cos5AMC.（1）求sin B；（2）若12MCBM，4AC，求 MC.【答案】（1）1010；（2）4【解析】【分析】（1）BAMCBAM ，利用两角差的正弦公式计算即可；（2）设 MCx，在 ABM中，用正弦定理将 AM 用 x 表示，在 ACM中用
20、一次余弦定理即可解决.【详解】（1）5cos5AMC，2 5sin5AMC，所以，sinsin()BAMCBAM sincoscossinAMCBAMAMCBAM 2 525210525210.（2）12MCBM，设 MCx，2BMx，在 ABM中，由正弦定理得，sin 45sinBMAMB，2210210 xAM，2 55AMx，2222cosACAMMCAM MCAMC，22242 5542555xxx x 4MCx.【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.18.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了 20 人的分数.
21、以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于 95 分，则称该员工的成绩为“优秀”.（1）从这 20 人中任取 3 人，求恰有 1 人成绩“优秀”的概率；（2）根据这 20 人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别 分组 频数 频率 频率组距 1 60,70 2 70,80 3 80,90 4 90,100 估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；若从所有员工中任选 3 人，记 X 表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求 X 的分布列和数学期望.【答案】（1）819；（2）82，分布列见解析
22、，3()5E X 【解析】【分析】（1）从 20 人中任取 3 人共有320C种结果，恰有 1 人成绩“优秀”共有13416C C 种结果，利用古典概型的概率计算公式计算即可；（2）平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和；要注意 X 服从的是二项分布，不是超几何分布，利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.【详解】（1）设从 20 人中任取 3 人恰有 1 人成绩“优秀”为事件 A，则124163208()19C CP AC，所以，恰有 1 人“优秀”的概率为 819.（2）组别 分组 频数 频率 频率组距 1 60,70 2 110 0.01 2 70,80 6 310 0.03
23、3 80,90 8 25 0.04 4 90,100 4 15 0.02 1342657585958210101010，估计所有员工的平均分为 82 X 的可能取值为 0、1、2、3，随机选取 1 人是“优秀”的概率为41205P，3464(0)5125P X；2131 448(1)5 5125P XC；2231412(2)55125P XC；311(3)5125P X；X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 13,5XB，数学期望13()355E X .【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题，涉及到频率分布直方图、平均数的估计值
24、等知识，是一道容易题.19.已知抛物线C：24yx的焦点为 F，过C 上一点(1,)Pt（0t）作两条倾斜角互补的直线分别与C 交于 M，N 两点，（1）证明：直线 MN 的斜率是1；（2）若8|MF，|MN，|NF 成等比数列，求直线 MN 的方程.【答案】（1）见解析；（2）1yx 【解析】【分析】（1）设11,M x y，22,N xy，由 已 知0M PN Pkk，得124yy，代 入1212MNyykxx124yy中即可；（2）利用抛物线的定义将2|8|MNMFNF转化为2121 2128440 xxx xxx，再利用韦达定理计算.【详解】（1）P 在抛物线24yx上，2t，(1,2
25、)P 设11,M x y，22,N xy，由题可知，0MPNPkk，121222011yyxx，1222122201144yyyy，1244022yy，124yy ，1212MNyykxx 1241yy （2）由（1）问可设：l：yxm ，则12|2MNxx，1|1MFx ，2|1NFx，2|8|MNMFNF，212122811xxxx，即2121 2128440 xxx xxx（*），将直线l 与抛物线C 联立，24yxmyx 可得：22(24)0 xmxm-+=，所以122121616024mxxmx xm，代入（*）式，可得1m 满足，l：1yx .【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系
26、的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.20.如图，在直角 AOB中，2OAOB，AOC通过 AOB以直线OA 为轴顺时针旋转120得到（120BOC）.点 D 为斜边 AB 上一点.点 M 为线段 BC 上一点，且4 33MB.（1）证明：MO 平面 AOB；（2）当直线 MD 与平面 AOB 所成的角取最大值时，求二面角 BCDO的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）4 7035【解析】【分析】（1）先算出OM 的长度，利用勾股定理证明OMOB，再由已知可得OAOM，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）由（1）可得MD
27、O为直线 MD 与平面 AOB 所成的角，要使其最大，则OD 应最小，可得 D 为 AB 中点，然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.【详解】（1）在 MOB中，30OBC，由余弦定理得 222 32cos303OMOBBMOB BM，222OMOBMB，OMOB，由题意可知：OAOB，OAOC，OBOCO，OA 平面COB，OM 平面COB，OAOM，又OAOBO，OM 平面 AOB.（2）以O 为坐标原点，以OM，OB，OA 的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.OM 平面 AOB，MD 在平面 AOB 上的射影是OD，MD 与平面 AOB
28、所成的角是MDO，MDO最大时，即ODAB，点 D 为 AB 中点.(0,2,0)B，(3,1,0)C，(0,0,2)A，(0,1,1)D，(3,2,1)CD ，(0,1,1)DB，(0,1,1)OD，设平面CDB 的法向量(,)nx y z，由00n CDn DB ，得3200 xyzyz，令1z ，得1,3yx，所以平面CDB 的法向量(3,1,1)n，同理，设平面CDO 的法向量,mx y z，由00m CDm OD，得3200 xyzyz，令1y ，得31,3zx，所以平面CDO 的法向量3,1,13m，105cos,35m n，3sin,135m n 4 7035，故二面角 BCDO
29、的正弦值为 4 7035.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.21.已知函数2()cos2af xxx（a R），()fx是()f x 的导数.（1）当1a 时，令()()lnh xfxxx，()h x为()h x 的导数.证明：()h x在区间 0,2存在唯一的极小值点；（2）已知函数42(2)3yfxx在 0,2上单调递减，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）1a 【解析】【分析】（1）设1()()cosg xh xxx，21()sing xxx，注意到()g x0,2上单增，再利用零点存在性定理即可解决；（2）
30、函数42(2)3yfxx在 0,2上单调递减，则0y 在 0,2恒成立，即342sin 203axxx在 0,2上恒成立，构造函数34()2sin 23m xaxxx，求导讨论()m x 的最值即可.【详解】（1）由已知，()sinf xxx，所以()lnsinh xxx，设1()()cosg xh xxx，21()sing xxx，当0,2x时，()g x 单调递增，而(1)0g，02g，且()g x 在 0,2上图象连续 不断.所以()g x 在 0,2上有唯一零点，当(0,)x时，()0g x；当,2x 时，()0g x；()g x 在(0,)单调递减，在,2 单调递增，故()g x 在
31、区间 0,2上存在唯一的极小 值点，即()h x在区间 0,2上存在唯一的极小值点；（2）设()sink xxx，0,x，()1 cos0k xx，()k x 在0,单调递增，()(0)0k xk，即sinxx，从而sin 22xx，因为函数42(2)3yfxx在 0,2上单调递减，34()2sin 203m xaxxx在 0,2上恒成立，令2()22cos24()m xaxxp x，sin 22xx，()4sin280p xxx，()m x 在 0,2上单调递减，max()(0)22m xma，当1a 时，()0m x，则()m x 在 0,2上单调递减，()(0)0m xm，符合题意.当1
32、a 时，()m x 在 0,2上单调递减，(0)220ma所以一定存在00,2x，当00 xx时，()0m x，()m x 在00,x上单调递增，0(0)0m xm 与题意不符，舍去.综上，a 的取值范围是1a 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.22.在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121txttyt（t 为参数）.点 00,p xy在曲线C 上，点(,)Q m n 满足0023mxny.（1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q 的轨迹1
33、C 的极坐标方程；（2）点 A，B 分别是曲线1C 上第一象限，第二象限上两点，且满足2AOB，求2211|OAOB的值.【答案】（1）22223cos4sin12p（）；（2）712【解析】【分析】（1）由已知，曲线C 的参数方程消去 t 后，要注意 x 的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；（2）设 11,A ，21,2B，由（1）可得2211213cos4sin112，2211223cos4sin12212，相加即可得到证明.【详解】（1）222222212111ttxytt，2211,11tt，1x ，221(1)xyx，由题可知：0023mxny 022021(2)4
34、33mxmnmny，1C：22223cos4sin12（）.（2）因为222123cos4sin，设 11,A ，21,2B，则2211213cos4sin112，2211223cos4sin1221222113sin4cos12，22221211117|12OAOB.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.23.已知关于 x 的不等式|1|3|2|xxmm有解.（1）求实数m 的最大值t；（2）若 a，b，c 均为正实数，且满足 abct.证明：3333a bb cc aabc.【答案】（1）3t；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，只
35、需找到()|1|3|f xxx的最大值即可；（2）22233333bcaa bb cc aabcabc，构造并利用基本不等式可得222()2()bcaabcabcabc，即2223bcaabcabc.【详解】（1）()|1|3|f xxx4,322,134,1xxxx ，()f x 的最大值为 4.关于 x 的不等式|1|3|2|xxmm有解等价于max()4|2|fxmm，（）当2m 时，上述不等式转化为42mm，解得23m，（）当2m 时，上述不等式转化为42mm，解得2m，综上所述，实数 m 的取值范围为3m，则实数m 的最大值为 3，即3t.（2）证明：根据（1）求解知3t，所以3abct，又0a，0b，0c，22233333bcaa bb cc aabcabc，222222()bcabcaabcabcabcabc 2222222()bcaabcabcabc，当且仅当abc时，等号成立，即222bcaabcabc，2223bcaabc，所以，3333a bb cc aabc.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.
